Aufgaben
Verbinde die Punkte B(1|2), L(2,5|2), A(1,5|1), U(12|1), E(11,5|2), R(12|3,5), F(9|3,5), I(9|2), S(2,5|4), B(1|2) der Reihe nach zu einem geschlossenen Streckenzug und berechne den Inhalt der eingeschlossenen Fläche.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

Berechnungen im Dreieck und Trapez


Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4089_Tj9guDnx23.xml
Es gilt:  AGesamtfigur=ABLS+ATrapez  IERF+ALIS+AIEJFA_{Gesamtfigur=}A_{\bigtriangleup BLS}+A_{Trapez\;IERF}+A_{\bigtriangleup LIS}+A_{\square IEJF}

ABLS=12(xLxB)(ySyL)=A_{\triangle BLS}=\frac12\left(x_L-x_B\right)\left(y_S-y_L\right)=
=12(2,51)(42)==\frac12\left(2,5-1\right)\left(4-2\right)= =12(2,51)(42)==\frac12\left(2,5-1\right)\left(4-2\right)=

=123==\frac12\cdot3=

=1,5  LE2=1,5\;LE^2

ATrapez  IERF=12(xUxA+xExL)(yEyU)=A_{Trapez\;IERF}=\frac12\left(x_U-x_A+x_E-x_L\right)\left(y_E-y_U\right)=
=12(121,5+11,52,5)(21)==\frac12\cdot\left(12-1,5+11,5-2,5\right)\left(2-1\right)=

=9,75  LE2=9,75\;LE^2

ALIS=12(xIxL)(ySyL)=A_{\bigtriangleup LIS}=\frac12\cdot\left(x_I-x_L\right)\left(y_S-y_L\right)=

=12(92,5)(42)==\frac12\cdot\left(9-2,5\right)\left(4-2\right)=

=6,5  LE2=6,5\;LE^2

ATrapez  IERF=12(xExI+xRxF)(yRyE)=A_{Trapez\;IERF}=\frac12\left(x_E-x_I+x_R-x_F\right)\left(y_R-y_E\right)=

=12(11,59+129)(3,52)==\frac12\cdot\left(11,5-9+12-9\right)\left(3,5-2\right)=

=2,75  LE2=2,75\;LE^2

AGesamtfigur=  1,5  LE2+9,75  LE2+6,5  LE2+2,75  LE2=A_{Gesamtfigur}=\;1,5\;LE^2+9,75\;LE^2+6,5\;LE^2+2,75\;LE^2=

=20,5  LE2=20,5\;LE^2


Berechne den Flächeninhalt des grünen Achtecks ABCDEFGH.
cm^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren

Versuche das Vieleck in Formen zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst.
Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, um diese Aufgabe zu lösen.
Die vermutlich üblichste Möglichkeit ist es, das Achteck in Figuren zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leichter berechnen kannst.
Zerlegungen des Achtecks
Die Berechnung über eine Zerlegung in Drei- und Rechtecke ist hier näher ausgeführt.
Zerlegung in Drei- und Vierecke
Der Flächeninhalt AAchteckA_{Achteck} ergibt sich dann aus der Summe der Flächeninhalte der Drei- und Rechtecke der Zerlegung, also:
AAchteck=AΔ1  +  AΔ2  +  AΔ3  +  AΔ4  +  A1  +  A2  +  A3\displaystyle A_{Achteck}=A_{\Delta_1}\;+\;A_{\Delta_2}\;+\;A_{\Delta_3}\;+\;A_{\Delta_4}\;+\;A_{\square_1}\;+\;A_{\square_2}\;+\;A_{\square_3}
Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und Rechtecke berechnen.

