Aufgaben
Spiegle den Punkt PP an der Ursprungsgeraden hh und gib die Koordinaten des Bildpunktes PP' an.
P(23)P(2|3)
h:y=14xh:y= \frac{1}{4}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgerade

Skizze
Der Punkt P(23)P(2|3) soll an der Geraden h:y=14xh:y=\frac{1}{4}x gespiegelt werden:
PhP\displaystyle P \mapsto^{h} P'
Um den Punkt PP an der Geraden hh zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel α\alpha, den die Gerade hh mit der x-Achse einschließt.
alpha
tanα=mh\tan \alpha= m_h
α=tan1(mh)\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(m_h)
α=tan1(14)\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(\frac{1}{4})
α=14°\Leftrightarrow \alpha =14°

Somit ergibt sich folgende Gleichung:
(xy)=(cos2αsin2αsin2αcos2α)(xPyP)=(cos28°sin28°sin28°cos28°)(23)=(0,880,470,470,88)(23)=(3,171,7)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos 28° & \sin 28°\\\sin 28° & -\cos28°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,88 & 0,47\\0,47 & -0,88\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3,17\\ -1,7 \end{pmatrix}

P(3,171,7)\Rightarrow P'(3,17|-1,7)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgerade

Skizze
Der Punkt P(13)P(1|-3) soll an der Geraden h:y=14xh:y=-\frac{1}{4}x gespiegelt werden:
PhP\displaystyle P \mapsto^{h} P'
Um den Punkt PP an der Geraden hh zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel α\alpha, den die Gerade hh mit der x-Achse einschließt.
Alpha
tanα=mh\tan \alpha= m_h
α=tan1(mh)\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(m_h)
α=tan1(14)\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(-\frac{1}{4})
α=166°\Leftrightarrow \alpha =166°
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
(xy)=(cos2αsin2αsin2αcos2α)(xPyP)=(cos332°sin332°sin332°cos332°)(13)=(0,880,470,470,88)(13)=(2,292,17)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos 332° & \sin 332°\\\sin 332° & -\cos332°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,88 & -0,47\\-0,47 & -0,88\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2,29\\ 2,17 \end{pmatrix}
P(2,292,17)\Rightarrow P'(2,29|2,17)
P(12)P(-1|-2)
h:y=23h:y=\frac{2}{3}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgerade

Skizze
Der Punkt P(12)P(-1|-2) soll an der Geraden h:y=23xh:y=\frac{2}{3}x gespiegelt werden:
PhP\displaystyle P \mapsto^{h} P'
Um den Punkt PP an der Geraden hh zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel α\alpha, den die Gerade hh mit der x-Achse einschließt.
alpha
tanα=mh\tan \alpha= m_h
α=tan1(mh)\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(m_h)
α=tan1(23)\Leftrightarrow \alpha =\tan^{-1}(\frac{2}{3})
α=33,69°\Leftrightarrow \alpha =33,69°
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
(xy)=(cos2αsin2αsin2αcos2α)(xPyP)=(cos67,38°sin67,38°sin67,38°cos67,38°)(12)=(0,380,920,920,38)(12)=(2,220,16)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_P\\y_P\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos 67,38° & \sin 67,38°\\\sin 67,38° & -\cos67,38°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,38 & 0,92\\0,92 & -0,38\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2,22\\ -0,16 \end{pmatrix}
P(2,220,16)\Rightarrow P'(-2,22|-0,16)

Spiegle den Punkt %%P%% an der Ursprungsgeraden %%h%% und gib die Koordinaten des Bildpunktes %%P'%% an.

%%P(3|4)%%, %%h(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot x%%

Die Steigung der Geraden ist %%\frac{1}{\sqrt{3}}%%. Das bedeutet, dass der Winkel %%\alpha =tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})= 30°%% ist.

