Hier findest du Aufgaben zum Thema Quader. Die Aufgaben behandeln Oberfläche, Kanten, Diagonalen und Volumen eines Quaders.

Aufgaben

Bestimme die Anzahl der Einheitswürfel, die du benötigst, um den jeweiligen Körper vollständig auszufüllen.

Würfel 1

Leider falsch, betrachte das Bild noch einmal genauer. Dann kannst du dir überlegen, ob ein Einheitswürfel versteckt unter andere Einheitswürfel liegt.

Versuch es nochmal und achte dabei auf die Aufgabenstellung. Du sollst die Anzahl der Einheitswürfel, die insgesamt in den großen Würfel rein passen, bestimmen.

Versuch es nochmal und achte dabei auf die Aufgabenstellung. Du sollst die Anzahl der Einheitswürfel, die insgesamt in den großen Würfel rein passen, bestimmen.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

In einer Reihe zählst du %%4%% Einheitswürfel.

In einer Schicht gibt es %%4%% Reihen mit jeweils %%4%% Einheitswürfel. Insgesamt passen also %%4 \cdot 4 = 16%% Einheitswürfel in einer Schicht.

Im Würfel zählst du %%4%% Schichten mit jeweils %%16%% Einheitswürfel. Insgesamt passen somit %%4 \cdot 16 = 64%% Einheitswürfel im großen Würfel.

Die Antwort "%%64%% Einheitswürfel" ist also richtig.

Würfel 2

Das ist leider falsch. Schau nochmal genau hin, ein Einheitswürfel hat sich nämlich hinter den anderen versteckt.

Versuch es nochmal, und achte dabei, dass du die Anzahl der Schichten richtig zählst.

Versuch es nochmal, und achte dabei, dass du die Anzahl der Schichten richtig zählst.

Das ist richtig!

In einer Reihe zählst du %%5%% Einheitswürfel.

In einer Schicht gibt es %%5%% Reihen mit jeweils %%5%% Einheitswürfel. Insgesamt passen also %%5 \cdot 5 = 25%% Einheitswürfel in einer Schicht.

Im Würfel zählst du %%5%% Schichten mit jeweils %%25%% Einheitswürfel. Insgesamt passen somit %%5 \cdot 25 = 125%% Einheitswürfel im großen Würfel.

Die Antwort "%%125%% Einheitswürfel" ist also richtig.

Quader 1

Probiere es nochmal. Es befinden sich tatsächlich %%6%% Einheitswürfel in einer Schicht, aber es gibt mehr als nur eine Schicht im Quader.

Versuch es nochmal. Achte dabei, dass sich ein Einheitswürfel hinter den anderen versteckt hat.

Das ist leider falsch. Zähle nochmal genau wie viele Einheitswürfel sich in einer Reihe befinden.

Super, das stimmt!

In einer Reihe zählst du %%3%% Einheitswürfel.

In einer Schicht gibt es %%2%% Reihen mit jeweils %%3%% Einheitswürfel. Insgesamt passen also %%2 \cdot 3 = 6%% Einheitswürfel in einer Schicht.

Im Quader zählst du %%2%% Schichten mit jeweils %%6%% Einheitswürfel. Insgesamt passen somit %%2 \cdot 6 = 12%% Einheitswürfel im Quader.

Die Antwort "%%12%% Einheitswürfel" ist also richtig.

Quader 2

Das stimmt leider nicht. Probiere es nochmal und achte dabei, dass du keine Reihe vergisst.

Das stimmt leider nicht. Probiere es nochmal und zähle dabei genau wie viele Würfel sich in einer Reihe befinden.

Versuche es nochmal, du hast dich möglicherweise nur verrechnet.

Richtig!

In einer Reihe zählst du %%8%% Einheitswürfel.

In einer Schicht gibt es %%6%% Reihen mit jeweils %%8%% Einheitswürfel. Insgesamt passen also %%6 \cdot 8 = 48%% Einheitswürfel in einer Schicht.

Im Quader zählst du %%4%% Schichten mit jeweils %%48%% Einheitswürfel. Insgesamt passen somit %%4 \cdot 48 = 192%% Einheitswürfel im Quader.

Die Antwort "%%192%% Einheitswürfel" ist also richtig.

In der Tabelle wurden die Maße verschiedener Quader angegeben. Die Volumina sind zunächst unbekannt und sollen in dieser Aufgabe berechnet werden.

Tabelle

Welche Werte kann %%V_1%% annehmen?

Leider falsch, du hast dich möglicherweise bei der Umrechnung von Volumeneinheiten verrechnet.

Leider Falsch. Die Einheit %%\text{cm}^2%% ist eine Flächeneinheit und keine Volumeneinheit.

Leider falsch, du hast dich möglicherweise bei der Umrechnung von Volumeneinheiten verrechnet.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Du kannst hier die Formel zur Berechnung des Volumen eines Quaders nutzen:

%%\begin{array}{lcl} V_1 & = & l \cdot b \cdot h \\ & = & 10\text{cm} \cdot 5\text{cm} \cdot 4\text{cm} \\ & = & 200\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

  • Die Antwort %%V_1 = 200\text{cm}^3%% ist somit richtig.

  • Die Einheit %%\text{cm}^2%% beschreibt eine Fläche und kein Volumen. Somit ist die Antwort %%V_1 = 200\text{cm}^2%% falsch.

