Aufgaben
Bestimme die Abbildungsgleichung bei einer Drehung des Punktes PP um den Winkel α\alpha um den Ursprung und die Koordinaten des dadurch abgebildeten Punktes PP'.
α=30°\alpha=30°
P(14)P(1|4)
Drehung

Lösungsweg 1: Koordinatenform

α=30°\alpha=30°
Drehung
Um den Punkt PP um den Ursprung zu drehen, kannst du die Koordinatenform benutzen:

x=xcosαysinαx'=x\cdot \cos{\alpha}-y\cdot \sin{\alpha}
y=xsinα+ycosαy'=x\cdot \sin{\alpha}+y\cdot \cos{\alpha}

Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du α=30°\alpha=30° ein.
x=xcos30°ysin30°x'=x\cdot \cos{30°}-y\cdot \sin{30°}
y=xsin30°+ycos30°y'=x\cdot \sin{30°}+y\cdot \cos{30°}
Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes PP' zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes PP in die Abbildungsgleichung ein.
x=1cos30°4sin30°x'=1\cdot \cos{30°}-4\cdot \sin{30°}
y=1sin30°+4cos30°y'=1\cdot \sin{30°}+4\cdot \cos{30°}
Dies kannst du noch weiter vereinfachen.
x=132412=322x'=1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-4\cdot \frac12=\frac{\sqrt{3}}{2}-2
y=112+432=12+23y'=1\cdot \frac12+4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac12+2\sqrt{3}

P(32212+23)\Rightarrow P'(\frac{\sqrt3}{2}-2|\frac{1}{2}+2\sqrt3)
Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes PP' bestimmt.

Lösungsweg 2: Matrixform

α=30°\alpha=30°
Drehung
Um den Punkt PP um den Ursprung zu drehen, kannst du die Matrixform benutzen:
(xy)=(cosαsinαsinαcosα)(xy)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{\alpha}& -\sin{\alpha}\\\sin{\alpha} & \cos{\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du α=30°\alpha=30° ein.
(xy)=(cos30°sin30°sin30°cos30°)(xy)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{30°}& -\sin{30°}\\\sin{30°} & \cos{30°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes PP' zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes PP in die Abbildungsgleichung ein.
(xy)=(cos30°sin30°sin30°cos30°)(14)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{30°}& -\sin{30°}\\\sin{30°} & \cos{30°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}
Dies kannst du noch weiter vereinfachen.
(xy)=( 32121232)(14)=( 32212+23)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac12\\\frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\ \frac{\sqrt{3}}{2}-2\\\frac12 +2\sqrt{3}\end{pmatrix}

P(32212+23)\Rightarrow P'(\frac{\sqrt3}{2}-2|\frac{1}{2}+2\sqrt3)
Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes PP' bestimmt.
α=90°\alpha=90°
P(32)P(3|-2)
Drehung

Lösungsweg 1: Koordinatenform

α=90°\alpha=90°
Drehung
Um den Punkt PP um den Ursprung zu drehen, kannst du die Koordinatenform benutzen:

x=xcosαysinαx'=x\cdot \cos{\alpha}-y\cdot \sin{\alpha}
y=xsinα+ycosαy'=x\cdot \sin{\alpha}+y\cdot \cos{\alpha}

Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du α=90°\alpha=90° ein.
x=xcos90°ysin90°x'=x\cdot \cos{90°}-y\cdot \sin{90°}
y=xsin90°+ycos90°y'=x\cdot \sin{90°}+y\cdot \cos{90°}
Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes PP' zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes PP in die Abbildungsgleichung ein.
x=3cos90°(2)sin90°x'=3\cdot \cos{90°}-(-2)\cdot \sin{90°}
y=3sin90°+(2)cos90°y'=3\cdot \sin{90°}+(-2)\cdot \cos{90°}
Dies kannst du noch vereinfachen.
x=30(2)1=2x'=3\cdot 0-(-2)\cdot 1=2
y=31+(2)0=3y'=3\cdot 1+(-2)\cdot 0=3

P(23)\Rightarrow P'(2|3)
Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes PP' bestimmt.