Spiegelung an einer Ursprungsgerade

Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

%% \begin{eqnarray} x' &=& cos (2\cdot \alpha)\cdot x + sin(2\cdot \alpha)\cdot y \\ y' &=& sin (2\cdot \alpha)\cdot x - cos(2\cdot \alpha)\cdot y \end{eqnarray} %%

Setze den Winkel %%\alpha = 30°%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& cos (2\cdot 30°)\cdot x + sin(2\cdot 30°)\cdot y &=& \frac{1}{2}\cdot x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot y\\ y' &=& sin (2\cdot 30°)\cdot x - cos(2\cdot 30°)\cdot y &=& \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot x - \frac{1}{2}\cdot y \end{eqnarray} %%

Setze die Koordinaten des Punktes %%P(3|4)%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& \frac{1}{2}\cdot 3 + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4 &=& \frac{3}{2} + 2\cdot\sqrt{3}\\ y' &=& \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 3 - \frac{1}{2}\cdot 4 &=& \frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}-2 \end{eqnarray} %%

%%\Rightarrow P'(\frac{3}{2} + 2\cdot\sqrt{3}|\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}-2)%%

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(2\cdot \alpha) & sin(2\cdot\alpha) \\ sin(2 \cdot \alpha) & -\cos(2\cdot \alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} %%

Setze den Winkel %%\alpha = 30°%% in die Matrix ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(60°) & sin(60°) \\ sin(60°) & -\cos(60°) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} %%

Setze die Koordinaten des Punktes %%P(3|4)%% in den Vektor ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} %%

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} + 2\cdot\sqrt{3}\\ \frac{3\cdot \sqrt{3}}{2} -2 \end{pmatrix} %%

%%\Rightarrow P'(\frac{3}{2} + 2\cdot\sqrt{3}|\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}-2)%%

%%P (2|-5)%%, %%h:y=(2-\sqrt{3})x%%

Spiegelung Punkt an Ursprungsgerade

Die Steigung der Geraden ist %%2-\sqrt{3}%%. Das bedeutet, dass der Winkel %%\alpha = tan^{-1}(2-\sqrt{3}) = 15°%%

Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

%% \begin{eqnarray} x' &=& cos (2\cdot \alpha)\cdot x + sin(2\cdot \alpha)\cdot y \\ y' &=& sin (2\cdot \alpha)\cdot x - cos(2\cdot \alpha)\cdot y \end{eqnarray} %%

Setze den Winkel %%\alpha = 15°%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& cos (2\cdot 15°)\cdot x + sin(2\cdot 15°)\cdot y &=& \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot x + \frac{1}{2}\cdot y\\ y' &=& sin (2\cdot 15°)\cdot x - cos(2\cdot 15°)\cdot y &=& \frac{1}{2}\cdot x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot y \end{eqnarray} %%

Setze die Koordinaten des Punktes %%P(2|-5)%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2 + \frac{1}{2}\cdot (-5) &=& \sqrt{3} - \frac{5}{2}\\ y' &=& \frac{1}{2}\cdot 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (-5) &=& 1 + \frac{5\cdot \sqrt{3}}{2} \end{eqnarray} %%

$$\Rightarrow P'(\sqrt3-\frac{5}{2}|1+\frac{5\sqrt3}{2})$$

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(2\cdot \alpha) & sin(2\cdot\alpha) \\ sin(2 \cdot \alpha) & -\cos(2\cdot \alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} %%

Setze den Winkel %%\alpha = 15°%% in die Matrix ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(30°) & sin(30°) \\ sin(30°) & -\cos(30°) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} %%

Setze die Koordinaten des Punktes %%P(2|-5)%% in den Vektor ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix} %%

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} - \frac{5}{2} \\ 1 + \frac{5\cdot \sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} %%

$$\Rightarrow P'(\sqrt3-\frac{5}{2}|1+\frac{5\sqrt3}{2})$$

%%P(\frac{1}{2}|3)%%, %%h:y=-x%%

Die Steigung der Geraden ist %%-1%%. Das bedeutet, dass der Winkel %%\alpha =tan^{-1}(-1)= -45°%% ist.