  • Da %%2\text{m}^3 = 2000\text{dm}^3 = 2 000 000 \text{cm}^3 \ne 200\text{cm}^3%%, ist die Antwort %%V_1 = 2\text{m}^3%% falsch.

  • Da %%2\text{dm}^3 = 2000\text{cm}^3 \ne 200\text{cm}^3%%, ist auch die Antwort %%V_1 = 2\text{dm}^3%% falsch.

Welche Werte kann %%V_2%% annehmen?

Die Antwort ist leider falsch, denn %%1\:\text{l}%% entspricht %%1\text{dm}^3%% und nicht %%1\text{m}^3%%

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Bevor du die Formel zur Berechnung des Volumen eines Quaders anwendest, kannst du alle Maße in %%\text{dm}%% angeben:

  • %%l = 2\text{m} = 20\text{dm}%%
  • %%b = 0,5\text{m} = 5 \text{dm}%%
  • %%h = 0,5 \text{m} = 5\text{dm}%%

Dadurch rechnest du nur noch mit natürlichen Zahlen weiter. Das Volumen ergibt sich nun als:

%%\begin{array}{lcl} V_2 & = & l \cdot b \cdot h \\ & = & 20\text{dm} \cdot 5\text{dm} \cdot 5 \text{dm} \\ & = & 500 \text{dm}^3 \\ \end{array}%%

Wenn du mit der Multiplikation von Dezimalbrüchen vertraut bist, kannst du selbstverständlich auch direkt die Formel zur Berechnung des Volumen eines Quaders anwenden:

%%\begin{array}{lcl} V_2 & = & l \cdot b \cdot h \\ & = & 2\text{m} \cdot 0,5\text{m} \cdot 0,5\text{m} \\ & = & 0,5\text{m}^3 \\ \end{array}%%

  • Die Antwort %%V_2 = 500\text{dm}^3%% ist also richtig.

  • Die Volumeneinheit %%1\: \text{l} = 1 \text{dm}^3%%. Daraus folgt, dass %%500\: \text{l} = 500\text{dm}^3%%. Die Antwort %%V_2 = 500\: \text{l}%% ist also richtig

  • und die Antwort %%V_2 = 0,5 \: \text{l}%% ist falsch.

  • Die Volumeneinheit %%1 \: \text{hl} = 100\: \text{l}%%. Also %%5\: \text{hl} = 500\: \text{l} = 500\text{dm}^3%% und die Antwort %%V_2 = 5\: \text{hl}%% ist richtig.

Welche Werte kann %%V_3%% annehmen?

Leider falsch, beim Umrechnen hast du wohl einen Fehler gemacht.

Leider falsch, beim Umrechnen hast du wohl einen Fehler gemacht.

Leider ist diese Lösung falsch, du hast wahrscheinlich einen Fehler bei der Multiplikation von Dezimalbrüchen gemacht.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Hier sind die Länge, die Breite und die Höhe in unterschiedlichen Einheiten gegeben. Bevor du die Formel für das Berechnen des Volumen eines Quaders anwenden kannst, musst du alle Maße in der gleichen Einheit angeben.

Um nur mit Natürlichen Zahlen zu rechnen kannst du hier alle Maße in %%\text{cm}%% angeben:

  • %%l = 2\text{dm} = 20 \text{cm}%%
  • %%b = 15\text{cm}%%
  • %%h = 100 \text{mm} = 10 \text{cm}%%

Damit kannst du das Volumen wie folgt ausrechnen:

%%\begin{array}{lcl} V_3 & = & l \cdot b \cdot h \\ & = & 20\text{cm} \cdot 15\text{cm} \cdot 10\text{cm} \\ & = & 3000\text{cm}^3 \\ & = & 3 \text{dm}^3 \\ \end{array}%%

Wenn du die Multiplikation von Dezimalbrüchen kennst, dann ist es in diesem Beispiel einfacher alle Maße in %%\text{dm}%% anzugeben:

  • %%l = 2 \text{dm}%%
  • %%b = 15\text{cm} = 1,5 \text{dm}%%
  • %%h = 100 \text{mm} = 1 \text{dm}%%

Das Volumen kannst du somit wie folgt berechnen:

%%\begin{array}{lcl} V_3 & = & l \cdot b \cdot h \\ & = & 2\text{dm} \cdot 1,5\text{dm} \cdot 1 \text{dm} \\ & = & 3 \text{dm}^3 \\ \end{array}%%

  • Die Antwort %%V_3 = 3 \text{dm}^3%% ist somit richtig

  • und die Antworten %%V_3 = 0,3 \text{dm}^3%%, %%V_3 = 30\text{dm}^3%% und %%V_3 = 300\text{dm}^3%% sind alle falsch.

Welche Werte kann %%V_4%% annehmen?

Diese Antwort ist leider falsch, %%1\text{cm}^3%% entspricht %%1\:\text{ml}%% und nicht %%1\:\text{cl}%%.

Leider falsch, beim Umrechnen hast du wohl einen Fehler gemacht.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Hier sind die Länge, die Breite und die Höhe in unterschiedlichen Einheiten gegeben. Bevor du die Formel für das Berechnen des Volumen eines Quaders anwenden kannst, musst du alle Maße in der gleichen Einheit angeben.