Lösungsweg 2: Matrixform

Drehung
Um den Punkt PP um den Ursprung zu drehen, kannst du die Matrixform benutzen:

(xy)=(cosαsinαsinαcosα)(xy)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{\alpha}& -\sin{\alpha}\\\sin{\alpha} & \cos{\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du α=90°\alpha=90° ein.
(xy)=(cos90°sin90°sin90°cos90°)(xy)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{90°}& -\sin{90°}\\\sin{90°} & \cos{90°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes PP' zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes PP in die Abbildungsgleichung ein.
(xy)=(cos90°sin90°sin90°cos90°)(32)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{90°}& -\sin{90°}\\\sin{90°} & \cos{90°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}
Dies kannst du noch weiter vereinfachen.
(xy)=( 01 10)(32)=(23)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\ 0 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix}

P(23)\Rightarrow P'(2|3)
Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes PP' bestimmt.
α=120°\alpha=120°
P(12,53)P(12,5|-3)
Drehung

Lösungsweg 1: Koordinatenform

Skizze:
Skizze
Um den Punkt PP um den Ursprung zu drehen, kannst du die Koordinatenform benutzen:

x=xcosαysinαx'=x\cdot \cos{\alpha}-y\cdot \sin{\alpha}
y=xsinα+ycosαy'=x\cdot \sin{\alpha}+y\cdot \cos{\alpha}

Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du α=120°\alpha=120° ein.
x=xcos120°ysin120°x'=x\cdot \cos{120°}-y\cdot \sin{120°}
y=xsin120°+ycos120°y'=x\cdot \sin{120°}+y\cdot \cos{120°}
Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes PP' zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes PP in die Abbildungsgleichung ein.
x=12,5cos120°(3)sin120°x'=12,5\cdot \cos{120°}-(-3)\cdot \sin{120°}
y=12,5sin120°+(3)cos120°y'=12,5\cdot \sin{120°}+(-3)\cdot \cos{120°}
Dies kannst du noch vereinfachen.
x=12,5(12)(3)32=6,25+332x'=12,5\cdot(-\frac12)- (-3)\cdot \frac{\sqrt3}{2}=-6,25+3\cdot\frac{\sqrt3}{2}
y=12,532+(3)(12)=6,253+1,5y'=12,5\cdot \frac{\sqrt3}{2}+(-3)\cdot -(\frac12)=6,25 \cdot\sqrt3+1,5

P(6,25+3326,253+1,5)\Rightarrow P'(-6,25+3\frac{\sqrt{3}}{2}|6,25\sqrt{3}+1,5)
Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes PP' bestimmt.

Lösungsweg 2: Matrixform

Skizze:
Skizze
Um den Punkt PP um den Ursprung zu drehen, kannst du die Matrixform benutzen:

(xy)=(cosαsinαsinαcosα)(xy)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{\alpha}& -\sin{\alpha}\\\sin{\alpha} & \cos{\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

Um die Abbildungsgleichung zu erhalten, setzt du α=120°\alpha=120° ein.
(xy)=(cos120°sin120°sin120°cos120°)(xy)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{120°}& -\sin{120°}\\\sin{120°} & \cos{120°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
Um nun die Koordinaten des gedrehten Punktes PP' zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des ursprünglichen Punktes PP in die Abbildungsgleichung ein.
(xy)=(cos120°sin120°sin120°cos120°)(12,53)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos{120°}& -\sin{120°}\\\sin{120°} & \cos{120°}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}12,5\\-3\end{pmatrix}
Dies kannst du ebenfalls noch vereinfachen.
(xy)=( (12)32 32(12))(12,53)=(6,25+3326,253+1,5)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\ (-\frac12) & -\frac{\sqrt3}{2}\\\ \frac{\sqrt3}{2} & (-\frac12)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}12,5\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6,25+3\cdot\frac{\sqrt3}{2} \\6,25 \cdot\sqrt3+1,5 \end{pmatrix}

P(6,25+3326,253+1,5)\Rightarrow P'(-6,25+3\frac{\sqrt3}{2}|6,25\sqrt3+1,5)
Nun hast du die Koordinaten des gedrehten Punktes PP' bestimmt.

