Aufgaben

Verbinde die Punkte B(1|2), L(2,5|2), A(1,5|1), U(12|1), E(11,5|2), R(12|3,5), F(9|3,5), I(9|2), S(2,5|4), B(1|2) der Reihe nach zu einem geschlossenen Streckenzug und berechne den Inhalt der eingeschlossenen Fläche.

Berechnungen im Dreieck und Trapez

 

 

Geogebra File: /uploads/legacy/4089_Tj9guDnx23.xml 

Es gilt:  %%A_{Gesamtfigur=}A_{\bigtriangleup BLS}+A_{Trapez\;IERF}+A_{\bigtriangleup LIS}+A_{\square IEJF}%%

 

%%A_{\triangle BLS}=\frac12\left(x_L-x_B\right)\left(y_S-y_L\right)=%%

%%=\frac12\left(2,5-1\right)\left(4-2\right)=%% %%=\frac12\left(2,5-1\right)\left(4-2\right)=%%

 

%%=\frac12\cdot3=%%

 

%%=1,5\;LE^2%%

 

%%A_{Trapez\;IERF}=\frac12\left(x_U-x_A+x_E-x_L\right)\left(y_E-y_U\right)=%%

%%=\frac12\cdot\left(12-1,5+11,5-2,5\right)\left(2-1\right)=%%

 

%%=9,75\;LE^2%%

 

%%A_{\bigtriangleup LIS}=\frac12\cdot\left(x_I-x_L\right)\left(y_S-y_L\right)=%%

 

%%=\frac12\cdot\left(9-2,5\right)\left(4-2\right)=%%

 

%%=6,5\;LE^2%%

 

%%A_{Trapez\;IERF}=\frac12\left(x_E-x_I+x_R-x_F\right)\left(y_R-y_E\right)=%%

 

%%=\frac12\cdot\left(11,5-9+12-9\right)\left(3,5-2\right)=%%

 

%%=2,75\;LE^2%%

 

%%A_{Gesamtfigur}=\;1,5\;LE^2+9,75\;LE^2+6,5\;LE^2+2,75\;LE^2=%%

 

%%=20,5\;LE^2%%

 

Berechne den Flächeninhalt des grünen 8-Ecks ABCDEFGH.
Siehe rechts.
1LE = 1cm
Tipp: Versuche Formen zu finden, die du schon berechnen kannst.

1. Übers Rechteck

Ansatz

Man zeichnet ein Rechteck um das 8-Eck. Von diesem können wir leicht den Flächeninhalt ermitteln.Nun muss man die überschüssige Fläche, also die Fläche, die das 8-Eck nicht bedeckt, in diesem Fall vier Dreiecke, von der Fläche des Rechtecks abziehen.

Rechnung

AIJLK=6cm5cm=30cm2\displaystyle A_{IJLK}=6\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=30\,\mathrm{cm}^2
AIBA=122cm1cm=1cm2\displaystyle A_{IBA}=\frac12\cdot2\,\mathrm{cm} \cdot 1\,\mathrm{cm} = 1\,\mathrm{cm}^2
ACJD=121cm1cm=12cm2\displaystyle A_{CJD}=\frac12\cdot1\,\mathrm{cm}\cdot1\,\mathrm{cm}=\frac12\,\mathrm{cm}^2
AEKF=122cm2cm=2cm2\displaystyle A_{EKF}=\frac12 \cdot 2\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 2\,\mathrm{cm}^2
AHGL=121cm2cm=1cm2\displaystyle A_{HGL}=\frac12\cdot 1\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} =1\,\mathrm{cm}^2
AABCDEFGH=AIJLK(AIBA+ACJD+AEKF+AHGL)A_{ABCDEFGH}=A_{IJLK}-\left(A_{IBA}+A_{CJD}+A_{EKF}+A_{HGL}\right)
AABCDEFGH=30cm2(1cm2+12cm2+2cm2+1cm2)\displaystyle A_{ABCDEFGH}=30\,\mathrm{cm}^2-(1\,\mathrm{cm}^2+\frac12\,\mathrm{cm}^2+2\,\mathrm{cm}^2 +1\,\mathrm{cm}^2)
AABCDEFGH=30cm24,5cm2=25,5cm2\displaystyle A_{ABCDEFGH}= 30\,\mathrm{cm}^2 - 4{,}5\,\mathrm{cm}^2 =25{,}5\,\mathrm{cm}^2

Unterteilung

Ansatz

Man unterteilt sich das 8-Eck in kleinere Teile, z. B. Dreiecke oder Rechtecke, die einfach zu berechnen sind.

