Hier findest du Aufgaben zum Thema Quader. Die Aufgaben behandeln Oberfläche, Kanten, Diagonalen und Volumen eines Quaders.

Aufgaben
Bestimme die Anzahl der Einheitswürfel, die du benötigst, um den jeweiligen Körper vollständig auszufüllen.
Würfel 2
125125 Einheitswürfel
100100 Einheitswürfel
6464 Einheitswürfel
150150 Einheitswürfel
In einer Reihe zählst du 55 Einheitswürfel.
In einer Schicht gibt es 55 Reihen mit jeweils 55 Einheitswürfel. Insgesamt passen also 55=255 \cdot 5 = 25 Einheitswürfel in einer Schicht.
Im Würfel zählst du 55 Schichten mit jeweils 2525 Einheitswürfel. Insgesamt passen somit 525=1255 \cdot 25 = 125 Einheitswürfel im großen Würfel.
Die Antwort "125125 Einheitswürfel" ist also richtig.
Quader 1
1212 Einheitswürfel
1111 Einheitswürfel
88 Einheitswürfel
66 Einheitswürfel
In einer Reihe zählst du 33 Einheitswürfel.
In einer Schicht gibt es 22 Reihen mit jeweils 33 Einheitswürfel. Insgesamt passen also 23=62 \cdot 3 = 6 Einheitswürfel in einer Schicht.
Im Quader zählst du 22 Schichten mit jeweils 66 Einheitswürfel. Insgesamt passen somit 26=122 \cdot 6 = 12 Einheitswürfel im Quader.
Die Antwort "1212 Einheitswürfel" ist also richtig.
Quader 2
192192 Einheitswürfel
216216 Einheitswürfel
160160 Einheitswürfel
168168 Einheitswürfel
In einer Reihe zählst du 88 Einheitswürfel.
In einer Schicht gibt es 66 Reihen mit jeweils 88 Einheitswürfel. Insgesamt passen also 68=486 \cdot 8 = 48 Einheitswürfel in einer Schicht.
Im Quader zählst du 44 Schichten mit jeweils 4848 Einheitswürfel. Insgesamt passen somit 448=1924 \cdot 48 = 192 Einheitswürfel im Quader.
Die Antwort "192192 Einheitswürfel" ist also richtig.
In der Tabelle wurden die Maße verschiedener Quader angegeben. Die Volumina sind zunächst unbekannt und sollen in dieser Aufgabe berechnet werden.

Länge

Breite

Höhe

Volumen

%%10\;\text{cm}%%

%%5\;\text{cm}%%

%%4\;\text{cm}%%

%%V_1%%

%%2\;\text{m}%%

%%0,5\;\text{m}%%

%%0,5\;\text{m}%%

%%V_2%%

%%2\;\text{dm}%%

%%15\;\text{cm}%%

%%100\;\text{mm}%%

%%V_3%%

%%0,01\;\text{m}%%

%%10\;\text{mm}%%

%%0,1\;\text{dm}%%

%%V_4%%

Welche Werte kann V1V_1 annehmen?
V1=200cm3V_1 = 200\text{cm}^3
V1=200cm2V_1 = 200\text{cm}^2
V1=2m3V_1 = 2\text{m}^3
V1=2dm3V_1 = 2\text{dm}^3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quader

Du sollst hier die Formel zur Berechnung des Volumen eines Quaders nutzen: V=lbhV=l\cdot b\cdot h
V=lbh=10cm5cm4cm=200cm3\begin{array}{rcl}V&=&l\cdot b\cdot h\\&=&10\text{cm}\cdot5\text{cm}\cdot4\text{cm}\\&=&200\text{cm}^3\end{array}

  • Die Antwort V1=200cm3V_1 = 200\text{cm}^3 ist somit richtig.
  • Die Einheit cm2\text{cm}^2 beschreibt eine Fläche und kein Volumen. Somit ist die Antwort V1=200cm2V_1 = 200\text{cm}^2 falsch.
  • Da 2m3=2000dm3=2000000cm3200cm32\text{m}^3 = 2000\text{dm}^3 = 2 000 000 \text{cm}^3 \ne 200\text{cm}^3, ist die Antwort V1=2m3V_1 = 2\text{m}^3 falsch.
  • Da 2dm3=2000cm3200cm32\text{dm}^3 = 2000\text{cm}^3 \ne 200\text{cm}^3, ist auch die Antwort V1=2dm3V_1 = 2\text{dm}^3 falsch.
Welche Werte kann V2V_2 annehmen?
V2=500dm3V_2 = 500\text{dm}^3
V2=5hlV_2 = 5\:\text{hl}
V2=500lV_2 = 500\:\text{l}
V2=0,5lV_2 = 0,5\:\text{l}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quader

