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Eine Funktion %%f%%: %%x\mapsto f(x)%%, deren Funktionsterm %%f(x)%% ein Polynom ist, bezeichnet man als ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion.

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades ist somit eine Funktion der Form

%%f(x) = \color{#cc0000}{a_n} \cdot x^\color{#009999}{n}+ \color{#cc0000}{a_{n-1}}\cdot x^\color{#009999}{{n-1}}+...+\color{#cc0000}{a_2} \cdot x^\color{#009999}{2}+\color{#cc0000}{{a_1}} \cdot x+\color{#cc0000}{a_0}%%.

  • Die Zahlen %%a_n, a_{n-1},...,a_2,a_1,a_0%% nennt man %%\color{#cc0000}{\mathrm{Koeffizienten}}%%.

  • Die Zahlen %%n, n-1,...%% bezeichnet man als %%\color{#009999}{\mathrm{Exponenten}}%%.

  • Der größte vorkommende Exponent (hier: %%\color{#009999}{n}%%) bestimmt den Grad der Polynomfunktion.

  • Den Koeffizienten vor dem größten vorkommenden Exponenten nennt man den Leitkoeffizienten (hier: %%\color{#cc0000}{a_n}%%).

Beispiel

%%f(x)= -2x^3-\frac{1}{2}x+4%%

  • Die Koeffizienten sind %%a_3=-2%%; %%a_1=-\frac12%% und %%a_0=4%%.

  • Die vorkommenden Exponenten sind %%n=3%% und %%n-2=1%%

  • %%f(x)%% hat den Grad %%3%% und den Leitkoeffizienten %%-2%%.

Nullstellen

Eine ganzrationale Funkion %%n%%-ten Grades hat höchstens %%n%% Nullstellen.

  • Bei Polynomfunktionen bis zu Grad 2 existieren Lösungsformeln wie z.B. die Mitternachtsformel.

  • Bei höheren Graden hilft die Polynomdivision, ein Polynom zu vereinfachen, wenn man eine Nullstelle (z.B. durch Raten) schon kennt.

  • Für Polynomfunktionen 3. und 4. Grades existieren (in der Schule nicht gebräuchliche und komplizierte) Formeln. Für höhere Grade kann man keine allgemeine Formel für die Nullstellen bilden.

Grenzwerte

Lässt man %%x%% gegen plus oder minus unendlich gehen, so ist der Grenzwert %%lim_{x\rightarrow\pm\infty}%% der Polynomfunktion immer plus oder minus unendlich. Bei ganzrationalen Funktionen geraden Grades ist das Vorzeichen der beiden Grenzwerte gleich, bei ungeradem Grad verschieden. Es entscheidet jeweils das Vorzeichen des Parameters mit der höchsten Potenz (in der Tabelle a genannt) über die Vorzeichen der Grenzwerte.

Beispiele

Im Folgenden werden die Grenzwerte der Funktionen

%%f(x)=ax^3+x^2-2x+0{,}5%% und

%%g(x)=ax^4-2x^3+x%%

für jeweils %%a>0%% und %%a<0%% betrachtet.

Ungerader Grad

%%f(x)=ax^3+x^2-2x+0{,}5%%

%%a=3%%

%%a=-3%%

ganzrationale Funktionen Grenzwerte

ganzrationale Funktionen Grenzwerte

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}=-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow\infty}=\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}=\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow\infty}=-\infty%%

Grenzwertbegründung

%%a=3%%:

%%f_1(x)=3x^3+x^2-2x+0{,}5%%

%%\phantom{f_1(x)}=x^3\cdot\left(3+\frac1x-\frac{2}{x^2}+\frac{0{,}5}{x^3}\right)%%

1) Überlege, wie sich %%f_1(x)%% für %%x\rightarrow-\infty%% verhält.

%%\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\overbrace{x^3}^{\rightarrow-\infty}\cdot\left(3+\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0}-\overbrace{\frac{2}{x^2}}^{\rightarrow0}+\overbrace{\frac{0{,}5}{x^3}}^{\rightarrow0}\right)=\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\overbrace{3x^3}^{\rightarrow-\infty}%%

%%\Rightarrow\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}f_1(x)=-\infty%%

2) Überlege, wie sich %%f_1(x)%% für %%x\rightarrow\infty%% verhält.