Es bietet sich bei dieser Aufgabe an, die Maße in %%\text{cm}%% anzugeben:

  • %%l = 0,01\text{m} = 1\text{cm}%%
  • %%b = 10\text{mm} = 1\text{cm}%%
  • %%h = 0,1\text{dm} = 1\text{cm}%%

Es handelt sich also bei diesem Quader um einen Würfel mit der Kantenlänge %%a = 1\text{cm}%%. Das Volumen des Würfels kannst du dann wie folgt berechnen:

%%\begin{array}{lcl} V_4 & = & a \cdot a \cdot a \\ & = & 1\text{cm} \cdot 1\text{cm} \cdot 1\text{cm} \\ & = & 1\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

  • Die Antwort %%V_4 = 1\text{cm}^3%% ist also richtig

  • und die Antwort %%V_4 = 1\text{mm}^3%% ist falsch.

  • Die Volumeneinheit %%1\: \text{ml} = 1\text{cm}^3%%. Somit ist die Antwort %%V_4 = 1\: \text{ml}%% richtig

  • und die Antwort %%V_4 = 1\text{cl}%% falsch.

Die Firma "Würfeldeluxe" hat eine Bestellung von %%5000%% Würfel erhalten. Die Würfel sollen in einem rechteckigen Paket abgeschickt werden. Die Würfel haben alle eine Kantenlänge %%a = 2 \,cm%%. Die Maße des Pakets kannst du in der Skizze ablesen.
Passen alle Würfel in das Paket?

Paket

Volumen und Einheitswürfel

Ähnlich wie beim Auslegen mit Einheitswürfeln kannst du hier berechnen, wie viele Würfel in das Paket passen.

Anzahl der Würfel in einer Reihe

Das Paket ist %%60%%cm lang und ein Würfel hat eine Kantenlänge von %%2%%cm.
Um die Anzahl der Würfel in einer Reihe zu erhalten, teilst du die Länge der Reihe durch die Kantenlänge des Würfels:

%%\begin{array}{lcl} \text{Anzahl der Würfel in einer Reihe} & = & 60\text{cm} : 2\text{cm} \\ & = & 30 \\ \end{array}%%

In einer Reihe passen also %%30%% Würfel.

Anzahl der Würfel in einer Schicht

Das Paket ist %%40%%cm breit.
Die Anzahl der Reihen erhältst du, indem du die Breite des Pakets durch die Kantenlänge der Würfel teilst:

%%\begin{array}{lcl} \text{Anzahl der Reihen} & = & 40\text{cm} : 2\text{cm} \\ & = & 20 \\ \end{array}%%

Es gibt also %%20%% Reihen, in der sich jeweils %%30%% Würfel befinden. Insgesamt erhältst du:

%%\begin{array}{lcl} \text{Anzahl der Würfel in einer Schicht} & = & 20 \cdot 30 \\ & = & 600 \\ \end{array}%%

Es passen %%600%% Würfel in eine Schicht.

Anzahl der Würfel im Paket

Das Paket ist %%20%%cm hoch.
Die Anzahl der Schichten erhältst du, indem du die Höhe des Pakets durch die Kantenlänge der Würfel teilst:

%%\begin{array}{lcl} \text{Anzahl der Schichten} & = & 20\text{cm} : 2\text{cm} \\ & = & 10 \\ \end{array}%%

In das Paket passen %%10%% Schichten, in jeder Schicht %%600%% Würfel. Insgesamt ergibt sich also:

%%\begin{array}{lcl} \text{Anzahl der Würfel im Paket} & = & 10 \cdot 600 \\ & = & 6000 \\ \end{array}%%

In ein Paket passen also %%6000%% Würfel.

Die Firma "Würfeldeluxe" kann somit alle %%5000%% Würfel in einem Paket abschicken.

Die beiden Skizzen zeigen einen Quader und einen Würfel mit deren Abmessungen.

Quader

Würfel

Welcher dieser beiden Körper hat den größeren Oberflächeninhalt?

Oberflächeninhalt

Der Oberflächeninhalt beider Körper wird hier berechnet und anschließend verglichen.

Oberfläche des Quaders

Die Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Quaders lautet:

%%O = 2\cdot l\cdot b + 2\cdot l \cdot h + 2\cdot b \cdot h%%

Für den Quader links sind:

  • %%l = 8\text{cm}%%
  • %%b = 5\text{cm}%%
  • %%h = 3\text{cm}%%

Diese Werte werden in die Formel eingesetzt:

%%\begin{array}{lclclcl} O & = & 2\cdot 8\text{cm} \cdot 5\text{cm} & + & 2 \cdot 8\text{cm} \cdot 3\text{cm} & + & 2 \cdot 5\text{cm} \cdot 3\text{cm} \\ & = & 80\text{cm}^2 & + & 48\text{cm}^2 & + & 30\text{cm}^2 \\ & = & 158\text{cm}^2 \\ \end{array}%%

Der Oberflächeninhalt des Quaders beträgt also %%150\text{cm}^2%%

Oberfläche des Würfels

Für den Würfel rechts ist die Kantenlänge %%a = 5\text{cm}%%.
Die Fläche %%A%% einer Seite kann wie folgt berechnet werden:

%%\begin{array}{lcl} A & = & a \cdot a \\ & = & 5\text{cm} \cdot 5\text{cm} \\ & = & 25 \text{cm}^2 \end{array}%%

Da bei einem Würfel alle %%6%% Seitenflächen gleich groß sind, ergibt sich für die Oberfläche:

%%\begin{array}{lcl} O & = & 6 \cdot 25\text{cm}^2 \\ & = & 150\text{cm}^2 \\ \end{array}%%

Der Oberflächeninhalt des Würfels beträgt also %%150\text{cm}^2%%.