  1. Wandele in gleiche Einheiten um (hier: dm!)
  2. Rechne danach das Volumen aus.
Bevor du die Formel zur Berechnung des Volumen eines Quaders anwendest, kannst du alle Maße in dm\text{dm} angeben:
  • l=2m=20dml = 2\text{m} = 20\text{dm}
  • b=0,5m=5dmb = 0,5\text{m} = 5 \text{dm}
  • h=0,5m=5dmh = 0,5 \text{m} = 5\text{dm}
Rechne jetzt das Volumen mit der Formel aus.
V2=lbh=20dm5dm5dm=500dm3\begin{array}{rcl}V_2 &=& l\cdot b \cdot h\\ &=& 20\text{dm}\cdot 5\text{dm} \cdot 5\text{dm}\\ &=& 500\text{dm}^3 \end{array}
  • Die Antwort V2=500dm3V_2 = 500\text{dm}^3 ist also richtig.
  • 1l=1dm31\: \text{l} = 1 \text{dm}^3. Daraus folgt, dass 500l=500dm3500\: \text{l} = 500\text{dm}^3. Die Antwort V2=500lV_2 = 500\: \text{l} ist also richtig.
  • Die Antwort V2=0,5lV_2 = 0,5 \: \text{l} ist falsch.
  • Die Volumeneinheit 1hl=100l1 \: \text{hl} = 100\: \text{l}. Also 5hl=500l=500dm35\: \text{hl} = 500\: \text{l} = 500\text{dm}^3 und daher istdie Antwort V2=5hlV_2 = 5\: \text{hl} auch richtig.
Welche Werte kann V3V_3 annehmen?
V3=3dm3V_3 = 3\text{dm}^3
V3=0,3dm3V_3 = 0,3\text{dm}^3
V3=30dm3V_3 = 30\text{dm}^3
V3=300dm3V_3 = 300\text{dm}^3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quader

  1. Wandele in gleiche Einheiten um.
  2. Berechne dann erst das Volumen.
Hier sind die Länge, die Breite und die Höhe in unterschiedlichen Einheiten gegeben. Bevor du die Formel für das Berechnen des Volumen eines Quaders anwenden kannst, musst du alle Maße in der gleichen Einheit angeben.

Um nur mit Natürlichen Zahlen zu rechnen kannst du hier alle Maße in cm\text{cm} angeben:
  • l=2dm=20cml = 2\text{dm} = 20 \text{cm}
  • b=15cmb = 15\text{cm}
  • h=100mm=10cmh = 100 \text{mm} = 10 \text{cm}
Damit kannst du das Volumen wie folgt ausrechnen:
V3=lbh=20cm15cm10cm=3000cm3\begin{array}{rcl}V_3&=&l\cdot b \cdot h\\ &=& 20\text{cm} \cdot 15\text{cm} \cdot 10\text{cm} \\ &=& 3000\text{cm}^3\end{array}
Wenn du die Multiplikation von Dezimalbrüchen kennst, dann ist es in diesem Beispiel einfacher alle Maße in dm\text{dm} anzugeben:
  • l=2dml = 2 \text{dm}
  • b=15cm=1,5dmb = 15\text{cm} = 1,5 \text{dm}
  • h=100mm=1dmh = 100 \text{mm} = 1 \text{dm}

V3=lbh=2dm1,5dm1dm3=3dm3\begin{array}{rcl}V_3&=&l \cdot b \cdot h \\ &=& 2\text{dm}\cdot 1,5\text{dm} \cdot 1\text{dm}^3\\ &=&3\text{dm}^3\end{array}
  • Die Antwort V3=3dm3V_3=3\text{dm}^3 ist somit richtig.
  • Die Antworten V3=0,3dm3V_3 = 0,3 \text{dm}^3, V3=30dm3V_3 = 30\text{dm}^3 und V3=300dm3V_3 = 300\text{dm}^3 sind alle falsch.
Welche Werte kann V4V_4 annehmen?
V4=1cm3V_4 = 1\text{cm}^3
V4=1mlV_4 = 1\:\text{ml}
V4=1mm3V_4 = 1\text{mm}^3
V4=1clV_4 = 1\:\text{cl}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quader

  1. Wandele in gleiche Einheiten um.
  2. Berechne dann das Volumen des Quaders.
Hier sind die Länge, die Breite und die Höhe in unterschiedlichen Einheiten gegeben. Bevor du die Formel für das Berechnen des Volumen eines Quaders anwenden kannst, musst du alle Maße in der gleichen Einheit angeben.
Es bietet sich bei dieser Aufgabe an, die Maße in cm\text{cm} anzugeben:
  • l=0,01m=1cml = 0,01\text{m} = 1\text{cm}
  • b=10mm=1cmb = 10\text{mm} = 1\text{cm}
  • h=0,1dm=1cmh = 0,1\text{dm} = 1\text{cm}

Es handelt sich also bei diesem Quader um einen Würfel mit der Kantenlänge a=1cma = 1\text{cm}.