Flächeninhalt der Dreiecke

Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Dreiecke AΔ1A_{\Delta_1}, AΔ2A_{\Delta_2}​​, AΔ3A_{\Delta_3}​​ und AΔ4​​A_{\Delta_4}​​ benötigst du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke.
AΔ1=122cm1cm=1cm2A_{\Delta_1}= \frac{1}{2} \cdot 2\,\mathrm{cm} \cdot1\,\mathrm{cm} =1\,\mathrm{cm}^2
AΔ2=121cm1cm=12cm2A_{\Delta_2}=\frac12\,\cdot1\,\mathrm{cm}\cdot1\,\mathrm{cm}=\frac{1}{2}\,\mathrm{cm}^2
AΔ3=122cm2cm=2cm2A_{\Delta_3}=\frac{1}{2} \cdot 2\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 2\,\mathrm{cm}^2
AΔ4=121cm2cm=1cm2A_{\Delta_4}=\frac{1}{2} \cdot 1\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 1\,\mathrm{cm}^2

Flächeninhalt der Rechtecke

Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Rechtecke A1A_{\square_1}, A2A_{\square_2} und A3A_{\square_3} brauchst du die Flächeninhaltsformel für Rechtecke.
A1=3cm1cm=3cm2A_{\square_1}= 3\,\mathrm{cm} \cdot 1\,\mathrm{cm} =3\,\mathrm{cm}^2
A2=6cm2cm=12cm2A_{\square_2}= 6\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} =12\,\mathrm{cm}^2
A3=3cm2cm=6cm2A_{\square_3}= 3\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} =6\,\mathrm{cm}^2

Berechnung des Flächeninhalts des Achtecks

Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und Rechtecke addieren, um AAchteckA_{Achteck} zu bestimmen.
AAchteck=AΔ1  +  AΔ2  +  AΔ3  +  AΔ4  +  A1  +  A2  +  A3=1cm2+12cm2+2cm2+1cm2+3cm2+12cm2+6cm2=25,5cm2\displaystyle A_{Achteck}=A_{\Delta_1}\;+\;A_{\Delta_2}\;+\;A_{\Delta_3}\;+\;A_{\Delta_4}\;+\;A_{\square_1}\;+\;A_{\square_2}\;+\;A_{\square_3} = 1\,\mathrm{cm}^2 + \frac{1}{2}\,\mathrm{cm}^2 + 2\,\mathrm{cm}^2 + 1\,\mathrm{cm}^2 + 3\,\mathrm{cm}^2 + 12\,\mathrm{cm}^2 + 6\,\mathrm{cm}^2 = 25{,}5\,\mathrm{cm}^2
Der gesuchte Flächeninhalt ist also AAchteck=25,5  cm2A_{Achteck}=25,5\; \mathrm{cm}^2
Anstatt das Achteck zu zerlegen, um dessen Flächeninhalt zu bestimmen, kannst du es auch zu einem Rechteck ergänzen. Von diesem können wir leicht den Flächeninhalt AA_\square ermitteln.
Nun muss man die überschüssige Fläche von der Fläche des Rechtecks abziehen, also in diesem Fall den Flächeninhalt der vier Dreiecke an den Ecken des Rechtecks, vom Flächeninhalt des Rechtecks subtrahieren.
Also berechnest du:
AAchteck=AAΔ1AΔ2AΔ3AΔ4\displaystyle A_{Achteck}=A_\square - A_{\Delta_1} - A_{\Delta_2} - A_{\Delta_3} - A_{\Delta_4}
Berechne zuerst den Flächeninhalt des Rechtecks:
A=6cm5cm=30cm2A_{\square}=6\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=30\,\mathrm{cm}^2