Vergleich

Der Oberflächeninhalt des linken Quaders %%\left(158\text{cm}^2\right)%% ist größer als der Oberflächeninhalt des rechten Würfels %%\left(150\text{cm}^2\right)%%.

Welcher dieser beiden Körper hat das größere Volumen?

Volumen

Das Volumen der beiden Körper wird hier berechnet, um beide Volumina vergleichen zu können.

Volumen des Quaders

Das Volumen eines Quaders lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

%%V = l\cdot b \cdot h%%

Aus der Skizze, oder aus Aufgabe (a), kannst du folgende Werte ablesen:

  • %%l = 8%%cm
  • %%b = 5%%cm
  • %%h = 3%%cm

Diese Werte kannst du nun in die Formel einsetzen:

%%\begin{array}{lcl} V & = & 8\text{cm} \cdot 5\text{cm} \cdot 3\text{cm} \\ & = & 120\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Das Volumen des Quaders links beträgt also %%120\text{cm}^3%%.

Volumen des Würfels

Das Volumen eines Würfels lässt sich mit der folgenden Formel berechen:

%%V = a\cdot a\cdot a%%

Der Würfel aus der Skizze links hat eine Kantenlänge %%a = 5%%cm.
Diesen Wert kannst du nun in die Formel einsetzen:

%%\begin{array}{lcl} V & = & 5\text{cm} \cdot 5\text{cm} \cdot 5\text{cm} \\ & = & 125\text{cm}^3 \\ \end{array}%%

Das Volumen des Würfels rechts beträgt also %%125\text{cm}^3%%.

Erkenntnis

Der Quader hat somit ein kleineres Volumen %%\left(120\text{cm}^3\right)%% als der Würfel %%\left(125\text{cm}^3\right)%%, obwohl der Oberflächeninhalt des Quaders %%\left(158\text{cm}^2\right)%% größer ist als der Oberflächeninhalt des Würfels %%\left(150\text{cm}^2\right)%%.

Eine Größere Oberfläche bedeutet also nicht zwingend ein größeres Volumen!

Sophia hat ein Aquarium.
Es hat 70 cm Länge und 50 cm Breite.
Sophia gießt 90 l Wasser ins Aquarium.
Wie hoch steht das Wasser?

Volumen eines Quaders

70 cm Länge
50 cm Breite
90 l Wasser

Länge mal Breite $$50\;\mathrm{cm}\cdot70\;\mathrm{cm}\;=\;3500\;\mathrm{cm}^2$$

Multipliziere um die Grundfläche aus zu rechnen

$$\begin{array}{l}\;\Rightarrow90\;\mathrm l\;=\;90\;\mathrm{dm}^3\\\;\Rightarrow90\;\mathrm{dm}^{3\;}\;=\;90000\;\mathrm{cm}^3\end{array}$$

Die 90 l rechnest du in %%\mathrm{cm}^3\;%% um

$$3500\;\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm h\;=\;90000\;\mathrm{cm}^3\;\vert:3500\;\mathrm{cm}^2$$

Aus dieser Gleichung kannst du h ausrechnen

$$3500\;\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm h\;:\;3500\;\mathrm{cm}^2\;=\;90000\;\mathrm{cm}^{3\;}:3500\;\mathrm{cm}\;^2$$

Teile %%90000%% %%\mathrm{cm}^3%% durch %%3500\;cm\;^2%%

h = 25,71428…cm $$\approx\;26\;\mathrm{cm}$$

Wie lang ist die Raumdiagonale in einem Würfel der Kantenlänge 7? Gib das Ergebnis auf eine Nachkommastelle gerundet an!

Wie lang ist die Raumdiagonale in einem Würfel der Kantenlänge %%a=7%%?

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4584_GMA9UCoCkE.xml

In grüner Farbe eingezeihnet ist die Diagonale der unteren Fläche des Würfels, eines Quadrats, die nach Satz des Pythagoras die Länge %%=a\sqrt2%% besitzt.

In roter Farbe ist die Raumdiagonale des Würfels mit Länge %%d%% eingezeichnet.

In blauer Farbe ist die Kante des Würfels eingezeichnet, deren Länge gerade %%a%% ist.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

%%\left(\sqrt2a\right)^2+a^2=\left(Länge\;Raumdiagonale\right)^2%%

Wende den Satz des Pythagoras an. Dies ist möglich, da das betrachtete Dreieck rechtwinklig ist.

Längen sind immer nichtnegativ.

%%\Rightarrow\sqrt{3a^2}=d%%

Für  %%a=7%% gilt:

%%d=\sqrt{3\cdot7^2}=7\cdot\sqrt3%%

%%\approx12,1\,LE%%

%%\Rightarrow%% Die Länge %%d%% der Raumdiagonalen beträgt etwa %%12,1%% Längeneinheiten.

Aus einem Draht von einem Meter Länge wurde das Kantenmodell eines Würfels gebaut. Es blieb ein Reststück von 4,0 cm. Wie lang ist eine Würfelkante?

