Die Ableitung der Sinusfunktion kann man mit Hilfe der %%h%%-Methode bestimmen. Damit kann man zeigen, dass die Ableitung die Kosinusfunktion ist.

$$(\sin(x))'=\lim_{h\rightarrow0} \dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

Im nächsten Schritt verwendet man das Additionstheorem für die Sinusfunktion:

%%\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)%%

$$=\lim_{h\to0}\dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}$$

Im Zähler fasst man %%\sin(x)\cos(h)%% und %%-\sin(x)%% zusammen und klammert %%\sin(x)%% aus.

$$=\lim_{h\to0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1) + \cos(x)\sin(h)}{h}$$

Man kann den Bruch in eine Summe aus zwei Brüchen auftrennen.

$$=\lim_{h\to0}\left(\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}\right)$$

Wenn es die Grenzwerte beider Summanden gibt, kann man den Limes in beide Summanden ziehen.

$$=\lim_{h\to0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h} + \lim_{h\to0} \dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}$$

%%\sin(x)%% und %%\cos(x)%% hängen nicht von %%h%% ab. Deswegen darf man sie vor den Limes schreiben.

$$=\sin(x)\cdot\lim_{h\to0}\dfrac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\cdot\lim_{h\to0}\dfrac{\sin(h)}{h}$$

%%\lim\limits_{h\to0}\frac{\cos(h)-1}{h}%% ist die Ableitung des Kosinus an der Stelle %%0%%. Das sieht man mit der %%h%%-Methode:

%%(\cos(0))'=\lim\limits_{h\to0}\frac{\cos(0+h)-\cos(0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\cos(h)-1}{h}%%.

$$=\sin(x)(\cos(0))'+\cos(x)\cdot\lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}$$

Die Ableitung an der Stelle %%0%% ist anschaulich die Steigung der Tangente:

Tangente Kosinus Ableitung

Der Kosinus hat bei %%0%% ein Maximum. Deswegen hat die Tangente die Steigung %%0%%. Das heißt: %%(\cos(0))'=0%%.

$$=\sin(x)\cdot 0 + \cos(x)\cdot\lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}$$

$$=\cos(x)\cdot\lim_{h\to0}\dfrac{\sin(h)}{h}$$

Für sehr kleine %%h%% ist %%h%% in etwa genauso groß wie %%\sin(h)%%.

Graphische Veranschaulichung

Das kann man sich am folgenden Bild vorstellen.

Dreieck Sinus Bogenlänge h

Der Winkel %%h%% steht im Bogenmaß. Deswegen hat der Kreisbogen genau die Länge %%h%%. Je kleiner %%h%% wird, umso kleiner wird der Unterschied zwischen %%h%% und %%\sin(h)%% :

Dreieck Sinus fast gleich Bogenlänge

%%\frac{\sin(h)}{h} \approx \frac{h}{h} =1%%.

Im Grenzwert gilt also %%\lim\limits_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}=1.%%

$$=\cos(x)\cdot 1 = \cos(x)$$

Mit dieser Rechnung hat man gezeigt: %%(\sin(x))'=\cos(x)%%.

Die Ableitung der Kosinusfunktion

Kennt man bereits die Ableitung der Sinusfunktion, kann man %%(\cos(x))'%% mit der Kettenregel ausrechnen. Verschiebt man den Graphen der Sinusfunktion um %%\frac{\pi}{2}%% nach links, erhält man die Kosinusfunktion. Das bedeutet: %%\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)%%. Leitet man beide Seiten der Gleichung ab, erhält man:

$$(\cos(x))'=\left(\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)'$$

Um die Kettenregel zu verwenden, setzt man %%v(x)=x+\frac{\pi}{2}%% und %%u(v)=\sin(v)%%. Die Kettenregel lautet

%%u(v(x))'=u'(v(x))\cdot v'(x)%%.

Da jetzt die Ableitung vom Sinus bekannt ist, kann man %%u'%% berechnen.

%%u'(v)=\sin'(v)=\cos(v)%%.

Die Ableitung von %%v%% ist

%%v'(x)=\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = 1%%.

$$= u(v(x))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$$

$$=\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right) \cdot 1$$

Verschiebt man die Kosinuskurve um %%\frac{\pi}{2}%% nach links, bekommt man die negative Sinuskurve.

$$=-\sin(x)$$

Mit dieser Rechnung hat man gezeigt: %%(\cos(x))'=-\sin(x)%%.

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