Aufgaben

Multipliziere den Vektor mit dem Skalar.

%%5\cdot\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}%%

%%-1\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}%%

%%\displaystyle\frac{7}9\cdot\begin{pmatrix}27\\22,5\end{pmatrix}%%

Vektoren mit einem Skalar multiplizieren

%%\displaystyle\frac79\cdot\begin{pmatrix}27\\22,5\end{pmatrix}%%

Multipliziere komponentenweise.

%%=\displaystyle\begin{pmatrix}\frac79\cdot27\\\frac79\cdot22,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}21\\17,5\end{pmatrix}%%

Geometrische Anschauung

%%u=\begin{pmatrix}27\\22,5\end{pmatrix},\displaystyle v=\frac79 \cdot u%%

Berechne den Lösungsvektor.

%%\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}%%

Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren

%%\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}%%

Multipliezire zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.

%%=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\cdot1\\2\cdot(-2)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}%%

Addiere die Vektoren komponentenweise.

%%=\begin{pmatrix}1+2\cdot1+0\\1+2\cdot(-2)+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}%%

Geometrische Anschauung
  • Schritt 0: Vektor %%\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}%% einzeichnen.
  • Schritt 1: Vektor %%\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}%% einzeichnen.
  • Schritt 2: Vektor %%\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}%% um den Faktor 2 strecken.
  • Schritt 3: Vektoren %%\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}%% und %%2\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}%% addieren
  • Schritt 4: Vektor %%\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}%% addieren.
  • Schritt 5: Lösungsvektor %%\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}%% einzeichnen.

%%4\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}%%

Vektoren addieren, subtrahieren und mit einem skalar multiplizieren

%%4\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\\%%

Multipliziere zuerst den ersten Vektor mit dem Skalar.

%%=\begin{pmatrix}0\\-8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\\%%

Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.

%%=\begin{pmatrix}0+6-0\\-8+0-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}%%

Geometrische Anschauung
  • Schritt 1: Strecke den ersten Vektor (rot) mit einem Skalar.

  • Schritt 2: Addiere den zweiten Vektor(orange).

  • Schritt 3: Subtrahiere den dritten Vektor(grün) und erhalte den Lösungsvektor (türkis).

%%5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix}%%

Vektoren addieren, subtrahieren und mit einem Skalar multiplizieren

%%5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix}%%

Multipliziere die Vektoren komponentenweise mit den Skalaren.

%%=\begin{pmatrix}5\cdot(-3)\\5\cdot3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\cdot(-9)\\3\cdot2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\cdot(-3)\\4\cdot(-2,25)\end{pmatrix}%%

Addiere bzw. subtrahiere komponentenweise.

%%=\begin{pmatrix}5\cdot(-3)-3\cdot(-9)+4\cdot(-3)\\5\cdot3-3\cdot2+4\cdot(-2,25)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}%%

Geometrische Anschauung
  • Schritt 0: Vektor %%\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}%% einzeichnen.
  • Schritt 1: Vektor %%\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}%% um den Faktor 5 strecken.
  • Schritt 2: Vektor %%\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}%% einzeichnen.
  • Schritt 3: Vektor %%\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}%% u den Faktor 3 strecken.
  • Schritt 4: Vektor %%3\cdot\begin{pmatrix}-9\\2\end{pmatrix}%% von %%5\cdot\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}%% subtrahieren.
  • Schritt 5: Vektor %%\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix}%% einzeichnen.
  • Schritt 6: Vektor %%\begin{pmatrix}-3\\-2,25\end{pmatrix}%% um den Faktor 4 strecken.
  • Schritt 7: Die beiden übrigen Vektoren werden addiert.
  • Schritt 8: Übrig bleibt der 0-Vektor.

Berechne den Lösungsvektor.

%%\displaystyle 3\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}%%

Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man Vektoren addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert.

%%\displaystyle 3\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}%%

Multipliziere zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.