Würfel

Thema dieser Aufgabe ist der Würfel.

Ein Würfel ist unter anderem dadurch charakterisiert, dass die 12 Kanten des Würfels alle gleich lang sind.

Aus der Aufgabenstellung ergibt sich so folgender Ansatz mit der unbestimmten Kantenlänge %%x%%:

%%1\,\mathrm m-12\cdot x=0{,}04\,\mathrm m%%

|%%{}+(12x-0{,}04\,\mathrm m)%%

%%0{,}96\,\mathrm m=12x%%

| %%:12%%

%%x=0{,}08\,\mathrm m=8\,\mathrm{cm}%%

%%\Rightarrow%% Eine Würfelkante ist also %%8\,\mathrm{cm}%% lang.

Die nicht maßstabsgetreue Skizze zeigt einen Quader und dessen Abmessungen.
Berechne die Oberfläche des Quaders.

 

%%l=4\,\mathrm{cm}%%

%%b=3{,}2\,\mathrm{cm}%%

%%h=2{,}5\,\mathrm{cm}%%

Für die Oberfläche eines Quaders gilt:

%%O_\mathrm{Quader}=2\cdot\left(l\cdot b+l\cdot h+b\cdot h\right)%%

Berechne die Deck- und Grundfläche: %%\left[2\cdot\left(l\cdot b\right)\right]%%

%%2\cdot\left(4\,\mathrm{cm}\cdot3{,}2\,\mathrm{cm}\right)=25{,}6\,\mathrm{cm}^2%%

Berechne die Vorder- und Rückfläche: %%\left[2\cdot\left(h\cdot b\right)\right]%%

%%2\cdot\left(3{,}2\,\mathrm{cm}\cdot2{,}5\,\mathrm{cm}\right)=16\,\mathrm{cm}^2%%

Berechne die Seitenflächen: %%\left[2\cdot\left(l\cdot h\right)\right]%%

%%2\cdot\left(4\,\mathrm{cm}\cdot2{,}5\,\mathrm{cm}\right)=20\,\mathrm{cm}^2%%

Berechne die Oberfläche als Summe der vorher bestimmten Werte.

%%O_\mathrm{Quader}=25{,}6\,\mathrm{cm}^2+20\,\mathrm{cm}^2+16\,\mathrm{cm}^2=61{,}6\,\mathrm{cm}^2.%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Oberfläche des Quaders beträgt %%61{,}6\,\mathrm{cm}^2%%.

Ein rechteckiger Wasserbehälter mit den Maßen %%0{,}8\,\mathrm{m}\cdot0{,}45\,\mathrm{m}\cdot1{,}5\,\mathrm{m}%% soll mit Wasser gefüllt werden.

Wie viel Liter kann er fassen?

%%V_\mathrm{Quader}=l\cdot b\cdot h%%

Setze die Werte ein.

%%V=0{,}8\,\mathrm m\cdot0{,}45\,\mathrm m\cdot1{,}5\,\mathrm m%%

%%V=0{,}54\,\mathrm m^3%%

Rechne %%\mathrm m^3%% in %%\mathrm{dm}^3%% um.

%%V=540\,\mathrm{dm}^3%%

Rechne %%\mathrm{dm}^3%% in Liter um.

%%V=540\,\mathrm l%%

%%\Rightarrow%% Der Wasserbehälter kann %%540\,\mathrm l%% fassen.

Der Umzugskarton hat die Länge %%60\;cm%%, die Breite %%30\;cm%% und die Höhe %%30\;cm%%

Berechne, wie viel in den Karton hineinpasst.

Umzugskarton

Beim Transport von Gütern ist es sinnvoll, den Laderaum möglichst genau auszunutzen. Für welches Volumen an Gütern ist der LKW aus dem Bild gebaut?

Der Durchmesser eines Rades beträgt etwa %%100\,\mathrm{cm}%% und die Frontscheibe ist %%2{,}50\,\mathrm m%% breit.

  1. Wie viel Liter Wasser könnte man mit dem LKW aus dem Bild transportieren?
  2. Kann man dasselbe Volumen auch mit Tischen und Stühlen komplett ausfüllen?

LKW

Vorüberlegungen

Berechne das Volumen des Laderaums. Dafür erkennst Du, dass der Laderaum ein Quader ist. Für sein Volumen benötigst Du also die drei Kantenlängen Höhe %%h%%, Länge %%l%% und Breite %%b%% des Quaders.

Schätzen der Maße

Du erkennst durch Einzeichnen weiterer Räder, dass der Quader etwa 3 Räder hoch und 5 Räder breit ist. Ein Rad ist %%100\, \textrm{cm}= 1\,\text{m}%% lang.

Berechnung durch Angabe

Daher berechne $$l = 5 \cdot 1\, \textrm{m} = 5\,\textrm{m}$$ $$h = 3 \cdot 1\, \textrm{m} = 3\,\textrm{m}$$ Zuletzt ist der Quader in etwa so breit wie die Frontscheibe, also weißt Du $$b = 2{,}5\,\textrm{m}$$

Berechnung des Volumens

Nach der Volumenformel für einen Quader multiplizierst Du diese drei Längen miteinander. $$V_\mathrm{Quader} = l\cdot h\cdot b = 5\,\textrm{m} \cdot 3\,\textrm{m} \cdot 2{,}5\,\textrm{m} = 37{,}5 \,\textrm{m}^3 =37\,500\,\mathrm{dm}^3$$

Um die Lademenge nicht zu überschätzen, nimmst Du an, dass der Laderaum etwa %%35\,000%% Liter fasst.