Nun kannst du noch den Flächeninhalt der Dreiecke bestimmen, also AΔ1A_{\Delta_1}, AΔ2A_{\Delta_2}, AΔ3A_{\Delta_3} und AΔ4A_{\Delta_4}.
AΔ1=122cm1cm=1cm2A_{\Delta_1}=\frac12\cdot2\,\mathrm{cm} \cdot 1\,\mathrm{cm} = 1\,\mathrm{cm}^2
AΔ2=121cm1cm=12cm2A_{\Delta_2}=\frac12\cdot1\,\mathrm{cm} \cdot 1\,\mathrm{cm} = \frac12\,\mathrm{cm}^2
AΔ3=122cm2cm=2cm2A_{\Delta_3}=\frac12\cdot2\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 2\,\mathrm{cm}^2
AΔ4=121cm2cm=1cm2A_{\Delta_4}=\frac12\cdot1\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 1\,\mathrm{cm}^2AHGL=121cm2cm=1cm2A_{HGL}=\frac12\cdot 1\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} =1\,\mathrm{cm}^2
Jetzt lässt sich der Flächeninhalt des Achtecks bestimmen.
AAchteck=AAΔ1AΔ2AΔ3AΔ4=30cm21cm212cm22cm21cm2=25,5cm2\displaystyle \begin{array}{lcl} A_{Achteck}& = & A_\square - A_{\Delta_1} - A_{\Delta_2} - A_{\Delta_3} - A_{\Delta_4} \\ & = & 30\,\mathrm{cm}^2-1\,\mathrm{cm}^2-\frac12\,\mathrm{cm}^2-2\,\mathrm{cm}^2 -1\,\mathrm{cm}^2 \\ & = & 25,5\,\mathrm{cm}^2 \end{array}
Du erhältst also auch durch dieses Verfahren das Ergebnis AAchteck=25,5cm2A_{Achteck}=25,5 \, \mathrm{cm}^2
Berechne den Flächeninhalt des rechts abgebildeten Schmetterlings.
1Ka¨stchen=1cm2\displaystyle 1 Kästchen = 1cm^2
Die Figur ist achsensymetrisch, das heißt man kann sie spiegeln (=> Flächeninhalt ist bei jeder Hälfte gleich groß)Berechnung einer Hälfte mal 2.
Zerteilung

Rechnung

ASchmetterling  =2(ADreiecke+AVierecke)\displaystyle A_{Schmetterling\;}=2\cdot(A_{Dreiecke}+A_{Vierecke})
1.Dreiecke1. Dreiecke
AABI=  12  3  cm2  cm  =  3  cm2\displaystyle A_{ABI}=\;\frac12\cdot\;3\;cm\cdot2\;cm\;=\;3\;cm^2

ABIC=  12  4cm2  cm=4cm2\displaystyle A_{BIC}=\;\frac12\cdot\; 4\,cm \cdot2\;cm\,=4\,cm^2
AMCD=  12  3cm3cm=4,5cm2A_{MCD}=\;\frac12\cdot\;3\,cm \cdot \,3\,cm\, =4,5\,cm^2
ADEQ=  121  cm2  cm1  cm2\displaystyle A_{DEQ}=\;\frac12\cdot1\;cm\cdot2\;cm\equiv1\;cm^2
APEF=123  cm3cm  =  4,5  cm2\displaystyle A_{PEF}=\frac12\cdot3\;cm\cdot3cm\;=\;4,5\;cm^2
AGRF=  123cm2cm3cm2\displaystyle A_{GRF}=\;\frac12\cdot3cm\cdot2cm\equiv3cm^2
ADreiecke=  3cm2+4cm2+4,5cm2+1cm2+4,5cm2+3cm2  =  20cm2\displaystyle A_{Dreiecke}=\;3cm^2+4cm^2+4,5cm^2+1cm^2+4,5cm^2+3cm^2\;=\;20cm^2
2.Vierecke2. Vierecke
AAMQS  =  4cm4cm  =16  cm2\displaystyle A_{AMQS\;}=\;4cm\cdot4cm\;=16\;cm^2
ASPRG=  1cm3cm=  3cm2\displaystyle A_{SPRG}=\;1cm\cdot3cm=\;3cm^2
AVierecke=  16cm2+3cm2=  19cm2\displaystyle A_{Vierecke}=\;16cm^2+3cm^2=\;19cm^2
3.Schmetterling