V4=aaa=1cm1cm1cm=1cm3\begin{array} {rcl} V_4&=&a\cdot a \cdot a\\ &=& 1\text{cm}\cdot 1\text{cm}\cdot 1\text{cm} \\ &=& 1\text{cm} ^3 \end{array}
  • Die Antwort V4=1cm3V_4 = 1\text{cm}^3 ist also richtig.
  • Die Antwort V4=1mm3V_4 = 1\text{mm}^3 ist falsch.
  • 1ml=1cm31\: \text{ml} = 1\text{cm}^3. Somit ist die Antwort V4=1mlV_4 = 1\: \text{ml} richtig.
  • Die Antwort V4=1clV_4 = 1\text{cl} falsch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen des Quaders

Anzahl der Würfel in einer Reihe

Das Paket ist 6060cm lang und ein Würfel hat eine Kantenlänge von 22cm. Um die Anzahl der Würfel in einer Reihe zu erhalten, teilst du die Länge der Reihe durch die Kantenlänge des Würfels:
%%\begin{array}{lcl}\text{Anzahl der Würfel in einer Reihe} & = & 60\text{cm} : 2\text{cm} \\& = & 30 \\\end{array}%%
In einer Reihe passen also 3030 Würfel.

Anzahl der Würfel in einer Schicht

Das Paket ist 4040cm breit. Die Anzahl der Reihen erhältst du, indem du die Breite des Pakets durch die Kantenlänge der Würfel teilst:
%%\begin{array}{lcl}\text{Anzahl der Reihen} & = & 40\text{cm} : 2\text{cm} \\& = & 20 \\\end{array}%%
Es gibt also 2020 Reihen, in der sich jeweils 3030 Würfel befinden. Insgesamt erhältst du:
%%\begin{array}{lcl}\text{Anzahl der Würfel in einer Schicht} & = & 20 \cdot 30 \\& = & 600 \\\end{array}%%
Es passen 600600 Würfel in eine Schicht.

Anzahl der Würfel im Paket

Das Paket ist 2020cm hoch. Die Anzahl der Schichten erhältst du, indem du die Höhe des Pakets durch die Kantenlänge der Würfel teilst:
%%\begin{array}{lcl}\text{Anzahl der Schichten} & = & 20\text{cm} : 2\text{cm} \\& = & 10 \\\end{array}%%
In das Paket passen 1010 Schichten, in jeder Schicht 600600 Würfel. Insgesamt ergibt sich also:
%%\begin{array}{lcl}\text{Anzahl der Würfel im Paket} & = & 10 \cdot 600 \\& = & 6000 \\\end{array}%%
In ein Paket passen also 60006000 Würfel.
Die Firma "Würfeldeluxe" kann somit alle 50005000 Würfel in einem Paket abschicken.
Die beiden Skizzen zeigen einen Quader und einen Würfel mit deren Abmessungen.
Quader
Würfel
Welcher dieser beiden Körper hat den größeren Oberflächeninhalt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt

Tipp: Wenn du dir nicht sicher bist, wie die Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders lautet, überlege dir, welche Seitenflächen gleich sind und wie du diese jeweils berechnen kannst.

Oberflächeninhalt

Der Oberflächeninhalt beider Körper wird hier berechnet und anschließend verglichen.

Oberfläche des Quaders

Die Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Quaders lautet:
O=2lb+2lh+2bhO = 2\cdot l\cdot b + 2\cdot l \cdot h + 2\cdot b \cdot h
Für den Quader links sind:
  • l=8cml = 8\text{cm}
  • b=5cmb = 5\text{cm}
  • h=3cmh = 3\text{cm}
Diese Werte werden in die Formel eingesetzt:
%%\begin{array}{lclclcl}O & = & 2\cdot 8\text{cm} \cdot 5\text{cm} & + & 2 \cdot 8\text{cm} \cdot 3\text{cm} & + & 2 \cdot 5\text{cm} \cdot 3\text{cm} \\& = & 80\text{cm}^2 & + & 48\text{cm}^2 & + & 30\text{cm}^2 \\& = & 158\text{cm}^2 \\\end{array}%%
Der Oberflächeninhalt des Quaders beträgt also 150cm2150\text{cm}^2

Oberfläche des Würfels

Für den Würfel rechts ist die Kantenlänge a=5cma = 5\text{cm}. Die Fläche AA einer Seite kann wie folgt berechnet werden:
%%\begin{array}{lcl}A & = & a \cdot a \\& = & 5\text{cm} \cdot 5\text{cm} \\& = & 25 \text{cm}^2\end{array}%%
Da bei einem Würfel alle 66 Seitenflächen gleich groß sind, ergibt sich für die Oberfläche:
%%\begin{array}{lcl}O & = & 6 \cdot 25\text{cm}^2 \\& = & 150\text{cm}^2 \\\end{array}%%
Der Oberflächeninhalt des Würfels beträgt also 150cm2150\text{cm}^2.