Anwendungen

  1. Wenn man den Laderaum mit Wasser füllen würde, könnte man etwa %%35\,000%% Liter transportieren.

  2. Tische und Stühle passen nicht lückenlos ineinander, sodass du weniger Material unterbringen kannst. Deshalb musst Du Dir beim Packen nicht nur überlegen, welche Maße die einzelnen Gegenstände haben, sondern auch, wie sie geschickt ineinander zu stapeln sind.

Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle für einen Quader mit Länge aa, Breite bb und Höhe hh.
Quader

$$$$

Länge a

Breite b

Höhe h

Volumen V

Oberfläche O

a)

%%5\;\text{cm}%%

%%2\;\text{cm}%%

%%8\;\text{cm}%%

b)

%%3\;\text{cm}%%

%%1\;\text{cm}%%

%%9\;\text{cm}%%

c)

%%3\;\text{cm}%%

%%4\;\text{cm}%%

%%120\;\text{cm}^3%%

d)

%%7\;\text{m}%%

%%18\;\text{m}%%

%%652\;\text{m}^2%%

e)

%%4\;\text{dm}%%

%%60\;\text{dm}^3%%

%%94\;\text{dm}^2%%

f)

%%20\;\text{cm}%%

%%1\;\text{m}%%

%%100000\;\text{cm}^3%%

g)

%%7\;\text{mm}%%

%%2\;\text{cm}%%

%%1900\;\text{mm}^2%%

Knobelaufgaben:

$$$$

Länge a

Breite b

Höhe h

Volumen V

Oberfläche O

h)

%%x%%

%%x^2%%

%%y%%

i)

%%648\;\text{cm}^3%%

%%468\;\text{cm}^2%%

j)

%%1\;\text{m}%%

%%30\;\text{m}^3%%

%%25\;\text{m}^2%%

In diesen Teilaufgaben soll man die Formeln zur Berechnung des Volumens eines Quaders und des Oberflächeninhalts eines Quaders geeignet umstellen, um die fehlenden Werte in der Tabelle zu berechnen.
Das Volumen eines Quaders berechnet man über
VQuader= abh\displaystyle V_{Quader}=\ a\cdot b\cdot h
Der Oberflächeninhalt des Quaders kannst du über folgende Formel bestimmen:
OQuader= 2ab+2ah+2bh\displaystyle O_{Quader}=\ 2ab+2ah+2bh

Teilaufgabe a)

In dieser Teilaufgabe sollst du das Volumen und die Oberfläche des Quaders berechnen.
VQuader=abh=5cm2cm9cm=90  cm3V_{Quader}= a \cdot b \cdot h = 5 \text{cm}\cdot 2 \text{cm}\cdot 9 \text{cm} = 90\;\text{cm}^3
OQuader=2ab+2ah+2bh=25cm2cm+25cm8cm+22cm8cm=132cm2O_{Quader}= 2ab + 2ah + 2bh = 2 \cdot 5 \text{cm} \cdot 2 \text{cm}+ 2\cdot 5 \text{cm} \cdot 8 \text{cm}+2 \cdot2 \text{cm} \cdot 8 \text{cm} = 132 cm^2
Der Quader hat das Volumen VQuaderV_{Quader} 90cm390 \text{cm}^3. Sein Oberflächeninhalt OQuaderO_{Quader} beträgt 132cm2132 \text{cm}^2.

Teilaufgabe b)

In dieser Teilaufgabe sollst du ebenfalls das Volumen und die Oberfläche des Quaders berechnen.
VQuader=abh=3cm1cm9cm=27  cm3V_{Quader}= a \cdot b \cdot h =3 \text{cm}\cdot 1 \text{cm}\cdot 9 \text{cm} = 27\;\text{cm}^3
OQuader=2ab+2ah+2bh=23cm1cm+23cm9cm+21cm9cm=78cm2O_{Quader}= 2ab + 2ah + 2bh = 2 \cdot 3 \text{cm} \cdot 1 \text{cm}+ 2\cdot 3 \text{cm} \cdot 9 \text{cm}+2 \cdot 1 \text{cm} \cdot 9 \text{cm} = 78 cm^2
Der Quader hat das Volumen VQuaderV_{Quader} 90cm390 \text{cm}^3. Der Oberflächeninhalt OQuaderO_{Quader} beträgt 78cm278 \text{cm}^2.