%%=\displaystyle \begin{pmatrix}3\cdot1\\3\cdot(-1)\\3\cdot0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}%%

Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.

%%=\displaystyle \begin{pmatrix}3\cdot1+1+0\\3\cdot(-1)-2-6\\3\cdot0+3-2\end{pmatrix}%%

Rechne jede Komponente aus.

%%=\displaystyle \begin{pmatrix}3+1\\-3-2-6\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-11\\1\end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}0\\-9\\2\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\-1,5\end{pmatrix}%%

Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man Vektoren addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert.

%%\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}0\\-9\\2\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\-1,5\end{pmatrix}%%

Multipliziere zuerst die Vektoren komponentenweise mit dem jeweiligen Skalar.

%%=\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\cdot0\\3\cdot(-9)\\3\cdot2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\cdot1\\2\cdot(-3)\\2\cdot(-1,5)\end{pmatrix}%%

Berechne die Produkte.

%%=\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-27\\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-6\\-3\end{pmatrix}%%

Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.

%%=\begin{pmatrix}-3-0+2\\1-(-27)+(-6)\\3-6+(-3)\end{pmatrix}%%

Rechne jede Komponente aus.

%%=\begin{pmatrix}-1\\22\\-6\end{pmatrix}%%

Gegeben seien die Punkte %%A(-4|0)%%, %%B(2|-1)%% und %%C(5|2)%%. Vervollständige zu einem Parallelogramm und berechne die Lage des Schnittpunktes seiner Diagonalen.

Bestimme zuerst %%\vec a = \overrightarrow{AB}%% und %%\vec b = \overrightarrow{BC}%%.

%%\vec a = \pmatrix{2-(-4)\\-1-0} = \pmatrix{6\\-1}%%

%%\vec b = \pmatrix{5-2\\2-(-1)} = \pmatrix{3\\3}%%

Da %%ABCD%% ein Parallelogramm ist, gilt außerdem %%\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}%% und %%\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}%%.

Gegeben sind die Vektoren %%\vec a=\pmatrix{-1\\2}%%, %%\vec b=\pmatrix{3\\4,5}%% und %%\vec c=\pmatrix{5\\0}%%. Berechne jeweils den Vektor, der sich durch die angegebene Vektorkette ergibt!

$$\vec d=7\vec a+2\vec b-\frac{2}{5}\vec c$$

$$\vec d=7\vec a+2\vec b-\frac{2}{5}\vec c=7\cdot\pmatrix{-1\\2}+2\cdot\pmatrix{3\\4,5}-\frac{2}{5}\cdot\pmatrix{5\\0}=$$ $$=\pmatrix{7\cdot(-1)\\7\cdot2}+\pmatrix{2\cdot3\\2\cdot4,5}-\pmatrix{\frac{2}{5}\cdot5\\\frac{2}{5}\cdot0}=\pmatrix{-7+6-2\\14+9-0}=\pmatrix{-3\\23}$$

$$\vec e=\frac{2}{3}\vec b-4\vec a$$

$$\vec e=\frac{2}{3}\vec b-4\vec a=\frac{2}{3}\cdot\pmatrix{3\\4,5}-4\cdot\pmatrix{-1\\2}=$$ $$=\pmatrix{\frac{2}{3}\cdot3\\\frac{2}{3}\cdot4,5}-\pmatrix{4\cdot(-1)\\4\cdot2}=\pmatrix{2-(-4)\\3-8}=\pmatrix{6\\-5}$$

Sind die folgenden Vektoren parallel zueinander? Begründe.

%%\vec{v} = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}, \vec{w}=\begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}%%

Gibt es wirklich kein %%k\in \mathbb{R}%% mit %%\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} = k \cdot\begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}%% ?

Es gilt: $$\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} = -1\cdot\begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}$$ Diese Vektoren sind parallel, gleich lang und zeigen in entgegengesetzte Richtung.

%%\vec{a}=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}%%

Die Vektoren hier sind ein bisschen anders als die in der ersten Teilaufgabe. Schaue dir vielleicht nochmal die Vorzeichen ihrer Koordinaten an.