Vergleich

Der Oberflächeninhalt des linken Quaders (158cm2)\left(158\text{cm}^2\right) ist größer als der Oberflächeninhalt des rechten Würfels (150cm2)\left(150\text{cm}^2\right).
Welcher dieser beiden Körper hat das größere Volumen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt

Volumen

Das Volumen der beiden Körper wird hier berechnet, um beide Volumina vergleichen zu können.

Volumen des Quaders

Das Volumen eines Quaders lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
V=lbhV = l\cdot b \cdot h
Aus der Skizze, oder aus Aufgabe (a), kannst du folgende Werte ablesen:
  • l=8l = 8cm
  • b=5b = 5cm
  • h=3h = 3cm
Diese Werte kannst du nun in die Formel einsetzen:
%%\begin{array}{lcl}V & = & 8\text{cm} \cdot 5\text{cm} \cdot 3\text{cm} \\& = & 120\text{cm}^3 \\\end{array}%%
Das Volumen des Quaders links beträgt also 120cm3120\text{cm}^3.

Volumen des Würfels

Das Volumen eines Würfels lässt sich mit der folgenden Formel berechen:
V=aaaV = a\cdot a\cdot a
Der Würfel aus der Skizze links hat eine Kantenlänge a=5a = 5cm. Diesen Wert kannst du nun in die Formel einsetzen:
%%\begin{array}{lcl}V & = & 5\text{cm} \cdot 5\text{cm} \cdot 5\text{cm} \\& = & 125\text{cm}^3 \\\end{array}%%
Das Volumen des Würfels rechts beträgt also 125cm3125\text{cm}^3.

Erkenntnis

Der Quader hat somit ein kleineres Volumen (120cm3)\left(120\text{cm}^3\right) als der Würfel (125cm3)\left(125\text{cm}^3\right), obwohl der Oberflächeninhalt des Quaders (158cm2)\left(158\text{cm}^2\right) größer ist als der Oberflächeninhalt des Würfels (150cm2)\left(150\text{cm}^2\right).
Eine Größere Oberfläche bedeutet also nicht zwingend ein größeres Volumen!

Sophia hat ein Aquarium.
Es hat 70 cm Länge und 50 cm Breite.
Sophia gießt 90 l Wasser ins Aquarium.
Wie hoch steht das Wasser?

Volumen eines Quaders

70 cm Länge
50 cm Breite
90 l Wasser

Länge mal Breite $$50\;\mathrm{cm}\cdot70\;\mathrm{cm}\;=\;3500\;\mathrm{cm}^2$$

Multipliziere um die Grundfläche aus zu rechnen

$$\begin{array}{l}\;\Rightarrow90\;\mathrm l\;=\;90\;\mathrm{dm}^3\\\;\Rightarrow90\;\mathrm{dm}^{3\;}\;=\;90000\;\mathrm{cm}^3\end{array}$$

Die 90 l rechnest du in %%\mathrm{cm}^3\;%% um

$$3500\;\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm h\;=\;90000\;\mathrm{cm}^3\;\vert:3500\;\mathrm{cm}^2$$

Aus dieser Gleichung kannst du h ausrechnen

$$3500\;\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm h\;:\;3500\;\mathrm{cm}^2\;=\;90000\;\mathrm{cm}^{3\;}:3500\;\mathrm{cm}\;^2$$