Berechne den Winkel %%\alpha%%, um welchen der Punkt %%P%% zum Punkt %%P'%% gedreht wurde.

%%P(5|0)%%, %%P'\left(\frac{5\cdot \sqrt{3}}{2}\left| \frac{5}{2}\right.\right)%%

1. Variante: Koordinatenform

%%\begin{eqnarray} x'&=& \cos\alpha \cdot x&-&\sin\alpha\cdot y\\ y'&=&\sin\alpha \cdot x&+&\cos\alpha\cdot y \end{eqnarray}%%

Setze die beiden Punkte %%P%% und %%P'%% in das Gleichungssystem ein.

%%\begin{eqnarray} \frac{5\sqrt3}{2}&=& \cos\alpha \cdot 5&-&\sin\alpha\cdot 0\\ \frac52&=&\sin\alpha \cdot 5&+&\cos\alpha\cdot 0 \end{eqnarray}%%

%%\begin{eqnarray} \frac{\sqrt3}{2}&=& \cos\alpha \\ \frac12&=&\sin\alpha \\ \Rightarrow \alpha &=&30° \end{eqnarray}%%

2. Variante: Matrixform

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}%%

Setze die beiden Punkte %%P%% und %%P'%% in das Gleichungssystem ein.

%%\begin{pmatrix} \frac{5\sqrt3}{2}\\ \frac52 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 5\\ 0 \end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix} \frac{5\sqrt3}{2}\\ \frac52 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5\cdot \cos\alpha\\ 5\cdot \sin\alpha \end{pmatrix}%%

Schreibe die Gleichung in ein Gleichungssystem um.

%%\begin{eqnarray} \frac{5\sqrt3}{2}&=5\cdot \cos\alpha\\ \frac52&=5\cdot \sin\alpha \end{eqnarray}%%

%%\begin{eqnarray} \frac{\sqrt3}{2}&=&\cos\alpha\\ \frac12&=&\sin\alpha\\ \Rightarrow\alpha&=&30° \end{eqnarray}%%

Drehung

%%P(3|-3)%%, %%P'\left(\left.\frac32\cdot \left(1+\sqrt 3\right)\right|\frac32\cdot\left(-1+\sqrt3\right)\right)%%

1. Variante: Koordinatenform

%%\begin{eqnarray} x'&=& \cos\alpha\cdot x &-& \sin\alpha\cdot y\\ y'&=& \sin\alpha\cdot x &+& \cos\alpha\cdot y \end{eqnarray}%%

Setze die beiden Punkte %%P%% und %%P'%% in das Gleichungssystem ein.

%%\begin{eqnarray} \frac32\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha\cdot 3 &-& \sin\alpha\cdot (-3)\\ \frac32\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha\cdot 3 &+& \cos\alpha\cdot (-3) \end{eqnarray}%%

%%\begin{eqnarray} \frac12\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha &+& \sin\alpha\\ \frac12\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha &-& \cos\alpha \end{eqnarray}%%

Verwende das Addionsverfahren.

%%\begin{eqnarray} \frac12\cdot (1+\sqrt3)+\frac12\cdot(-1+\sqrt3)&=& \cos\alpha+\sin\alpha+\sin\alpha-\cos\alpha\\ \frac12\cdot (1+\sqrt3)+\frac12\cdot(-1+\sqrt3)&=&2\cdot \sin\alpha\\ \sqrt3&=&2\cdot \sin\alpha\\ \frac{\sqrt3}{2}&=& \sin\alpha\\ \Rightarrow \alpha&=&60° \end{eqnarray}%%

Vereinfache die Gleichung.

2. Variante: Matrixform

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}%%

Setze die beiden Punkte %%P%% und %%P'%% in das Gleichungssystem ein.

%%\begin{pmatrix} \frac32\cdot (1+\sqrt 3)\\ \frac32\cdot (-1+\sqrt3) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3\\ -3 \end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix} \frac32\cdot (1+\sqrt 3)\\ \frac32\cdot (-1+\sqrt3) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\alpha\cdot 3&-\sin\alpha\cdot (-3)\\ \sin\alpha\cdot 3&\cos\alpha\cdot (-3) \end{pmatrix}\cdot %%

Schreibe die Gleichung in ein Gleichungssystem um.