Diese Vektoren sind nicht parallel. Es kann kein %%k\in\mathbb{R}%% geben mit %%\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} = k\cdot\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}%%, denn damit diese Gleichung stimmt müssen gleichzeitig beide Koordinaten der Vektoren übereinstimmen. In formeln muss also

%%\begin{align}1 &= -k \\ 2 &= 2k\end{align}%%

(für die ersten Koordinaten) und
(für die zweiten Koordinaten) gelten.

Wenn du diese Gleichungen jeweils nach %%k%% auflöst, steht da

$$\begin{align}k &= -1 \text{ und }\\k&=1 \end{align}$$

und offensichtlich kann nicht beides gleichzeitig stimmen.

%%\vec{q=}\begin{pmatrix} 0,5\\ 7 \end{pmatrix}, \vec{p}= \begin{pmatrix} 3,5\\ 49 \end{pmatrix}%%

Gibt es wirklich kein %%k\in \mathbb{R}%% mit %%\begin{pmatrix} 0,5\\7 \end{pmatrix} = k\cdot \begin{pmatrix} 3,5\\49 \end{pmatrix}%% ?

Um ein %%k%% zu finden mit %%\vec{q} = k \cdot\vec{p}%%, musst du das Verhältnis der Koordinaten beider Vektoren vergleichen.

An diesem Beispiel tust du dir ein bisschen leichter, wenn du dir zuerst die zweiten Koordinaten anschaust.

%%\begin{pmatrix} 0,5\\ \mathbf{7}\end{pmatrix} = k \cdot\begin{pmatrix} 3,5\\ \mathbf{49} \end{pmatrix}%%

Hier siehst du das Verhältnis %%1:7%%, denn

%%\begin{array}{lcr} &7\cdot7 &= &49 \\ &7 &= &\displaystyle \frac{1}{7}\cdot49\end{array}%%

oder andersrum

Die einzig mögliche Wahl für ein %%k%% mit %%\vec{q} = k\cdot \vec{p}%% ist also %%k = 1/7%%.
Nun musst du nur überprüfen, ob für die beiden ersten Kooridnaten auch dieses Verhältnis stimmt.

%%0,5 = \displaystyle\frac{1}{7}\cdot 3,5%%

stimmt tatsächlich!

Insgesamt gilt also

%%\begin{pmatrix} 0,5\\ 7\end{pmatrix} = \displaystyle\frac{1}{7}\cdot\begin{pmatrix} 3,5\\49 \end{pmatrix}%%

und damit sind %%\vec{q}%% und %%\vec{p}%% parallel. Sie zeigen beide in dieselbe Richtung und %%\vec{p}%% ist sieben Mal so lang wie %%\vec{q}%%.

%%\vec{x} =\begin{pmatrix} 2.1\\ 0\\ 1,5 \end{pmatrix}, \vec{y}=\begin{pmatrix} 2.1\\ 0\\ 1,5 \end{pmatrix}%%

Die beiden Vektoren sind gleich. Sind sie dann nicht parallel?

Es gilt $$\begin{pmatrix} 2.1\\ 0\\ 1,5 \end{pmatrix} =1\cdot \begin{pmatrix} 2.1\\ 0\\ 1,5 \end{pmatrix}$$

Du kannst dir also merken, dass jeder Vektor parallel zu sich selbst ist.

%%\vec{f} = \begin{pmatrix} -1/6\\ r\\ 2 \end{pmatrix},\vec{g}=\begin{pmatrix} 1/3\\ 4\\ -4 \end{pmatrix}%%

Vorsicht: Bei dieser Aufgabe können mehrere Antworten richtig sein.

Hast du dir überlegt was für verschiedene Werte von %%r%% passiert?

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Schritt 1: Mögliche Kandidaten für %%k%% finden

Dazu kannst du zum Beispiel die ersten Koordinaten vergleichen.

