Aufgaben
Berechne die Länge bzw. den Betrag des Vektors.
u=(215)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(215)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=22+(1)2+52=4+1+25=305,48\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}=\sqrt{4+1+25}=\sqrt{30}\approx 5,48
u=(1234)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(1234)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=122+32+42=144+9+16=13\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{12^2+3^2+4^2}=\sqrt{144+9+16}=13
u=(231)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(231)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=(2)2+32+12=4+9+1=143,74\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{(-2)^2+3^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}\approx 3,74
u=(124)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(124)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=12+(2)2+(4)2=1+4+16=214,58\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-4)^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}\approx 4,58
u=(340)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(340)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=32+(4)2+02=9+16=5\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{3^2+(-4)^2+0^2}=\sqrt{9+16}=5
u=(101)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(101)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=12+02+(1)2=21,41\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt2\approx 1,41
u=(519)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(519)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}5\\1\\9\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=52+12+92=25+1+81=10710,34\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{5^2+1^2+9^2}=\sqrt{25+1+81}=\sqrt{107}\approx 10,34
u=(539)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(539)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}-5\\3\\9\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=(5)2+32+92=25+9+81=11510,72\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{(-5)^2+3^2+9^2}=\sqrt{25+9+81}=\sqrt{115}\approx 10,72
u=(4230.2)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}4\\-\textstyle\frac23\\0.2\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors

u=(4230.2)\overrightarrow{\mathrm u}=\begin{pmatrix}4\\-\textstyle\frac23\\0.2\end{pmatrix}
Verwende die Formel zur Berechnung der Länge bzw. des Betrags.
u=42+(23)2+0.22=16+49+0.044,06\displaystyle\left|\overrightarrow{\mathrm u}\right|=\sqrt{4^2+\left(-{\frac23}\right)^2+0.2^2}=\sqrt{16+{\frac49}+0.04}\approx4,06

Berechne die Länge des Vektors:

%%\vec v = \pmatrix{-5\\5}%%

%%\vec v = \pmatrix{-5\\5}%%

Berechne die Länge mittels Satz des Pythagoras.

%%\begin{align}|\vec v| = \left| \pmatrix{-5\\5} \right| &= \sqrt{(-5)^2+5^2}\\ &= \sqrt {50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5 \sqrt 2\end{align}%%

Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten.

Lässt sich der Vektor %%\vec{w}%% durch eine Streckung des Vektors %%\vec{v}%% erzeugen? Wenn ja, bestimme den Faktor %%k%%, um den %%\vec{v}%% gestreckt wurde.

%%\vec v = \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}%% und %%\vec w = \begin{pmatrix}-6\\-15\end{pmatrix}%%

Vektoren strecken

Prüfe, ob die Formel %%w⃗ =k⋅ v⃗%% für ein k erfüllt werden kann.

%%\begin{pmatrix}-6\\-15\end{pmatrix} = k \cdot \ \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix} \\%%

%%\,%%

Prüfe nun für die einzelnen Komponenten, ob diese Geichung für ein k erfüllt werden kann.

Für die x-Kompenente soll gelten:

%%-6 = k \cdot 2 \\ k=-6: 2 =-3%%

Für die y-Komponente soll gelten:

%%-15 = k \cdot 5 \\ k=-15:5=-3%%

Löse die beiden Gleichungen nach %%k%% auf.

%%\Rightarrow\,k = -3%%

Für beide Gleichungen kommt dasselbe Ergebnis heraus.

Das heißt, dass der Vektor %%\vec w%% aus %%\vec v%% durch Streckung um %%-3%% entsteht.

%%\vec v = \begin{pmatrix}-5\\31\end{pmatrix}%% und %%\vec w = \begin{pmatrix}1\\-7\end{pmatrix}%%

Vektoren strecken

Prüfe, ob die Formel %%\,\vec w = k \cdot \vec v \ \\%% für ein %%k%% erfüllt werden kann.