Teile %%90000%% %%\mathrm{cm}^3%% durch %%3500\;cm\;^2%%

h = 25,71428…cm $$\approx\;26\;\mathrm{cm}$$

Wie lang ist die Raumdiagonale in einem Würfel der Kantenlänge 7? Gib das Ergebnis auf eine Nachkommastelle gerundet an!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Wie lang ist die Raumdiagonale in einem Würfel der Kantenlänge a=7a=7?
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4584_GMA9UCoCkE.xml
In grüner Farbe eingezeichnet ist die Diagonale AC\overline{AC} der unteren Fläche des Würfels, eines Quadrats, die nach dem Satz des Pythagoras die Länge =a2=a\sqrt2 besitzt.
In roter Farbe ist die Raumdiagonale des Würfels mit Länge dd eingezeichnet.
In gelber Farbe ist die Kante CG\overline{CG} des Würfels eingezeichnet, deren Länge aa ist. Der Trick besteht nun darin, dass das Dreieck ACGACG rectwinklig ist - mit rechtem Winkel in CC. Daher lässt sich erneut der Satz des Phthygoras anwenden:
(2a)2+a2=(La¨nge  Raumdiagonale)2\left(\sqrt2a\right)^2+a^2=\left(Länge\;Raumdiagonale\right)^2
Längen sind immer nichtnegativ.
3a2=d\Rightarrow\sqrt{3a^2}=d
Für  a=7a=7 gilt:
d=372=73d=\sqrt{3\cdot7^2}=7\cdot\sqrt3
12,1LE\approx12,1\,LE
\Rightarrow Die Länge dd der Raumdiagonalen beträgt etwa 12,112,1 Längeneinheiten.

Aus einem Draht von einem Meter Länge wurde das Kantenmodell eines Würfels gebaut. Es blieb ein Reststück von 4,0 cm. Wie lang ist eine Würfelkante?

Würfel

Thema dieser Aufgabe ist der Würfel.

Ein Würfel ist unter anderem dadurch charakterisiert, dass die 12 Kanten des Würfels alle gleich lang sind.

Aus der Aufgabenstellung ergibt sich so folgender Ansatz mit der unbestimmten Kantenlänge %%x%%:

%%1\,\mathrm m-12\cdot x=0{,}04\,\mathrm m%%

|%%{}+(12x-0{,}04\,\mathrm m)%%

%%0{,}96\,\mathrm m=12x%%

| %%:12%%

%%x=0{,}08\,\mathrm m=8\,\mathrm{cm}%%

%%\Rightarrow%% Eine Würfelkante ist also %%8\,\mathrm{cm}%% lang.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche des Quaders

l=4cml=4\,\mathrm{cm}
b=3,2cmb=3{,}2\,\mathrm{cm}
h=2,5cmh=2{,}5\,\mathrm{cm}
Für die Oberfläche eines Quaders gilt:
OQuader=2(lb+lh+bh)O_\mathrm{Quader}=2\cdot\left(l\cdot b+l\cdot h+b\cdot h\right)
Berechne die Deck- und Grundfläche: [2(lb)]\left[2\cdot\left(l\cdot b\right)\right]
2(4cm3,2cm)=25,6cm22\cdot\left(4\,\mathrm{cm}\cdot3{,}2\,\mathrm{cm}\right)=25{,}6\,\mathrm{cm}^2
Berechne die Vorder- und Rückfläche: [2(hb)]\left[2\cdot\left(h\cdot b\right)\right]
2(3,2cm2,5cm)=16cm22\cdot\left(3{,}2\,\mathrm{cm}\cdot2{,}5\,\mathrm{cm}\right)=16\,\mathrm{cm}^2
Berechne die Seitenflächen: [2(lh)]\left[2\cdot\left(l\cdot h\right)\right]
2(4cm2,5cm)=20cm22\cdot\left(4\,\mathrm{cm}\cdot2{,}5\,\mathrm{cm}\right)=20\,\mathrm{cm}^2
Berechne die Oberfläche als Summe der vorher bestimmten Werte.
OQuader=25,6cm2+20cm2+16cm2=61,6cm2.O_\mathrm{Quader}=25{,}6\,\mathrm{cm}^2+20\,\mathrm{cm}^2+16\,\mathrm{cm}^2=61{,}6\,\mathrm{cm}^2.
        \;\;\Rightarrow\;\; Die Oberfläche des Quaders beträgt 61,6cm261{,}6\,\mathrm{cm}^2.

Ein rechteckiger Wasserbehälter mit den Maßen %%0{,}8\,\mathrm{m}\cdot0{,}45\,\mathrm{m}\cdot1{,}5\,\mathrm{m}%% soll mit Wasser gefüllt werden.

Wie viel Liter kann er fassen?

%%V_\mathrm{Quader}=l\cdot b\cdot h%%

Setze die Werte ein.

%%V=0{,}8\,\mathrm m\cdot0{,}45\,\mathrm m\cdot1{,}5\,\mathrm m%%

%%V=0{,}54\,\mathrm m^3%%

Rechne %%\mathrm m^3%% in %%\mathrm{dm}^3%% um.

%%V=540\,\mathrm{dm}^3%%

Rechne %%\mathrm{dm}^3%% in Liter um.

%%V=540\,\mathrm l%%

%%\Rightarrow%% Der Wasserbehälter kann %%540\,\mathrm l%% fassen.