%%\begin{eqnarray} \frac32\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha\cdot 3 &-& \sin\alpha\cdot (-3)\\ \frac32\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha\cdot 3 &+& \cos\alpha\cdot (-3) \end{eqnarray}%%

%%\begin{eqnarray} \frac12\cdot (1+\sqrt 3)&=& \cos\alpha &+& \sin\alpha\\ \frac12\cdot (-1+\sqrt 3)&=& \sin\alpha &-& \cos\alpha\\ \Rightarrow \alpha&=&60° \end{eqnarray}%%

Drehung

Die Gerade %%g%% wird durch Drehung um den Ursprung mit dem Winkelmaß %%\alpha%% auf die Gerade %%g'%% abgebildet. Berechne die Geradengleichung von %%g'%%.

%%g:y=2x+4%% mit %%\alpha = 50°%%

Skizze:

Skizze

Die Gerade %%g%% mit %%y= 2x +4%% soll mit dem Winkel %%\alpha=50°%% um den Ursprung gedreht werden.

Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von %%g'%%.

Man wählt einen allgemeinen Punkt %%P_n(x|2x+4)%% auf der Geraden und dreht diesen um %%50°%% um den Ursprung:

%%\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}= \left( \begin{array}{…} \cos 50°\ \ -\sin 50° \\ \sin 50° \ \ \ \ \ \ \cos 50° \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{…} x \\ 2x+4 \end{array} \right)=%%

%%\left( \begin{array}{…} 0,6\ \ -0,8 \\ 0,8 \ \ \ \ \ \ 0,6 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{…} x \\ 2x+4 \end{array} \right)=%% %%\begin{pmatrix} 0,6x-0,8(2x+4)\\ 0,8x+0,6(2x+4) \end{pmatrix}=%% %%\begin{pmatrix} -x-3,2\\ 2x + 2,4 \end{pmatrix} %%

%%\Rightarrow \begin{array}{rrcc} x'&= -x & -3,2 &(1)\\ y'&= 2x & +2,4 &(2) \end{array}%% %%\Rightarrow P_n'(-x-3,2|2x+2,4)%%

Als letztes muss noch der Trägergraph %%g'%% bestimmt werden:

Dazu löst man die (1)-Gleichung nach %%x%% auf.

%%x=-x'-3,2%%

Setze (1') in (2) ein:

%%y'= 2 \cdot (-x'-3,2) +2,4 = -2x' -6,4 +2,4= -2x' -4%%

Die gedrehte Gerade hat demnach folgende Gleichung %%y'=-2x'-4%%

%%g:y=x-3%% mit %%\alpha=-30°%%

%%g:y=x-3%%, %%\alpha=-30°%%

Wähle einen beliebigen Punkt auf der Gerade.

%%P_n(x|x-3)%%

Nun spiegelst du diesen Punkt %%P_n%% an der Geraden %%g%% auf den Bildpunkt %%P'_n%%.

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}%%

Setze den allgemeinen Punkt %%P_n%% und den Winkel %%\alpha%% in die Gleichung ein.

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos (-30°) & -\sin(-30°)\\ \sin (-30°) & \cos(-30°) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\ x-3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt3}{2}&\frac12 \\ -\frac12&\frac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\ x-3 \end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt3}{2}\cdot x +\frac12\cdot (x-3)\\ -\frac12\cdot x +\frac{\sqrt3}{2}\cdot (x-3) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt3}{2}\cdot x-\frac{3}{2}\\ \frac{-1+\sqrt3}{2}\cdot x-\frac{3\sqrt3}{2} \end{pmatrix}%%

%%\Rightarrow P'_n\left(\left.\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot x-\frac{3}{2}\right|\frac{-1+\sqrt3}{2}\cdot x-\frac{3\sqrt3}{2}\right)%%

%%P'_n%% ist ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden.

Bestimme nun den Trägergraph %%g'%%.