Spiegelung von Punkt an Ursprungsgerade

Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

%% \begin{eqnarray} x' &=& cos (2\cdot \alpha)\cdot x + sin(2\cdot \alpha)\cdot y \\ y' &=& sin (2\cdot \alpha)\cdot x - cos(2\cdot \alpha)\cdot y \end{eqnarray} %%

Setze den Winkel %%\alpha = -45°%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& cos (2\cdot -45°)\cdot x + sin(2\cdot -45°)\cdot y &=& 0 \cdot x + (-1)\cdot y\\ y' &=& sin (2\cdot -45°)\cdot x - cos(2\cdot -45°)\cdot y &=& (-1)\cdot x - 0\cdot y \end{eqnarray} %%

Setze die Koordinaten des Punktes %%P(\frac{1}{2}|3)%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& -3\\ y' &=& -\frac{1}{2} \end{eqnarray} %%

$$\Rightarrow P'(-3|-0,5)$$

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(2\cdot \alpha) & sin(2\cdot\alpha) \\ sin(2 \cdot \alpha) & -\cos(2\cdot \alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} %%

Setze den Winkel %%\alpha = -45°%% in die Matrix ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(-90°) & sin(-90°) \\ sin(-90°) & -\cos(-90°) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} %%

Setze die Koordinaten des Punktes %%P(\frac{1}{2}|3)%% in den Vektor ein.

%% \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\ 3 \end{pmatrix} %%

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix} %%

$$\Rightarrow P'(-3|-0,5)$$

%%P(\sqrt3|1)%%, %%h:y=-\sqrt3\cdot x%%

Die Steigung der Geraden ist %%-\sqrt{3}%%. Das bedeutet, dass der Winkel %%\alpha =tan^{-1}(-\sqrt{3})= 120°%% ist.

Spiegelung Punkt an Ursprungsgeraden

Alternative 1: Lösung in Koordinatenform:

%% \begin{eqnarray} x' &=& cos (2\cdot \alpha)\cdot x + sin(2\cdot \alpha)\cdot y \\ y' &=& sin (2\cdot \alpha)\cdot x - cos(2\cdot \alpha)\cdot y \end{eqnarray} %%

Setze den Winkel %%\alpha = 120°%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& cos (2\cdot 120°)\cdot x + sin(2\cdot 120°)\cdot y &=& (-\frac{1}{2})\cdot x + (-\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot y\\ y' &=& sin (2\cdot 120°)\cdot x - cos(2\cdot 120°)\cdot y &=& (-\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot x - (-\frac{1}{2})\cdot y \end{eqnarray} %%

Setze die Koordinaten des Punktes %%P(\sqrt{3}|1)%% in das Gleichungssystem ein.

%% \begin{eqnarray} x' &=& (-\frac{1}{2}) \cdot\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 &=& -\sqrt{3}\\ y' &=& (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \sqrt{3} + \frac{1}{2}\cdot 1 &=& -1 \end{eqnarray} %%

$$\Rightarrow P'(-\sqrt3|-1)$$

Alternative 2: Lösung in Matrixform:

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(2\cdot \alpha) & sin(2\cdot\alpha) \\ sin(2 \cdot \alpha) & -\cos(2\cdot \alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} %%

Setze den Winkel %%\alpha = 120°%% in die Matrix ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(240)° & sin(240°) \\ sin(240° & -\cos(240°) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} %%

Setze die Koordinaten des Punktes %%A(\sqrt{3}|1)%% in den Vektor ein.

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} %%

%% \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3} -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sqrt{3}\\ -1 \end{pmatrix} %%

$$\Rightarrow P'(-\sqrt3|-1)$$

Spiegle die Gerade gg an der Ursprungsgeraden hh und gib die Gleichung der Bildgeraden gg' an.
g:y=14xg:y=-\dfrac{1}{4}x
h:y=23xh:y=\dfrac{2}{3}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ursprungsgeraden