%%\begin{pmatrix}1\\-7\end{pmatrix} = k \cdot \ \begin{pmatrix}-5\\31\end{pmatrix} \\%%

Prüfe für jede Komponente des Vektors, ob diese Gleichung erfüllt werden kann:

Für die x-Komponente soll gelten:

%%1 = k \cdot (-5) \\k=-\frac15%%

Für die y-Komponente soll gelten:

%%-7 = k \cdot 31\\ k=-\frac{7}{31}%%

Löse die Gleichungen jeweils nach %%k%% auf.

%%\Rightarrow-\frac1 5 ≠ -\frac{7}{31}%%

Du erhältst für %%k%% zwei verschiedene Werte.

Der Vektor %%\vec{w}%% kann also nicht durch eine Streckung der Vektors %%\vec v%% um eine reelle Zahl %%k%% erzeugt werden.

Die Vektoren %%\vec{v}%% und %%\vec{w}%% zeigen somit weder in die gleiche noch in die entgegengesetzte Richtung.

%%\vec v = \begin{pmatrix}0\\6,75\end{pmatrix}%% und %%\vec w = \begin{pmatrix}0\\-576\end{pmatrix}%%

Vektoren strecken

Prüfe, ob die Formel %%\,\vec w = k \cdot \vec v \,\,%% für ein k erfüllt werden kann.

%%\begin{pmatrix}0\\-576\end{pmatrix} = k \cdot \ \begin{pmatrix}0\\6,75\end{pmatrix} \\%%

Prüfe für die einzelnen Komponenten, ob diese Geichung für ein k erfüllt werden kann.

Für die x-Kompenente soll gelten:

%%0 = k \cdot 0%%

%%\,%%

Diese Gleichung ist für alle reellen Zahlen erfüllt.

Für die y-Komponente soll gelten:

%%-576 = k \cdot 6,75%%

%%\,%%

Löse die Gleichung nach k auf.

$$k = -\frac{256}{3}$$

Da die erste Gleichung für beliebige reelle Zahlen erfüllt ist, gilt sie insbesondere auch für %%k= -\frac{256}{3}%%. Dies ist also der gesuchte Streckungsfaktor.

%%\Rightarrow%% Das heißt, dass der Vektor %%\vec w%% aus %%\vec v%% durch Streckung um %%k = -\frac{256}{3}%% entsteht.

Normiere den Vektor zu seinem zugehörigen Einheitsvektor.
a=(304)\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge des Vektors anpassen

Der normierte Vektor hat die Länge 1. Du erhältst ihn, wenn du jede Koordinate durch die Länge des Vektors teilst.

Länge des Vektors berechnen

Berechne die Länge des Vektors.
a=32+02+42LE=25LE=5LE|\vec a|=\sqrt{3^2+0^2+4^2} LE=\sqrt{25} LE=5 LE

Vektor normieren

Teile den Vektor durch seine Länge
a0=aa=15(304)=(0,600,8)\vec a^0=\frac {\vec a} {|\vec a|}=\frac 1 5 \cdot \begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,6\\0\\0,8\end{pmatrix}

Probe

Falls du deine Lösung überprüfen möchtest, bestimme die Länge des normierten Vektors.
a0=0,62+02+0,82LE=1LE=1LE|\vec a ^0|=\sqrt{0,6^2+0^2+0,8^2}LE=\sqrt{1}LE=1LE
a=(212)\vec{a}=\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge des Vektors anpassen

Der normierte Vektor hat die Länge 1. Du erhältst ihn, wenn du jede Koordinate durch die Länge des Vektors teilst.

Länge des Vektors berechnen

Berechne die Länge des Vektors.
a=(2)2+12+22LE=9LE=3LE|\vec a|=\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2} LE=\sqrt{9} LE=3 LE

Vektor normieren

Teile den Vektor durch seine Länge
a0=aa=13(212)=(231323)\displaystyle{\vec a^0=\frac {\vec a} {|\vec a|}=\frac 1 3 \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac 2 3\\\frac 1 3\\\frac 2 3\end{pmatrix}}

Probe

Falls du deine Lösung überprüfen möchtest, bestimme die Länge des normierten Vektors.
a0=(23)2+(13)2+(13)2LE=1LE=1LE|\vec a ^0|=\sqrt{\left( -\frac 2 3\right )^2+\left ( \frac 1 3 \right)^2+\left ( \frac 1 3 \right)^2}LE=\sqrt{1}LE=1LE
Verändere den Vektor a=(043)\vec a=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix} so, dass er die geforderte Länge hat
Länge 10