%%\begin{eqnarray} x'&=&\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot x&-&\frac{3}{2}\\ y'&=&\frac{-1+\sqrt3}{2}\cdot x&-&\frac{3\sqrt3}{2} \end{eqnarray}%%

Löse die erste Gleichung nach %%x'%% auf und setze diese in die zweite Gleichung ein.

%%x=\frac{2\cdot x'}{1+\sqrt3}-\frac{3}{1+\sqrt3}%%

%%y'=\frac{-1+\sqrt3}{2}\cdot \left(\frac{2\cdot x'}{1+\sqrt3}-\frac{3}{1+\sqrt3}\right)-\frac32=\frac{\sqrt3-1}{2}\cdot x'-\frac{9+3\sqrt3}{4}%%

Die gespiegelte Gerade %%g':y'=\frac{\sqrt3-1}{2}\cdot x'-\frac{9+3\sqrt3}{4}%%

Drehung

%%g:y=-0,5x-1%% mit %%\alpha=120°%%

Skizze

Die Gerade %%g%% mit %%y=-0,5 x -1%% soll mit dem Winkel %%\alpha=120°%% um den Ursprung gedreht werden.

Gesucht ist jetzt also die Geradengleichung von %%g'%%.

Man wählt einen allgemeinen Punkt %%P_n(x|-0,5x-1)%% auf der Geraden und dreht diesen um %%120°%% um den Ursprung:

%%\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}= \left( \begin{array}{…} \cos 120°\ \ -\sin 120° \\ \sin 120° \ \ \ \ \ \ \cos 120° \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{…} x \\ -0,5x-1 \end{array} \right)=%%

%%\left( \begin{array}{…} -\frac{1}{2}\ \ -\frac{\sqrt3}{2} \\ \frac{\sqrt3}{2} \ \ \ \ -\frac{1}{2} \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{…} x \\ -0,5x-1 \end{array} \right)=%% %%\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt3}{4}x+\frac{\sqrt3}{2}\\ \frac{\sqrt3}{2}x+\frac{1}{4}x+\frac{1}{2} \end{pmatrix}=%% %%\begin{pmatrix} \frac{\sqrt3-2}{4}x+\frac{\sqrt3}{2}\\ \frac{\sqrt3+2}{4}x+\frac{1}{2} \end{pmatrix} %%

%%\Rightarrow \begin{array}{rrcc} x'&= \frac{\sqrt3-2}{4}x & +\frac{\sqrt3}{2} &(1)\\ y'&= \frac{\sqrt3+2}{4}x & +\frac{1}{2} &(2) \end{array}%%

%%\Rightarrow P_n'(\frac{\sqrt3-2}{4}x+\frac{\sqrt3}{2}|\frac{\sqrt3+2}{4}x+\frac{1}{2})%%

Als letztes muss noch der Trägergraph %%g'%% bestimmt werden:

Dazu löst man die (1)-Gleichung nach %%x%% auf.

%%x=\frac{4(x'-\frac{\sqrt3}{2})}{\sqrt3-2}%%

Setze (1') in (2) ein:

%%y'= \frac{\sqrt3+2}{4} \cdot \frac{4(x'-\frac{\sqrt3}{2})}{\sqrt3-2} +\frac{1}{2} = (7+4\sqrt3)x' -12-\frac{13}{2}\sqrt3%%

Die gedrehte Gerade hat demnach folgende Gleichung %%y'=(7+4\sqrt3)x' -12-\frac{13}{2}\sqrt3%%

Der Graph zu ff mit y=2x+41y= 2^{x+4}-1 definiert die Position der Punkte Dn(x2x+41)D_n(x|2^{x+4}-1). Diese bilden zusammen mit A(11),BnA(1|1), B_n und CnC_n das Quadrat ABnCnDnAB_nC_nD_n.
Skizze
Links siehst du den Graphen mit den Quadraten AB1C1D1AB_1C_1D_1 für den Fall x1=2x_1=-2 und AB2C2D2AB_2C_2D_2 für den Fall x2=3x_2=-3.
Zeige, dass für BnB_n in Abhängigkeit von DD gilt: B=(2x+41x+2)B=(2^{x+4}-1|-x+2).
Überprüfe anschließend ob es für BnB_n Punkte auf der x-Achse, bzw. y-Achse gibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor aufstellen

