Ein Polynom ist ein Term, der aus

  • der Variablen bzw. Potenzen der Variablen mit natürlichen Zahlen als Exponenten

  • reellen Zahlen als Faktoren dazu

  • und Plus- (oder Minus-) Zeichen dazwischen besteht.

Beispiel eines Polynoms Grad sieben

Beispiel eines Polynoms
Potenzen der Variablen %%x%%, die mit reellen Zahlen multipliziert werden, bezeichnet man als Monome (in der Graphik in dunklerem Grün umkreist).
Diese werden als Summe zusammengefügt und bilden so das Polynom (im eckigen grünen Kasten).

Welche Terme sind keine Polynome?

Nicht erlaubt sind in einem Polynom zum Beispiel

  • Terme, bei denen die Variable im Nenner steht, oder Potenzen der Variablen, deren Exponent negativ ist
  • Wurzeln aus der Variablen oder Potenzen der Variablen, deren Exponent keine ganze Zahl ist
  • sin, cos und tan aus Termen, in denen die Variable vorkommt
  • Logarithmen aus Termen, die die Variable beinhalten
  • Potenzen mit der Variablen im Exponenten
  • u.a.

In einem Polynom werden die Vielfache mehrerer Potenzfunktionen addiert, deren Exponenten aus der Menge %%\mathbb{N}%% (natürliche Zahlen) stammen.

Beispiele für Polynome

  • %%x^3-2x^2+x-4%%

  • %%8x^5+3x^3-x^2+12%%

  • %%4x^7+x^5-2x^4+x-6%%

Mathematische Begriffserklärung

Mathematisch gesehen ist ein Polynom ein Term, der sich in folgender Form schreiben lässt:

%%a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1}+ ... +a_1\cdot x + a_0%%

Dabei ist %%x%% die Variable, %%a_n, a_{n-1}, ...a_1, a_0%% sind reelle Zahlen (%%a_n\neq0%%), und %%n%% ist eine natürliche Zahl.

Beispiel

%%4x^7+x^5-2x^4+x-6%%

hier ist %%n=7%%,

%%a_7=4%%, %%a_5=1%%, %%a_4=-2%%, %%a_1=1%%, %%a_0=-6%%

Geordnete Polynome

Übelicherweise schreibt man ein Polynom geordnet auf. Ein Polynom heißt geordnet, wenn das Polynom zusammengefasst ist und nach fallenden Exponenten sortiert ist.

Also nicht %%2x^2+1- x^7%%, sondern %%\phantom{}-x^7+2x^2+1%%.

Grad des Polynomes

Als Grad des Polynomes bezeichnet man die höchste vorkommende Potenz.

So haben die Beispielpolynome...

  • %%x^3-2x^2+x-4%%

  • %%8x^5+3x^3-x^2+12%%

  • %%4x^7+x^5-2x^4+x-6%%

den Grad %%3%%.

den Grad %%5%%.

den Grad %%7%%.

Polynomfunktion

Eine Funktion %%f%%: %%x\mapsto f(x)%%, deren Funktionsterm %%f(x)%% ein Polynom ist, bezeichnet man als ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion.

Weitere Informationen über die Eigenschaften und Beschaffenheit einer solchen Funktion findest du in dem Artikel Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen).

%%\underbrace{f:x\mapsto\underbrace{4x^7+x^5-2x^4+x-6}_{\mathrm {Polynom}}}_{\mathrm {ganzrationale\;Funktion}}%%

Kommentieren Kommentare

Zu article Polynom:
BlueBerry99 2018-01-06 13:44:37
Hallo, darf ich diese Quelle in einer Facharbeit angeben? Oder sogar zitieren? Wenn ja, könnten Sie mir den Autor der Quelle nennen? Vielen Dank :)
Renate 2018-01-08 09:00:07
Hallo BlueBerry99,
ja, natürlich darfst du diese Quelle verwenden! Freut uns sehr, wenn sie dir etwas hilft / geholfen hat!

"Den" Autor zu nennen ist allerdings bei einem Werk, das - wie bei Wikipedia - im Prinzip von einer Community erstellt wird, nicht ganz unproblematisch. Bei einem Wikipedia-Artikel würdest du doch wohl auch Wikipedia als Quelle angeben, und nicht die einzelnen Autoren auflisten, die an dem Artikel mitgewirkt haben?

Wie du zum Zitieren eines Serlo-Artikels vorgehen kannst, erfährst du vielleicht am einfachsten, wenn du auf das Wort "Informationen" NEBEN der Lizenzangabe ("Dieses Werk steht unter der freien Lizenz cc-by-sa-4.0") klickst - dann öffnet sich eine entsprechende Seite.

Wenn dir das deine Frage noch nicht beantwortet, frag gern nochmal nach.

Viele Grüße und viel Erfolg bei deiner Facharbeit!
Renate
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