Teilaufgabe c)

Hier sollst du nun die Breite des Quaders bb und seine Oberfläche OQuaderO_{Quader} berechnen. Du hast hierfür bereits das Volumen VQuaderV_{Quader} 120cm3120 \text{cm}^3 , die Länge aa 3cm3 \text{cm} und die Höhe hh 4cm4 \text{cm} des Quaders gegeben.
Schritt 1: Gegebene Größen in die Volumenformel für den Quader einsetzen
VQuader=abhV_{Quader}=a\cdot b\cdot h
120cm3=3cmb4cm120 \text{cm}^3 =3 \text{cm} \cdot b \cdot 4 \text{cm}

Schritt 2: Die Formel nach b auflösen 120cm3=3cmb4cm120 \text{cm}^3 =3 \text{cm}\cdot b\cdot 4 \text{cm} :4cm|:4 \text{cm} 30cm2=3cmb30 \text{cm}^2 =3 \text{cm}\cdot b :3cm|:3\text{cm} 10cm=b10 \text{cm} =b 
Der Quader hat also die Breite b=4cmb = 4\text{cm}.
Schritt 3: Nun kannst du auch die Oberfläche berechnen OQuader=2ab+2ah+2bh=23cm10cm+23cm4cm+210cm4cm=164cm2O_{Quader}=2ab+2ah+2bh=2\cdot 3 \text{cm} \cdot 10 \text{cm}+ 2\cdot 3 \text{cm} \cdot 4 \text{cm}+2 \cdot 10 \text{cm} \cdot 4 \text{cm} = 164 cm^2
Der Quader hat den Oberflächeninhalt OQuader=164cm2O_{Quader}=164 cm^2.

Teilaufgabe d)

Bei dieser Teilaufgabe sollst du sowohl die Länge als auch das Volumen des Quaders berechnen. Du hast hierfür die Breite bb 7m7 \text{m}, die Höhe hh 18m18 \text{m} und die Oberfläche OQuaderO_{Quader} 652m2652 \text{m}^2 des Quaders gegeben.
Schritt 1: Gegebene Einheiten in die Oberflächen Formel einsetzen OQuader=2ab+2ah+2bhO_{Quader}=2ab+2ah+2bh 652cm2=2a7cm+2a18cm+27cm18cm652 \text{cm}^2=2a \cdot 7\text{cm}+ 2a \cdot18 \text{cm} +2 \cdot 7 \text{cm} \cdot 18 \text{cm}
Schritt 2: Die Formel nach aa auflösen 652cm2=27a+218a+252652 \text{cm}^2=27a + 218a+252 252|- 252 400cm2=50a400 \text{cm}^2 =50 a :50|:50 a=8cma=8 \text{cm} 
Die Länge des Quaders beträgt aa 8cm8 \text{cm}.
Schritt 3: Berechnung des Volumens VQuader=abh=8cm7cm18cm=1008  cm3V_{Quader}=a\cdot b\cdot h=8 \text{cm}\cdot 7 \text{cm}\cdot 18 \text{cm} = 1008\;\text{cm}^3
Der Quader hat das Volumen VQuader=1008cm3V_{Quader}= 1008 \text{cm}^3.

Teilaufgabe e)

In dieser Teilaufgabe

Teilaufgabe f)

In dieser Teilaufgabe wird die Höhe und die Oberfläche des Quaders gesucht. Gegeben ist die Länge aa 20cm20 \text{cm}, die Breite bb 1m1 \text{m} und das Volumen VQuaderV_{Quader} 100000cm3100000 \text{cm}^3.
Schritt 1: Alle Zahlen auf die selben Einheiten umrechnen a=20cma= 20 \text{cm} b=1m100=100cmb=1 \text{m} \cdot 100= 100 \text{cm} VQuader=100000cm3V_{Quader}= 100000 \text{cm}^3
Schritt 2: Die gegeben Einheiten in die Volumen Formel einsetzen VQuader=abhV_{Quader}=a\cdot b\cdot h 100000cm3=20cm100cmh100000 \text{cm}^3 =20 \text{cm} \cdot 100 \text{cm} \cdot h
Schritt 3: Die Formel nach hh auflösen 100000cm3=20cm100cmh100000 \text{cm}^3 =20 \text{cm}\cdot 100 \text{cm} \cdot h :100|:100 1000cm2=20cmh1000 \text{cm}^2= 20 \text{cm} \cdot h :20|:20 h=50cmh= 50 \text{cm}
Der Quader hat die Höhe hh 50cm50 \text{cm}.
Schritt 4: Jetzt kannst du die Oberfläche des Quaders berechnen OQuader=2ab+2ah+2bh=220cm100cm+220cm50cm+2100cm50cm=16000cm2O_{Quader}=2ab+2ah+2bh=2\cdot 20 \text{cm} \cdot 100 \text{cm}+ 2\cdot 20 \text{cm} \cdot 50 \text{cm}+2 \cdot 100 \text{cm} \cdot 50 \text{cm} = 16000 cm^2
Der Oberflächeninhalt beträgt OQuaderO_{Quader} 16000cm216000 \text{cm}^2.

Teilaufgabe g)