Koordinaten des Punktes BB

A(11)A(1|1)
Dn(x2x+41)D_n(x|2^{x+4}-1)
Stelle den Vektor AD\overrightarrow{AD} auf mithilfe der Regel Spitze minus Fuß.
AD=(x2x+41)(11)=\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}x\\2^{x+4}-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=(x12x+42)\begin{pmatrix}x-1\\ 2^{x+4}-2\end{pmatrix}
Drehe nun den Vektor um 90°90° im Uhrzeigersinn. Das entspricht einer Drehung um 270°270° gegen den Uhrzeigersinn.
AB=(xy)=(0110)(x12x+42)=(2x+42x+1)\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x-1\\2^{x+4}-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{x+4}-2\\-x+1 \end{pmatrix}
Der Vektor muss nun noch um OA\overrightarrow{OA} verschoben werden.
OA+AB=(11)+(2x+42x+1)=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2^{x+4}-2\\-x+1\end{pmatrix}= (2x+41x+2)\begin{pmatrix}2^{x+4}-1\\-x+2\end{pmatrix}
Damit ergeben sich die Koordinaten: B=(2x+41x+2)B=(2^{x+4}-1|-x+2)

Punkte auf der x-Achse

Um zu testen, ob es Punkte auf der x-Achse gibt musst du die y-Koordinate mit Null gleichsetzen.
x+2=0-x+2=0
x=2\Leftrightarrow x=2
Daraus folgt, dass es für x=2x=2 einen Punkt BnB_n auf der x-Achse gibt.

Punkte auf der y-Achse

Für die y-Achse muss die x-Koordinate mit Null gleichgesetzt werden.
2x+42=02^{x+4}-2=0
2x+4=22^{x+4}=2
Dies ist nur erfüllt für BnB_n mit x=3x=-3.
Die Gerade hh mit der Gleichung y=xy=x (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}) ist Symmetrieachse von Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n. Die Diagonalen [BnDn][B_nD_n] der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n liegen auf der Geraden hh. Die Punkte An(x2x+3)A_n(x|2x+3) liegen auf der Geraden gg mit der Gleichung y=2x+3y=2x+3 (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}). Die Abszisse der Punkte DnD_n ist stets um vier größer als die Abszisse xx der Punkte AnA_n. Dabei gilt: x]x \in ]-3;5[3 ; 5[.
Runde im folgenden auf zwei Nachkommastellen!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkt an Achse spiegeln

Zeichnen der Raute A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1

Du fängst mit der Raute A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 an. Gegeben sind xx=0,5-0,5 und die Gleichungen y=2x+3y=2x+3 für den Punkt A1A_1 und y=xy=x für die Punkte C1C_1 und D1D_1
Erst berechnest du die yy-Koordinate von A1A_1.
yA1=20,5+3=2y_{A_1}=2\cdot -0,5 + 3=2
Du trägst den Punkt A1(0,52)A_1(-0,5|2) ein. Dann berechnest du die Koordinaten von D1D_1.
xD1=xA1+4=0,5+4=3,5x_{D_1}=x_{A_1}+4=-0,5+4=3,5
yD1=3,5y_{D_1}=3,5
Du trägst den Punkt D1(3,53,5)D_1(3,5|3,5) ein. Dann spiegelst du A1A_1 an hh, um C1C_1 einzutragen.
Als nächstes zeichnest du die Strecke [A1C1][A_1C_1] und spiegelst D1D_1 an dieser, um B1B_1 einzutragen.
Die Koordinaten von C1C_1 und B1B_1 musst du nicht berechnen.
Aufgabe 1 a).png