Rechnung

AABI=122cm1cm=1cm2\displaystyle A_{ABI}= \frac{1}{2} \cdot 2\,\mathrm{cm} \cdot1\,\mathrm{cm} =1\,\mathrm{cm}^2
ACDJ=121cm1cm=12cm2\displaystyle A_{CDJ}=\frac12\,\cdot1\,\mathrm{cm}\cdot1\,\mathrm{cm}=\frac{1}{2}\,\mathrm{cm}^2
AHLG=121cm2cm=1cm2\displaystyle A_{HLG}=\frac{1}{2} \cdot 1\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 1\,\mathrm{cm}^2
AKEF=122cm2cm=2cm2\displaystyle A_{KEF}=\frac{1}{2} \cdot 2\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 2\,\mathrm{cm}^2
ABCJI=3cm1cm=3cm2\displaystyle A_{BCJI}= 3\,\mathrm{cm} \cdot 1\,\mathrm{cm} = 3\,\mathrm{cm}^2
ALKFG=3cm2cm=6cm2\displaystyle A_{LKFG}= 3\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} =6\,\mathrm{cm}^2
AADEH=6cm2cm=12cm2A_{ADEH}= 6\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 12\,\mathrm{cm}^2
AABCDEFGH=AABI+ACDJ+AHLG+AKEF+ABCJI+ALKFG+AADEH\displaystyle A_{ABCDEFGH}= A_{ABI} +A_{CDJ} +A_{HLG} +A_{KEF} +A_{BCJI} +A_{LKFG} +A_{ADEH}
AABCDEFGH=1cm2+12cm2+1cm2+2cm2+3cm2+6cm2+12cm2=25,5cm2\displaystyle A_{ABCDEFGH}= 1\,\mathrm{cm}^2 + \frac{1}{2}\,\mathrm{cm}^2 + 1\,\mathrm{cm}^2 + 2\,\mathrm{cm}^2 + 3\,\mathrm{cm}^2 + 6\,\mathrm{cm}^2 + 12\,\mathrm{cm}^2 = 25{,}5\,\mathrm{cm}^2

Berechne den Flächeninhalt des rechts abgebildeten Schmetterlings.

$$1 Kästchen = 1cm^2$$

Die Figur ist achsensymetrisch, das heißt man kann sie spiegeln (=> Flächeninhalt ist bei jeder Hälfte gleich groß) Berechnung einer Hälfte mal 2.

Zerteilung

Rechnung

$$A_{Schmetterling\;}=2\cdot(A_{Dreiecke}+A_{Vierecke})$$

%%1. Dreiecke%%

$$A_{ABI}=\;\frac12\cdot\;3\;cm\cdot2\;cm\;=\;3\;cm^2$$

%%A_{BIC}=\;\frac12\cdot\; 4\,cm \cdot2\;cm\,=4\,cm^2%%

%%A_{MCD}=\;\frac12\cdot\;3\,cm \cdot \,3\,cm\, =4,5\,cm^2%%

$$A_{DEQ}=\;\frac12\cdot1\;cm\cdot2\;cm\equiv1\;cm^2$$

$$A_{PEF}=\frac12\cdot3\;cm\cdot3cm\;=\;4,5\;cm^2$$

$$A_{GRF}=\;\frac12\cdot3cm\cdot2cm\equiv3cm^2$$

$$A_{Dreiecke}=\;3cm^2+4cm^2+4,5cm^2+1cm^2+4,5cm^2+3cm^2\;=\;20cm^2$$

%%2. Vierecke%%

$$A_{AMQS\;}=\;4cm\cdot4cm\;=16\;cm^2$$

$$A_{SPRG}=\;1cm\cdot3cm=\;3cm^2$$

$$A_{Vierecke}=\;16cm^2+3cm^2=\;19cm^2$$

$$3.\;Schmetterling$$

$$A_{Schmetterling\;}=2\cdot(A_{Dreiecke}+A_{Vierecke}) = 2\cdot(20cm^2 +19cm^2) = 2\cdot 39cm^2 =78 cm^2$$

Über das Rechteck

Rechnung

$$A_{Schmetterling}=2\cdot\left(A_{Rechteck}-A_{Summe\;der\;Dreiecke+Rechteck}\right)$$ 1. %%A_{Rechteck}%% $$A_{RSTU}=7cm\cdot9cm=63cm^2$$

2. %%A_{Summe\;der\;Dreiecke}%% $$A_{LTA}=\frac12\cdot3cm\cdot2cm=3cm^2$$ $$A_{LUK}=\frac12\cdot4cm\cdot2cm=4cm^2$$ $$A_{KVJ}=\frac12\cdot3cm\cdot3cm=4.5cm^2$$ $$A_{WJI}=\frac12\cdot1cm\cdot2cm=1cm^2$$ $$A_{IZH}==\frac12\cdot3cm\cdot3cm=4.5cm^2$$ $$A_{HGD}=\frac12\cdot3cm\cdot2cm=3cm^2$$

$$A_{Summe\;der\;Dreiecke}=3cm^2+4cm^2+4.5cm^2+1cm^2+4.5cm^2+3cm^2 = 20cm^2$$

$$A_{Kleines Rechteck}=A_{VWZP}=1cm\cdot4cm=4cm^2$$

$$A_{Summe\;der\;Dreiecke+Rechteck}= 20cm^2 +4cm^2 = 24cm^2$$

3.%%A_{Schmetterling}%% $$A_{Schmetterling}=2\cdot\left(A_{Rechteck}-A_{Summe\;der\;Dreiecke+Rechteck}\right)=2\cdot\left(63cm^2-24cm^2\right)=2\cdot39cm^2=78cm^2$$

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