Umzugskarton
Der Umzugskarton hat die Länge 60  cm60\;cm, die Breite 30  cm30\;cm und die Höhe 30  cm30\;cm
Berechne, wie viel in den Karton hineinpasst.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quader



VQ=  l    b  hSetze die gegebenen Werte in die Formel ein.V=60  cm    30cm    30cmV=54000  cm3\begin{array}{l}V_Q=\;l\;\cdot\;b\;\cdot h\\\text{Setze die gegebenen Werte in die Formel ein.}\\V=60\;cm\;\cdot\;30cm\;\cdot\;30cm\\V=54000\;cm^3\\\end{array}
In den Karton passen 54000cm354000cm^3.
LKW
Beim Transport von Gütern ist es sinnvoll, den Laderaum möglichst genau auszunutzen. Für welches Volumen an Gütern ist der LKW aus dem Bild gebaut?
Der Durchmesser eines Rades beträgt etwa 100cm100\,\mathrm{cm} und die Frontscheibe ist 2,50m2{,}50\,\mathrm m breit.
  1. Wie viel Liter Wasser könnte man mit dem LKW aus dem Bild transportieren?
  2. Kann man dasselbe Volumen auch mit Tischen und Stühlen komplett ausfüllen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quader

Tipp: Benutze den Raddurchmesser für Höhe und Länge des Laderaumes, der die Form eines Quaders hat.

Vorüberlegungen

Berechne das Volumen des Laderaums. Du siehst, dass der Laderaum ein Quader ist. Für sein Volumen benötigst Du also die drei Kantenlängen Höhe hh, Länge ll und Breite bb des Quaders.

Schätzen der Maße

Du erkennst , dass der Quader etwa 3 Räder hoch und 5 Räder lang ist. Ein Rad hat einen Durchmesser von 100cm=1m100\, \textrm{cm}= 1\,\text{m}.
=> h=3m;l=5mh=3m; l=5m


Berechnung durch Angabe

Der Quader ist in etwa so breit wie die Frontscheibe.
=> b=2,5mb=2,5m


Berechnung des Volumens

Die Volumenformel für den Quader lautet: V=lbhV=l\cdot b\cdot h
V=5m2,5m3m=37,5m³V=5m\cdot 2,5m\cdot 3m= 37,5m³

Anwendungen

  1. Wenn man den Laderaum mit Wasser füllen würde, könnte man 37,5m³, also 37500 Liter transportieren.
  2. Tische und Stühle passen nicht lückenlos ineinander, sodass Du weniger Material unterbringen kannst. Deshalb musst Du Dir beim Packen nicht nur überlegen, welche Maße die einzelnen Gegenstände haben, sondern auch, wie sie geschickt ineinander zu stapeln sind.
Quader
Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle für einen Quader mit Länge aa, Breite bb und Höhe hh.

$$$$

Länge a

Breite b

Höhe h

Volumen V

Oberfläche O

a)

%%5\;\text{cm}%%

%%2\;\text{cm}%%

%%8\;\text{cm}%%

b)

%%3\;\text{cm}%%

%%1\;\text{cm}%%

%%9\;\text{cm}%%

c)

%%3\;\text{cm}%%

%%4\;\text{cm}%%

%%120\;\text{cm}^3%%

d)

%%7\;\text{m}%%

%%18\;\text{m}%%

%%652\;\text{m}^2%%

e)

%%4\;\text{dm}%%

%%60\;\text{dm}^3%%

%%94\;\text{dm}^2%%

f)

%%20\;\text{cm}%%

%%1\;\text{m}%%

%%100000\;\text{cm}^3%%

g)

%%7\;\text{mm}%%

%%2\;\text{cm}%%

%%1900\;\text{mm}^2%%

Knobelaufgaben:

$$$$

Länge a

Breite b

Höhe h

Volumen V

Oberfläche O

h)

%%x%%

%%x^2%%

%%y%%

i)

%%1\;\text{m}%%

%%30\;\text{m}^3%%

%%25\;\text{m}^2%%

i) Für einen Quader sollen folgende Angaben gegeben sein: Höhe h=1mh=1\text{m}, Volumen V=303V=30^3 und Oberfläche O=25m2O=25\text{m}^2. Kannst du mit diesen Angaben die Länge aa und Breite bb des Quaders bestimmen?

j) Wenn ein Quader ein Volumen V=1cm3V=1\text{cm}^3 hat, kann dann sein Oberflächeninhalt O=0,8cm2O=0,8 \text{cm}^2 betragen? Begründe deine Antwort.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberflächeninhalts eines Quaders