%%\vec{f} = \begin{pmatrix}\mathbf{-1/6}\\r\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} \mathbf{1/3}\\4\\-4\end{pmatrix}%%

Teile die linke Koordinate durch die rechte um ein Kandidat für %%k%% zu finden.

Warum macht man das so?

Wir wollen, dass die Beziehung %%\vec{f} = k\cdot \vec{g}%% gilt.

Das bedeutet, dass für jede einzelne Koordinate (bzw. Komponente) diese Beziehung gelten muss. Also zum Beispiel für die erste Koordinate (Komponente): %%-\frac{1}{6} = k \cdot \frac13%%. Um %%k%% zu erhalten musst du nur noch danach auflösen.

%%\displaystyle -\frac{1}{6} : \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}%%

%%k= -\frac{1}{2}%% ist also der einzige Kandidat, der in Frage kommt um %%\vec{f} = k\cdot \vec{g}%% zu schreiben.

Beachte: Bis jetzt gilt dieses %%k=-\frac12%% nur für die erste Koordinate (Komponente).

Schritt 2: Überprüfen ob das berechnete %%k%% die Gleichung %%\vec{f} = k\cdot\vec{g}%% löst

Multipliziere dafür %%k= -\frac{1}{2}%% mit %%\vec{g}%% um nachzuprüfen, ob tatsächlich %%\vec{f}%% rauskommt.

%%\begin{array}{lcr}k\cdot \vec{g} &=& -\dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1/3\\4\\-4\end{pmatrix} & = &\begin{pmatrix}-1/6\\-2\\2 \end{pmatrix}\\ \end{array} %%

%%\begin{array}{lcr} \vec{f} &= &\begin{pmatrix}-1/6\\r\\2 \end{pmatrix} \end{array} %%

Die Vektoren %%k\cdot\vec{g}%% und %%\vec{f}%% sehen bereits sehr ähnlich aus. Deren ersten Koordinaten stimmen überein. Auch die dritten Koordinaten sind identisch.
Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten vergleichst, kannst du die Werte von %%r%% finden, für die %%\vec{f}%% und %%\vec{g}%% parallel sind.

%%\begin{align} &\begin{pmatrix}-1/6\\\mathbf{r}\\2 \end{pmatrix}& &\stackrel{!}{=}& &\begin{pmatrix} -1/6\\\mathbf{- 2}\\2\end{pmatrix}\end{align}%%

Diese Gleichheit ist nur für %%r = -2%% erfüllt. Nur dann gilt also %%\vec{f} = k\cdot \vec{g}.%%

%%\Rightarrow%% Für %%r = -2%% sind %%\vec{f}%% und %%\vec{g}%% parallel.


Bemerkung zum Parameter %%r%%

Für alle anderen Werte von %%r%% können die Vektoren %%\vec{f}%% und %%\vec{g}%% nicht parallel sein.

Beispiel: Wenn du für %%r%% Null einsetzt erhältst du die Vektoren

%%\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\0\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} 1/3\\4\\-4\end{pmatrix}%%

Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten beider Vektoren vergleichst stellst du folgendes fest:

%%\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\\mathbf{0}\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} 1/3\\ \mathbf{4}\\-4\end{pmatrix}%%

Es gilt %%0 = 0\cdot 4%%.

Damit also %%\vec{f} = k\cdot \vec{g}%% überhaupt gelten kann müsste also %%k=0%% sein. Dann wäre aber $$k\cdot \vec{g} = 0\cdot \begin{pmatrix} 1/3\\ 4\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\0\end{pmatrix}$$ und dieser Vektor ist offensichtlich nicht gleich %%\vec{f}%%.

%%\Rightarrow%% Für manche Werte von %%r%% sind %%\vec{f}%% und %%\vec{g}%% nicht parallel.

Die richtigen Lösungen sind dann: Für manche Werte von %%r%% sind die Vektoren parallel und für manche (andere) Werte von %%r%% sind sie nicht parallel.

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