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge des Vektors anpassen

Zunächst muss man die aktuelle Länge des Vektors bestimmen.
Anschließend teilt man die gewünschte Länge durch die aktuelle Länge.
Abschließend kann man durch eine skalare Multiplikation mit diesem Bruch den Vektor auf die gewünschte Länge bringen.
(Im oben verlinkten Artikel ist dieses Vorgehen ausführlich erklärt)

Länge des Vektors bestimmen

Bestimme die Länge des Vektors a\vec a:
a=02+42+32LE=5LE|\vec a|=\sqrt{0^2+4^2+3^2} LE = 5 LE

Skalare Multiplikation

Der Vektor wird auf die gewünschte Länge gebracht, in dem man ihn erst von der Länge a=5|\vec a|=5 auf die Länge 1 verkürzt und dann wieder auf die Länge k=10k=10 streckt:
kaa\dfrac{k}{|\vec a|}\cdot \vec a
=
105(043)\frac {10}{5}\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}
Berechne den Wert des Bruchs.

=
2(043) 2\cdot \begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}
Führe die skalare Multiplikation durch.

=
(086)\begin{pmatrix}0\\8\\6\end{pmatrix}

Länge 2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge des Vektors anpassen

Zunächst muss man die aktuelle Länge des Vektors bestimmen.
Anschließend teilt man die gewünschte Länge durch die aktuelle Länge.
Abschließend kann man durch eine skalare Multiplikation mit diesem Bruch den Vektor auf die gewünschte Länge bringen.
(Im oben verlinkten Artikel ist dieses Vorgehen ausführlich erklärt)

Länge des Vektors bestimmen

Bestimme die Länge des Vektors a\vec a:
a=02+42+32LE=5LE|\vec a|=\sqrt{0^2+4^2+3^2} LE = 5 LE

Skalare Multiplikation

Der Vektor wird auf die gewünschte Länge gebracht, in dem man ihn erst von der Länge a=5|\vec a|=5 auf die Länge 1 verkürzt und dann wieder auf die Länge k=2k=2 streckt:
kaa\dfrac{k}{|\vec a|}\cdot \vec a
=
25(043)\frac {2}{5}\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}
Führe die skalare Multiplikation durch.

=
(01,61,2)\begin{pmatrix}0\\1,6\\1,2\end{pmatrix}

Länge a

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge des Vektors anpassen

Auch im allgemeinen Fall gilt:
Zunächst muss man die aktuelle Länge des Vektors bestimmen.
Anschließend teilt man die gewünschte Länge (hier aa) durch die aktuelle Länge.
Abschließend kann man durch eine skalare Multiplikation mit diesem Bruch den Vektor auf die gewünschte Länge bringen.
(Im oben verlinkten Artikel ist dieses Vorgehen ausführlich erklärt)

Länge des Vektors bestimmen

Bestimme die Länge des Vektors a\vec a:
a=02+42+32LE=5LE|\vec a|=\sqrt{0^2+4^2+3^2} LE = 5 LE

Skalare Multiplikation

Der Vektor wird auf die gewünschte Länge gebracht, in dem man ihn erst von der Länge a=5|\vec a|=5 auf die Länge 1 verkürzt und dann wieder auf die Länge k=ak=a streckt:
kaa\dfrac{k}{|\vec a|}\cdot \vec a
=
a5(043)\frac {a}{5}\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}
Führe die skalare Multiplikation durch.

=
(a50a54a53)\begin{pmatrix}\frac {a}{5}\cdot0\\\frac {a}{5}\cdot4\\\frac {a}{5}\cdot3\end{pmatrix}


=
(045a35a)\begin{pmatrix}0\\\dfrac {4}{5}a\\\dfrac {3}{5}a\end{pmatrix}

Für aa kann man jetzt eine beliebige Zahl einsetzen und so den Vektor auf jede beliebige Länge verlängern oder verkürzen.
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