In diesen Teilaufgaben soll man die Formeln zur Berechnung des Volumens eines Quaders und des Oberflächeninhalts eines Quaders geeignet umstellen, um die fehlenden Werte in der Tabelle zu berechnen.
Das Volumen eines Quaders berechnet man über
VQuader= abh\displaystyle V_{Quader}=\ a\cdot b\cdot h
Der Oberflächeninhalt des Quaders kannst du über folgende Formel bestimmen:
OQuader= 2ab+2ah+2bh\displaystyle O_{Quader}=\ 2ab+2ah+2bh

Teilaufgabe a)

In dieser Teilaufgabe sollst du das Volumen und die Oberfläche des Quaders berechnen.
VQuader=abh=5cm2cm8cm=80  cm3V_{Quader}= a \cdot b \cdot h = 5 \text{cm}\cdot 2 \text{cm}\cdot 8 \text{cm} = 80\;\text{cm}^3
OQuader=2ab+2ah+2bhO_{Quader}= 2ab + 2ah + 2bh 
=25cm2cm+25cm8cm+22cm8cm=132cm2= 2 \cdot 5 \text{cm} \cdot 2 \text{cm}+ 2\cdot 5 \text{cm} \cdot 8 \text{cm}+2 \cdot2 \text{cm} \cdot 8 \text{cm} = 132 cm^2
Der Quader hat das Volumen VQuaderV_{Quader} 80cm380 \text{cm}^3. Sein Oberflächeninhalt OQuaderO_{Quader} beträgt 132cm2132 \text{cm}^2.

Teilaufgabe b)

In dieser Teilaufgabe sollst du ebenfalls das Volumen und die Oberfläche des Quaders berechnen.
VQuader=abh=3cm1cm9cm=27  cm3V_{Quader}= a \cdot b \cdot h =3 \text{cm}\cdot 1 \text{cm}\cdot 9 \text{cm} = 27\;\text{cm}^3
OQuader=2ab+2ah+2bhO_{Quader}= 2ab + 2ah + 2bh 
=23cm1cm+23cm9cm+21cm9cm=78cm2= 2 \cdot 3 \text{cm} \cdot 1 \text{cm}+ 2\cdot 3 \text{cm} \cdot 9 \text{cm}+2 \cdot 1 \text{cm} \cdot 9 \text{cm} = 78 cm^2
Der Quader hat das Volumen VQuaderV_{Quader} 27cm327 \text{cm}^3. Der Oberflächeninhalt OQuaderO_{Quader} beträgt 78cm278 \text{cm}^2.

Teilaufgabe c)

Hier sollst du nun die Breite des Quaders bb und seine Oberfläche OQuaderO_{Quader} berechnen.

Du hast hierfür bereits das Volumen VQuaderV_{Quader} =120cm3=120\text{cm}^3, die Länge aa =3cm=3\text{cm} und die Höhe hh =4cm4 \text{cm} des Quaders gegeben.
Schritt 1: Gegebene Größen in die Volumenformel für den Quader einsetzen
VQuader=abhV_{Quader}=a\cdot b\cdot h
120cm3=3cmb4cm120 \text{cm}^3 =3 \text{cm} \cdot b \cdot 4 \text{cm}
Schritt 2: Löse die Formel nach bb auf
120cm3=3cmb4cm120 \text{cm}^3 =3 \text{cm}\cdot b\cdot 4 \text{cm} |:4cm:4\text{cm}
30cm2=3cmb30 \text{cm}^2 =3 \text{cm}\cdot b |:3cm:3\text{cm}
b=10cmb= 10 \text{cm} 
Der Quader hat also die Breite b=10cmb = 10\text{cm}.
Schritt 3: Nun kannst du auch die Oberfläche berechnen OQuader=2ab+2ah+2bhO_{Quader}=2ab+2ah+2bh
=23cm10cm+23cm4cm+210cm4cm=164cm2=2\cdot 3 \text{cm} \cdot 10 \text{cm}+ 2\cdot 3 \text{cm} \cdot 4 \text{cm}+2 \cdot 10 \text{cm} \cdot 4 \text{cm} = 164\text{cm}^2
Der Quader hat den Oberflächeninhalt OQuader=164cm2O_{Quader}=164\text{cm}^2.