Hier ist jetzt die Länge und das Volumen gesucht. Die Breite bb 7mm 7 \text{mm}, die Höhe hh 2cm 2cm und die Oberfläche OQuaderO_{Quader} 1900mm21900 \text{mm}^2sind bereits gegeben.
Schritt 1: Alle Zahlen auf die selben Einheiten umrechnen b=7cmb= 7 \text{cm} h=2cm10=20mmh= 2 \text{cm} \cdot 10 = 20 \text{mm} OQuader=1900mm2O_{Quader}=1900 \text{mm}^2
Schritt 2: Alle gegeben Zahlen in die Oberflächen Formel einsetzen OQuader=2ab+2ah+2bhO_{Quader}=2ab+2ah+2bh 1900cm2=2a7cm+2a20cm+27cm20cm1900 \text{cm}^2=2a \cdot 7\text{cm}+ 2a \cdot20 \text{cm} +2 \cdot 7 \text{cm} \cdot 20\text{cm}
Schritt 3: Die Oberflächen Formel nach aa auflösen 1900cm2=2a7cm+2a20cm+27cm20cm1900 \text{cm}^2=2a \cdot 7\text{cm}+ 2a \cdot20 \text{cm} +2 \cdot 7 \text{cm} \cdot 20\text{cm} 1900cm2=14a+40a+2801900\text{cm}^2=14 a + 40a+280 280|-280 1620cm2=54a1620 \text{cm}^2=54a :54|:54 a=30cma= 30 \text{cm}
Die Länge des Quaders liegt bei aa 30cm30 \text{cm}.
Schritt 4: Das Volumen des Quaders berechnen. VQuader=abh=30cm7cm20cm=4200  cm3V_{Quader}= a \cdot b \cdot h =30 \text{cm}\cdot 7 \text{cm}\cdot 20 \text{cm} = 4200\;\text{cm}^3
Der Quader hat das Volumen VQuaderV_{Quader} 4200cm34200 \text{cm}^3.

Knobelaufgabe h)

Bei dieser Aufgabe soll sowohl das Volumen als auch die Oberfläche des Quaders berechnet werden. Die Besonderheit hierbei ist, dass du keine Zahlen sondern Variablen für die Länge aa xx, Breite bb x2x^2 und Höhe hh yy gegeben hast.
Schritt 1: Variablen in die Volumen Formel einsetzen VQuader=abhV_{Quader}=a\cdot b\cdot h VQuader=xx2yV_{Quader}=x\cdot x^2 \cdot y
Schritt 2: Berechnung des Volumens VQuader=xx2y=x3ycm3V_{Quader}=x\cdot x^2 \cdot y= x^3y \text{cm}^3
Das Volumen liegt bei VQuaderV_{Quader} x3yx^3y.
Schritt 3: Variablen in die Oberflächen Formel einsetzen OQuader=2ab+2ah+2bhO_{Quader}=2ab+2ah+2bh OQuader=2xx2+2xy+2x2yO_{Quader}=2xx^2+2xy+2x^2y
Schritt 4: Berechnung der Oberfläche OQuader=2xx2+2xy+2x2yO_{Quader}=2xx^2+2xy+2x^2y
Die Oberfläche hat den Flächeninhalt OQuader=2xx2+2xy+2x2yO_{Quader}=2xx^2+2xy+2x^2y.

Knobelaufgabe i)




Knobelaufgabe j)

In dieser Teilaufgabe sollst du die Länge aa und die Breite bb berechnen. Hierfür hast zum einen die Höhe hh 1m1 \text{m} und zum Anderen das Volumen VQuadersV_{Quaders} 30m330 \text{m}^3 und den Oberflächeninhalt OQuaderO_{Quader} 25m225 \text{m}^2 gegeben.
Schritt 1: Setze die gegebenen Zahlen in die Volumen Formel ein und vereinfache soweit wie möglich VQuader=abhV_{Quader}=a\cdot b\cdot h 30m3=ab1m30 \text{m}^3=a\cdot b\cdot 1 \text{m} :1m|: 1 \text{m} 30m2=ab30 \text{m}^2=a\cdot b

Schritt 2: Setze die gegebenen Zahlen in die Oberflächen Inhalt Formel ein und vereinfache soweit wie möglich OQuader=2ab+2ah+2bhO_{Quader}=2ab+2ah+2bh 25m2=2ab+2a+2b25 \text{m}^2=2ab+2a+2b
Schritt 3: Die Formeln miteinander vergleichen Da nach der Vereinfachung der Volumenformel nur noch ab=30m2ab=30 \text{m}^2 stehen bleibt, in der Oberflächenformel jedoch bleibt 2ab+2ah+2bh2ab+2ah+2bh stehen. Daran sieht man das in diesem Fall der Oberflächeninhalt größer ist als das Volumen, was nicht geht.
Schritt 4: Erstelle eine Ungleichung mit den beiden Formeln 25m2=O=2ab+2ah+2bh>2ab>ab=30m225 \text{m}^2 = O= 2ab+2ah+2bh\gt2ab\gt ab=30 \text{m}^2
Wie du an Hand der Ungleichung erkennen kannst ist in diesem Fall der Oberflächeninhalt größer als der Rauminhalt des Quaders. Daher gibt es in dieser Teilaufgabe keine Lösung!
Schritt 2:


Komplette Lösung



$$$$

Länge a

Breite b

Höhe h

Volumen V

Oberfläche O

a)

%%5\;\text{cm}%%

%%2\;\text{cm}%%

%%8\;\text{cm}%%

b)

%%3\;\text{cm}%%

%%1\;\text{cm}%%

%%9\;\text{cm}%%

c)

%%3\;\text{cm}%%

%%4\;\text{cm}%%

%%120\;\text{cm}^3%%

d)

%%7\;\text{m}%%

%%18\;\text{m}%%

%%652\;\text{cm}^2%%

e)

%%4\;\text{dm}%%

%%60\;\text{dm}^3%%

%%94\;\text{dm}^2%%

f)

%%20\;\text{cm}%%

%%1\;\text{m}%%

%%100000\;\text{cm}^3%%

g)

%%7\;\text{mm}%%

%%2\;\text{cm}%%

%%1900\;\text{mm}^2%%

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