%%\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\overbrace{x^3}^{\rightarrow\infty}\cdot\left(3+\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0}-\overbrace{\frac{2}{x^2}}^{\rightarrow0}+\overbrace{\frac{0{,}5}{x^3}}^{\rightarrow0}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\overbrace{3x^3}^{\rightarrow\infty}%%

%%\Rightarrow\underset{x\rightarrow\infty}{lim}f_1(x)=\infty%%

%%\;%%

%%\;%%

%%a=-3%% :

%%f_2(x)=-3x^3+x^2-2x+0{,}5%%

%%\phantom{f_1(x)}=-x^3\cdot\left(3-\frac1x+\frac{2}{x^2}-\frac{0{,}5}{x^3}\right)%%

1) Überlege, wie sich %%f_2(x)%% für %%x\rightarrow-\infty%% verhält.

%%\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\overbrace{-x^3}^{\rightarrow\infty}\cdot\left(3-\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0}+\overbrace{\frac{2}{x^2}}^{\rightarrow0}-\overbrace{\frac{0{,}5}{x^3}}^{\rightarrow0}\right)=\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\overbrace{-3x^3}^{\rightarrow\infty}%%

%%\Rightarrow\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}f_2(x)=\infty%%

2) Überlege, wie sich %%f_2(x)%% für %%x\rightarrow\infty%% verhält.

%%\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\overbrace{-x^3}^{\rightarrow-\infty}\cdot\left(3-\overbrace{\frac1x}^{\rightarrow0}+\overbrace{\frac{2}{x^2}}^{\rightarrow0}-\overbrace{\frac{0{,}5}{x^3}}^{\rightarrow0}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\overbrace{-3x^3}^{\rightarrow-\infty}%%

%%\Rightarrow\underset{x\rightarrow\infty}{lim}f_2(x)=-\infty%%

Gerader Grad

%%g(x)=ax^4-2x^3+x%%

%%a=1%%

%%a=-1%%

ganzrationale Funktionen Grenzwerte

ganzrationale Funktionen Grenzwerte

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}=\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow\infty}=\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}=-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow\infty}=-\infty%%

Grenzwertbegründung

%%a=1%% :

%%g_1(x)=x^4-2x^3+x%%

%%\phantom{g_1(x)}=x^4\cdot\left(1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^3}\right)%%

1) Überlege, wie sich %%g_1(x)%% für %%x\rightarrow-\infty%% verhält.

%%\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\overbrace{x^4}^{\rightarrow\infty}\cdot\left(1-\overbrace{\frac2x}^{\rightarrow0}+\overbrace{\frac{1}{x^3}}^{\rightarrow0}\right)=\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\overbrace{x^4}^{\rightarrow\infty}%%

%%\Rightarrow\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}g_1(x)=\infty%%

2) Überlege, wie sich %%g_1(x)%% für %%x\rightarrow\infty%% verhält.

%%\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\overbrace{x^4}^{\rightarrow\infty}\cdot\left(1-\overbrace{\frac2x}^{\rightarrow0}+\overbrace{\frac{1}{x^3}}^{\rightarrow0}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\overbrace{x^4}^{\rightarrow\infty}%%

%%\Rightarrow\underset{x\rightarrow\infty}{lim}g_1(x)=\infty%%

%%\;%%

%%\;%%

%%a=-1%% :

%%g_2(x)=-x^4-2x^3+x%%

%%\phantom{g_2(x)}=-x^4\cdot\left(1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^3}\right)%%

1) Überlege, wie sich %%g_2(x)%% für %%x\rightarrow-\infty%% verhält.

%%\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\overbrace{-x^4}^{\rightarrow-\infty}\cdot\left(1+\overbrace{\frac2x}^{\rightarrow0}-\overbrace{\frac{1}{x^3}}^{\rightarrow0}\right)=\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\overbrace{-x^4}^{\rightarrow-\infty}%%

%%\Rightarrow\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}g_2(x)=-\infty%%

2) Überlege, wie sich %%g_2(x)%% für %%x\rightarrow\infty%% verhält.

%%\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\overbrace{-x^4}^{\rightarrow-\infty}\cdot\left(1+\overbrace{\frac2x}^{\rightarrow0}-\overbrace{\frac{1}{x^3}}^{\rightarrow0}\right)=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\overbrace{-x^4}^{\rightarrow-\infty}%%

%%\Rightarrow\underset{x\rightarrow\infty}{lim}g_2(x)=-\infty%%

Spezielle Polynomfunktionen

Im Folgenden werden spezielle Polynomfunktionen vorgestellt:

Konstante Funktionen (Grad 0)

Die Konstante Funktion ordnet jedem %%x%% dasselbe %%c%% zu.