Teilaufgabe d)

Bei dieser Teilaufgabe sollst du sowohl die Länge, als auch das Volumen des Quaders berechnen.
Du hast hierfür die Breite bb =7m=7\text{m}, die Höhe hh =18m18 \text{m} und die Oberfläche OQuaderO_{Quader} =652m2=652\text{m}^2 des Quaders gegeben.
Schritt 1: Gegebene Einheiten in die Oberflächen Formel einsetzen
OQuader=2ab+2ah+2bhO_{Quader}=2ab+2ah+2bh
652m2=2a7m+2a18m+27m18m652 \text{m}^2=2a \cdot 7\text{m}+ 2a \cdot18 \text{m} +2 \cdot 7 \text{m} \cdot 18 \text{m}

Schritt 2: Löse die Formel nach aa auf
652m2=14a+36a+252m²652 \text{m}^2=14a + 36a+252m² |252-252
400m2=50a400 \text{m}^2 =50 a |:50:50
a=8ma=8 \text{m} 

Die Länge des Quaders aa beträgt 8m8 \text{m}.

Schritt 3: Da du die Länge aa jetzt weißt, kannst du das Volumen berechnen.VQuader=abh=8m7m18cm=1008  m3V_{Quader}=a\cdot b\cdot h=8 \text{m}\cdot 7 \text{m}\cdot 18 \text{cm} = 1008\;\text{m}^3
Der Quader hat das Volumen VQuader=1008m3V_{Quader}= 1008 \text{m}^3.


Teilaufgabe e)

Bei dieser Teilaufgabe sind Breite bb und Höhe hh gesucht. Der Rest ist gegeben. Eine Möglichkeit ist, probieren.
Schritt 1: Man sollte das Volumen VQuaderV_{Quader} durch die Länge 4dm4dm teilen.
VQuader:a=60dm3:4dm=15dm2V_{Quader} : a = 60dm^3 : 4dm =15dm^2
Schritt 2: Aus welchen 2 Zahlen könnte 1515 das Produkt sein? Das ist 33 und 55. Also VQuader=abh=60dm3=4dm3dm5dmV_{Quader} =a \cdot b \cdot h =60dm^3 = 4dm \cdot 3dm \cdot 5dm
Schritt 3: Überprüfe die ausprobierten Zahlen mit der Oberfläche OQuaderO_{Quader}:OQuader=2ab+2ah+2bh=O_{Quader} = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h =
94dm2=24dm3dm+24dm5dm+23dm5dm94dm^2 =2 \cdot 4dm \cdot 3dm + 2 \cdot 4dm \cdot 5dm + 2 \cdot 3dm \cdot 5dm
94dm2=212dm2+220dm2+215dm294dm^2 = 2\cdot 12dm^2 + 2\cdot 20dm^2 +2 \cdot 15dm^2
94dm2=24dm2+40dm2+30dm294dm^2 = 24dm^2 + 40dm^2 + 30dm^2
94dm2=94dm294dm^2 = 94dm^2
Also stimmen b=3dmb = 3dm und h=5dmh = 5dm oder b=5dmb = 5dm und h=3dmh = 3dm.
Lösungsweg 2 (nur für Fortgeschrittene):
Lösen durch ein Gleichungssystem
(Die Einheiten werden hier zur Vereinfachung weggelassen)
Schritt 1: Stelle das Gleichungssystem auf
I4bh=60\mathbf I \hspace {1cm} 4\cdot b \cdot h = 60
II24b+24h+2bh=94\mathbf I\mathbf I \hspace {1cm} 2 \cdot 4 \cdot b + 2 \cdot 4 \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 94
Schritt 2: Löse eine der Gleichungen nach einer der Variablen auf
I4bh=60\mathbf I \hspace {1cm} 4 \cdot b \cdot h = 60 |:4:4
bh=60:4=15b \cdot h = 60 : 4 =15 |:h: h
Ib=15h\mathbf I^* \hspace{1cm}b = \frac {15} {h} 
II24b+24h+2bh=94\mathbf I\mathbf I \hspace {1cm} 2 \cdot 4 \cdot b + 2 \cdot 4 \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 94
Schritt 3: Setze die umgeformte Gleichung in die andere ein und nach hh umformen.
IinIIeinsetzten:\mathbf I^* in \mathbf I \mathbf I einsetzten:
II2415h+24h+215hh=94\mathbf I\mathbf I^* \hspace {1cm} 2 \cdot 4 \cdot \frac {15} {h} + 2 \cdot 4 \cdot h + 2 \cdot \frac {15} {h} \cdot h = 94
120h+8h+30=94\frac {120} {h} + 8h + 30 = 94 |30-30
120h+8h=64\frac {120} {h} + 8h = 64 |h\cdot h
120+8h=64h120 + 8h = 64h | 64h-64h
120+8h264h=0120+8h^2 - 64h=0 |:8:8
h28h2+15=0h^2-8h^2+15=0
Mit Mitternachtsformel lösen:
h1,2=8±(8)2411521h_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot1\cdot15}}{2\cdot1}
h1,2=8±64602h_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64-60}}{2}
h1,2=8±42h_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{4}}{2}