Zeichnen der Raute A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2

Für die Raute A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2: Gegeben sind x=2,5x=2,5 und die Gleichungen y=2x+3y=2x+3 für den Punkt A2A_2 und y=xy=x für die Punkte C2C_2 und D2D_2.
Du gehst für die zweite Raute genauso vor, wie für die erste.
Erst berechnest du die yy-Koordinate von A2A_2.
yA2=22,5+3=8y_{A_2}=2\cdot 2,5 + 3=8
Du trägst den Punkt A2(2,58)A_2(2,5|8) ein. Dann berechnest du die Koordinaten von D2D_2.
xD2=xA2+4=2,5+4=6,5x_{D_2}=x_{A_2}+4=2,5+4=6,5
yD2=6,5y_{D_2}=6,5
Dann spiegelst du wieder A2A_2 an hh, um C2C_2 einzutragen und D2D_2 an [A2C2][A_2C_2], um B2B_2 einzutragen.
Aufgabe 1 a)2.png
Zeige, dass für die Punkte DnD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: Dn(x+4x+4)D_n(x+4|x+4)! Bestätige sodann durch Rechnung die untere Intervallgrenze x=3x=-3 der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n!

1. Teilaufgabe

Die Abszissen der Punkte DnD_n sind um 4 größer als die Abszissen der Punkte AnA_n (in der Aufgabe definiert). Die Punkte DnD_n liegen auf der Geraden y=xy=x.
Damit sind die Koordinaten der Punkte Dn(x+4x+4)D_n(x+4|x+4).

2. Teilaufgabe

Die untere Intervallgrenze ist die Stelle, an der sich die Geraden g:y=2x+3g: y=2x+3 und h:y=xh: y=x schneiden.
Du berechnest also den Schnittpunkt der beiden Geraden
2x+3=x2x+3=x
und löst nach xx auf.
x=3\Leftrightarrow x=-3
\Rightarrow Die untere Intervallgrenze ist x=3x=-3.
Begründe, warum sich für [AnDn]h[A_nD_n]\perp h die obere Intervallgrenze x=5x=5 ergibt und bestätige diese durch Rechnung!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Sobald DnD_n auf der Diagonalen [AnCn][A_nC_n] liegt, liegt auch das an dieser Diagonalen gespiegelte BnB_n auf der Diagonalen und es gibt keine Raute mehr.
Wenn das eintritt, ist die Strecke [AnDn][A_nD_n] orthogonal zur Geraden hh.
Die Strecke [AnDn][A_nD_n] kannst du als Vektor schreiben:
AnDn=(x+4xx+4(2x+3))\overrightarrow{A_nD_n}=\begin{pmatrix}x+4-x \\x+4-(2x+3)\end{pmatrix}
Wenn dieser orthogonal zur Geraden hh ist, ist das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden hh und der Strecke [AnDn][A_nD_n] gleich null.
(x+4xx+4(2x+3))(11)=0x+4x+x+4(2x+3)=0x=5\begin{array} {lcr}&\begin{pmatrix} x+4-x \\ x+4-(2x+3) \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}=0 \\\Leftrightarrow \,\, & x+4-x+x+4-(2x+3)=0 \\\Leftrightarrow \,\, & x=5\end{array}
Daher wurde die obere Intervallgrenze x=5x=5 gewählt.
Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Punkte CnC_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Gegeben: An(x2x+3)A_n(x|2x+3)
Spiegelachse: y=xy=x
Du hast in Teilaufgabe 1 die Punkte C1C_1 und C2C_2 konstruiert, indem du die Punkte A1A_1 und A2A_2 an der Diagonalen BnDnB_nD_n gespiegelt hast. Dies kannst du für alle Punkte CnC_n machen.
Zunächst berechnest du den Winkel, den die Spiegelachse mit der x-Achse einschließt.
α=tan1(m)=tan1(1)=45\alpha=tan^{-1}(m)=tan^{-1}(1)=45^\circ
Das kannst du in die Formel für die Achsenspiegelung an einer Ursprungsgeraden einsetzen.
%%\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos{2\alpha} & \sin{2\alpha} \\ \sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha} \end{pmatrix}%%(xy)\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
%%= \begin{pmatrix} \cos{2\cdot45^\circ} & \sin{2\cdot45^\circ}\\\sin{2\cdot45^\circ} & -\cos{2\cdot45^\circ} \end{pmatrix}%%(x2x+3)\cdot \begin{pmatrix} x \\ 2x+3 \end{pmatrix}
%%=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} x \\ 2x+3 \end{pmatrix}%%
=(2x+3x)= \begin{pmatrix} 2x+3 \\ x \end{pmatrix}
\Rightarrow Die Koordinaten der Punkte CnC_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte AnA_n sind (2x+3x)(2x+3|x).
Berechne den Flächeninhalt AA der Rauten AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt einer Raute berechnen