%%f(x)=c%%

Der Graph der konstanten Funktion ist eine Parallele zur %%x%%-Achse, die die %%y%%-Achse auf der Höhe %%c%% schneidet.

konstante funktion graph Graph der Abbildung %%f(x)=5%%

Lineare Funktionen (Grad 1)

Lineare Funktionen sind ganzrationale Funktionen ersten Grades. Sie haben die Form %%f(x)=mx+t%%

Lineare Funktion Allgemeine Geradengleichung

Graph der Funktion %%f(x)=2x+4%%

Quadratische Funktionen (Grad 2)

Quadratische Funktionen sind Polynomfunktionen vom Grad 2. Sie haben die Form %%f(x)=ax^2+bx+c%%

Graph quadratische Funktion

Graph der Funktion %%f(x)=x^2-3x+2%%

Beispiele und Nicht-Beispiele

Polynomfunktionen

%%\phantom{;}%%

  • %%f(x)= 2x^4-\frac{1}{2}x+1%%

  • %%g(x)=\sqrt{2}\cdot x^2-\pi \cdot x^7%%

  • %%h(x)=-x^2-5x+1%%

  • %%i(x)=2x+3%%

  • %%k(x)=-2{,}3%%

Welche Grade haben die obigen Polynomfunktionen?

%%f(x)= 2x^4-\frac{1}{2}x+1%% %%\Rightarrow%% Grad %%4%%

%%g(x)=\sqrt{2}\cdot x^2-\pi \cdot x^7%% %%\Rightarrow%% Grad %%7%%

%%h(x)=-x^2-5x+1%% %%\Rightarrow%% Grad %%2%% (%%h(x)%% ist eine quadratische Funktion)

%%i(x)=2x+3%% %%\Rightarrow%% Grad %%1%% (%%i(x)%% ist eine lineare Funktion)

%%k(x)=-2{,}3%% %%\Rightarrow%% Grad %%0%% (%%k(x)%% ist eine konstante Funktion)

keine Polynomfunktionen

  • %%f(x)=\sin(x)+1%%

  • %%g(x)=e^{2x}%%

  • %%h(x)=1-\ln(x)%%

  • %%i(x)=\sqrt{x-1}%%

  • %%k(x)=x+\frac{1}{x}%%

  • %%l(x)=\frac{x^2-x+1}{x^3+3}%%

Warum sind die Nicht-Beispiele keine Polynomfunktionen?

%%f(x)=\sin(x)+1%% %%\Rightarrow%% keine Polynomfunktion, da eine trigonometrische Funktionen vorkommt.

%%g(x)=e^{2x}%% %%\Rightarrow%% keine Polynomfunktion, da die Exponentialfunktion vorkommt.

%%h(x)=1-\ln(x)%% %%\Rightarrow%% keine Polynomfunktion, da die Logarithmusfunktion vorkommt.

%%i(x)=\sqrt{x-1}%% %%\Rightarrow%% keine Polynomfunktion, da ein %%x%% unter der Wurzel steht.

%%k(x)=x+\frac{1}{x}%% %%\Rightarrow%% keine Polynomfunktion, da ein %%x%% im Nenner steht.

%%l(x)=\frac{x^2-x+1}{x^3+3}%% %%\Rightarrow%% keine Polynomfunktion, da die Variable im Nenner vorkommt. Dies nennt man %%\phantom{l(x)=\frac{x^2-x+1}{x^3+3} \Rightarrow}%% auch eine gebrochenrationale Funktion.

Extrema

Um die Extrema einer Polynomfunktion %%f(x)%% %%n%%-ten Grades zu bestimmen, berechnet man zunächst die Ableitung %%f'(x)%% und bestimmt davon die Nullstellen. %%f'(x)%% ist eine Polynomfunktion %%(n-1)%%-ten Grades. Diese hat maximal %%(n-1)%% Nullstellen.

Also folgt:

Eine Polynomfunktion %%n%%-ten Grades hat höchstens %%(n-1)%% Extrema.

Graph eines Polynoms fünften Grades

Abbildung: Graph einer Polynomfunktion 5-ten Grades

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