ASchmetterling  =2(ADreiecke+AVierecke)=2(20cm2+19cm2)=239cm2=78cm2\displaystyle \begin{array}{lcl} A_{Schmetterling\;}&=&2\cdot(A_{Dreiecke}+A_{Vierecke}) \\ &=& 2\cdot(20cm^2 +19cm^2)\\ &=& 2\cdot 39cm^2 \\ &=&78 cm^2 \end{array}

Über das Rechteck

Rechnung

ASchmetterling=2(ARechteckASumme  der  Dreiecke+Rechteck)\displaystyle A_{Schmetterling}=2\cdot\left(A_{Rechteck}-A_{Summe\;der\;Dreiecke+Rechteck}\right)
ARSTU=7cm9cm=63cm2\displaystyle A_{RSTU}=7cm\cdot9cm=63cm^2
2. ASumme  der  DreieckeA_{Summe\;der\;Dreiecke}
ASumme  der  Dreiecke=3cm2+4cm2+4.5cm2+1cm2+4.5cm2+3cm2=20cm2\displaystyle A_{Summe\;der\;Dreiecke}=3cm^2+4cm^2+4.5cm^2+1cm^2+4.5cm^2+3cm^2 = 20cm^2
AKleinesRechteck=AVWZP=1cm4cm=4cm2\displaystyle A_{Kleines Rechteck}=A_{VWZP}=1cm\cdot4cm=4cm^2
ASumme  der  Dreiecke+Rechteck=20cm2+4cm2=24cm2\displaystyle A_{Summe\;der\;Dreiecke+Rechteck}= 20cm^2 +4cm^2 = 24cm^2
3.ASchmetterlingA_{Schmetterling}
Baum
Berechne den Flächeninhalt des rechts abgebildeten Baums.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren

Versuche den Baum in Formen zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst.
Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, um diese Aufgabe zu lösen.
Die vermutlich üblichste Möglichkeit ist es, den Baum in Figuren zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leichter berechnen kannst.
Zerlegung in bekannte Figuren
Die Berechnung über eine Zerlegung in Drei- und Rechtecke ist hier näher ausgeführt.
Baum mit Beschriftung
Der Flächeninhalt ABaumA_{Baum} ergibt sich dann aus der Summe der Flächeninhalte der Drei- und Rechtecke der Zerlegung, also:
ABaum=AΔ1+AΔ2+AΔ2+AΔ3+AΔ3+A\displaystyle A_{Baum}=A_{\Delta_1}+A_{\Delta_2}+A'_{\Delta_2}+A_{\Delta_3}+A'_{\Delta_3}+A_{\square}
Da der Baum symmetrisch ist, gelten folgende Beziehungen:
AΔ2=AΔ2AΔ3=AΔ3\displaystyle \begin{array}{lcl} \textcolor{009999}{A_{\Delta_2}} &=& \textcolor{009999}{A'_{\Delta_2}}\\ \textcolor{cc0000}{A_{\Delta_3}} &=& \textcolor{cc0000}{A'_{\Delta_3}} \end{array}
Also gilt : ABaum=AΔ1+2AΔ2+2AΔ3+AA_{Baum}= A_{\Delta_1}+2\cdot A_{\Delta_2}+2\cdot A_{\Delta_3}+A_{\square}
Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und des Rechtecks berechnen.

Flächeninhalt der Dreiecke

Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Dreiecke AΔ2A_{\Delta_2} und AΔ3A_{\Delta_3}benötigst du die Flächeninhaltsformel für rechtwinklige Dreiecke.
Dreieck 2
Flächeninhalt AΔ2A_{\Delta_2}:

AΔ2=121 cm2 cm=1cm2A_{\Delta_2}=\dfrac{1}{2}\cdot 1\text{ cm} \cdot 2\text{ cm}= 1 \text{cm}^2
Dreieck 3
Flächeninhalt AΔ3A_{\Delta_3}:

AΔ3=122 cm2 cm=2cm2A_{\Delta_3}=\dfrac{1}{2}\cdot 2\text{ cm} \cdot 2\text{ cm}= 2 \text{cm}^2
Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Dreiecke AΔ1A_{\Delta_1}benötigst du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke.
Dreieck 1
Flächeninhalt AΔ1A_{\Delta_1}:

AΔ1=122 cm2 cm=2cm2A_{\Delta_1}=\dfrac{1}{2}\cdot 2\text{ cm} \cdot 2\text{ cm}= 2 \text{cm}^2

Flächeninhalt der Rechtecke

Zur Bestimmung des Flächeninhalts des Rechtecks AA_{\square} brauchst du die Flächeninhaltsformel für Rechtecke.
Rechteck
A=2 cm6 cm=12 cm2A_{\square}= 2 \text{ cm} \cdot 6\text{ cm}= 12 \text{ cm}^2

Berechnung des Flächeninhalts des Baums

Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und des Rechtecks addieren, um​ ABaumA_{Baum} zu bestimmen.
ABaum=AΔ1+2AΔ2+2AΔ3+A=2 cm2+21 cm2+22 cm2+12 cm2=20 cm2\displaystyle \begin{array}{lcl} A_{Baum}&=& A_{\Delta_1}+2\cdot A_{\Delta_2}+2\cdot A_{\Delta_3}+A_{\square}\\ &=& 2\text{ cm}^2+2 \cdot 1\text{ cm}^2+2 \cdot 2\text{ cm}^2+12\text{ cm}^2\\ &=& 20\text{ cm}^2 \end{array}
Der Flächeninhalt des Baums beträgt somit 20 cm220 \text{ cm}^2.
Treppe
Berechne den Flächeninhalt der Treppe.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren

Versuche das Vieleck zu einer Form zu ergänzen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst und ziehe anschließend die Formen ab, die nicht zu der Figur gehören.

Rechteck
Eine Möglichkeit ist es, die Treppe zu einem Rechteck zu ergänzen. Von diesem können wir leicht den Flächeninhalt AA_{\square} ermitteln.
Nun muss man die überschüssige Fläche von der Fläche des Rechtecks abziehen, also in diesem Fall den Flächeninhalt der drei Rechtecke, vom Flächeninhalt des Rechtecks subtrahieren. Also berechnest du:
ATreppe=AA1A2A3\displaystyle A_{\text{Treppe}}=A_\square-A_{\square_1}-A_{\square_2}-A_{\square_3}
Rechteck2
Berechne zuerst den Flächeninhalt des großen Rechtecks A:A_{\square}:
A=4 cm8 cm=32 cm2\displaystyle \textcolor{009999}{A_{\square}}= 4\text{ cm}\cdot 8\text{ cm}=32 \text{ cm}^2
Nun kannst du noch die Flächeninhalte der drei Rechtecke A1A_{\square_1},A2A_{\square_2} und A3A_{\square_3} bestimmen.
A1=1 cm2 cm=2 cm2A2=2 cm2 cm=4 cm2A3=3 cm2 cm=6 cm2\displaystyle \begin{array}{lcl} \textcolor{660099}{A_{\square_1}} &=& 1\text{ cm} \cdot 2\text{ cm} =2 \text{ cm}^2\\ \textcolor{cc0000}{A_{\square_2}} &=& 2\text{ cm} \cdot 2\text{ cm} =4 \text{ cm}^2\\ \textcolor{ff6600}{A_{\square_3}} &=& 3\text{ cm} \cdot 2\text{ cm} =6 \text{ cm}^2 \end{array}
Jetzt lässt sich der Flächeninhalt der Treppe bestimmen.
ATreppe=AA1A2A3=32 cm22 cm24 cm26 cm2=20 cm2\displaystyle \begin{array}{lcl} A_{\text{Treppe}}&=&A_\square-A_{\square_1}-A_{\square_2}-A_{\square_3}\\ &=& 32 \text{ cm}^2- 2 \text{ cm}^2-4 \text{ cm}^2-6 \text{ cm}^2 \\ &=& 20 \text{ cm}^2 \end{array}
Der Flächeninhalt der Treppe beträgt somit 20 cm2.20 \text{ cm}^2.
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