Gegeben: An(x2x+3)A_n(x|2x+3), Cn(2x+3x)C_n(2x+3|x), Dn(x+4x+4)D_n(x+4|x+4)
Du bildest zuerst den Vektor DnAn\overrightarrow{D_nA_n}
DnAn=(x(x+4)2x+3(x+4))=(4x1)\begin{array}{lcr} \overrightarrow{D_nA_n}= &\begin{pmatrix} x-(x+4) \\ 2x+3-(x+4)\end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} -4 \\ x-1 \end{pmatrix}\end{array}
Dann bildest du den Vektor DnCn\overrightarrow{D_nC_n}.
DnCn=(2x+3(x+4)x(x+4))=(x14)\begin{array}{lcr} \overrightarrow{D_nC_n}= &\begin{pmatrix} 2x+3-(x+4) \\ x-(x+4)\end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} x-1 \\ -4 \end{pmatrix}\end{array}
Mit der Determinante rechnest du jetzt den Flächeninhalt AA aus. Das kannst du machen, da die Raute aus zwei gleich großen Dreiecken besteht.
A(x)=(4x1x14)=16(x1)(x1)=x2+2x+15\begin{array}{lcr} A(x) = \begin{pmatrix} -4 & x-1 \\ x-1 & -4 \\ \end{pmatrix}\end{array}\\\\=16-(x-1)(x-1)\\\\=-x^2+2x+15
Die Seite [C3D3][C_3D_3] der Raute A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 verläuft senkrecht zur xx-Achse. Berechne die Koordinaten des Punktes D3D_3!
Gegeben: Dn(x+4x+4)D_n(x+4|x+4), Cn(2x+3x)C_n(2x+3|x)
Wenn die Strecke [C3D3][C_3D_3] orthogonal zur xx-Achse ist, sind die Abszissen der Punkte C3C_3 und D3D_3 gleich.
xD3=xC3x+4=2x+3x=1\begin{array}{lcr} & \,\, x_{D_3}=x_{C_3}\\& \,\, x+4=2x+3 \\\Leftrightarrow & \,\, x=1\end{array}
Das Ergebnis setzt du in die Koordinaten von Dn(x+4x+4)D_n(x+4|x+4) ein.
D3(1+41+4)=(55)D_3(1+4|1+4)=(5|5)
In der Raute A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4 hat die Diagonale [A4C4][A_4C_4] die gleiche Länge wie die Seite [A4D4][A_4D_4]. Begründe, dass für die Diagonale [B4D4][B_4D_4] gilt: B4D4=A4D43\overline{B_4D_4}=\overline{A_4D_4}\cdot \sqrt3!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Höhe eines gleichseitigen Dreiecks

Skizze
Du beschreibst zuerst die allgemeinen Eigenschaften einer Raute und verbindest das dann mit den Bedingungen, die in der Aufgabe gegeben sind. Es ist oft sinnvoll, eine Raute in zwei Dreiecke zu unterteilen und sich zunächst nur eins von diesen anzugucken.
Das markierte Dreieck A4C4D4A_4C_4D_4 ist gleichseitig:
a=A4C4=C4D4=D4A4a=\overline{A_4C_4}=\overline{C_4D_4}=\overline{D_4A_4}
Die Höhe bb eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge aa kannst du der Formelsammlung entnehmen (oder diesem Artikel)
b=32ab=\frac{\sqrt3}{2}a
Die Strecke [B4D4][B_4D_4] ist doppelt so lang wie die Höhe bb des Dreiecks. Es gilt demnach:
B4D4=2b=232a=3a\overline{B_4D_4}=2 \cdot b=2 \cdot \frac{\sqrt3}{2} \cdot a=\sqrt3 \cdot a
Jetzt verbindest du noch deine Argumente, um die gleiche Formel wiederzugeben, die in der Aufgabe verlangt ist.
a=A4D4a=\overline{A_4D_4}