Spiegelung einer Geraden
Man wählt sich einen beliebigen Punkt Pn(x14x)P_n (x|-\frac{1}{4}x) auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden hh auf den Bildpunkt PnP_n'.
PnP_n' ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden gg'.
Um den Punkt PnP_n an der Geraden hh zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel α\alpha, den die Gerade hh mit der x-Achse einschließt.
alpha
tanα=mhα=tan1(mh)α=tan1(23)α33,69°\begin{array}{rcl} \tan \alpha&=& m_h\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(m_h)\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(\frac{2}{3})\\ \Leftrightarrow \alpha &\approx&33,69° \end{array}
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
(xy)=(cos2αsin2αsin2αcos2α)(x14x)=(cos67,38°sin67,38°sin67,38°cos67,38°)(x14x)=(0,380,920,920,38)(x14x)=(0,38x0,23x0,92x+0,095x)(xy)=(0,15x1,02x)\displaystyle \begin{array}{rcl} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-\frac{1}{4}x\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}\cos 67,38° & \sin 67,38°\\\sin 67,38° & -\cos67,38°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-\frac{1}{4}x\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}0,38 & 0,92\\0,92 & -0,38\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-\frac{1}{4}x\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} 0,38x -0,23x\\ 0,92x +0,095x \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0,15x\\ 1,02x\end{pmatrix} \end{array}
Die gespiegelten Punkte PnP_n' haben also folgende Koordinaten:
Pn(0.15x1,02x)\displaystyle P_n' (0.15x|1,02x)
Als letztes muss noch der Trägergraph gg' bestimmt werden.
In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
x=0,15x(1) y=1,02x(2)\displaystyle \begin{array}{rcll}x'=& 0,15x & (1)\\\wedge~y'=& 1,02x &(2)\end{array}
x=x0,15(1)\displaystyle x=\frac{x'}{0,15}(1')
Setze nun Gleichung (1)(1') in (2)(2) ein:
y=1,02x0,15=6,8x\displaystyle y'= 1,02 \cdot \frac{x'}{0,15} = 6{,}8x'
Die gespiegelte Gerade gg' hat demnach folgende Gleichung:
g:y=6,8x\displaystyle g':y=6,8x
g:y=25x+1g: y= -\dfrac{2}{5}x +1
h:y=27xh:y=\dfrac{2}{7}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Ursprungsgeraden

Skizze
Man wählt sich einen beliebigen Punkt Pn(x25x+1)P_n (x|-\frac{2}{5}x+1) auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden hh auf den Bildpunkt PnP_n'.
PnP_n' ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden gg'.
Um den Punkt PnP_n an der Geraden hh zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel α\alpha, den die Gerade hh mit der x-Achse einschließt.
alpha
tanα=mhα=tan1(mh)α=tan1(27)α15,95°\begin{array}{rcl} \tan \alpha&=& m_h\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(m_h)\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(\frac{2}{7})\\ \Leftrightarrow \alpha &\approx&15,95° \end{array}
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
(xy)=(cos2αsin2αsin2αcos2α)(x25x+1)=(cos31,9°sin31,9°sin31,9°cos31,9°)(x25x+1)=(0,850,530,530,85)(x25x+1)=(0,85x0,21x+0,530,53x+0,34x0,85)(xy)=(0,64x+0,530,87x0,85)\displaystyle \begin{array}{rcl} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-\frac{2}{5}x +1\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}\cos 31,9° & \sin 31,9°\\\sin 31,9° & -\cos 31,9°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-\frac{2}{5}x +1\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}0,85 & 0,53\\0,53 & -0,85\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\-\frac{2}{5}x +1\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} 0,85x -0,21x +0,53\\ 0,53x +0,34x -0,85\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 0,64x +0,53\\ 0,87x -0,85\end{pmatrix} \end{array}
Die gespiegelten Punkte PnP_n' haben also folgende Koordinaten:
Pn(0,64x+0,530,87x0,85)\displaystyle P_n'(0,64x+0,53|0,87x-0,85)_{ }
Als letztes muss noch der Trägergraph gg' bestimmt werden.
In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
x=0,64x+0,53(1) y=0,87x0,85(2)\displaystyle \begin{array}{rcll}x'=& 0,64x +0,53 & (1)\\\wedge~y'=& 0,87x -0,85 &(2)\end{array}
x=x0,530,64(1)\displaystyle x=\frac{x'-0,53}{0,64} (1')
Setze nun die Gleichung (1)(1') in (2)(2) ein:
y=0,87x0,530,640,85=1,36x1,57\displaystyle y'= 0,87 \cdot \frac{x'-0,53}{0,64} -0,85 = 1,36x'-1,57
Die gespiegelte Gerade gg' hat demnach folgende Gleichung:
g:y=1,36x1,57\displaystyle g':y=1,36x-1,57
g:y=2x+1g:y=2x+1
h:y=14xh:y=\dfrac{1}{4}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Gerade an einer Ursprungsgerade

Skizze
Die Gerade g:y=2x+1g:y=2x+1 soll an der Geraden h:y=14xh:y=\dfrac{1}{4}x gespiegelt werden:
Das heißt, man wählt sich einen beliebigen Punkt Pn(x2x+1)P_n (x|2x+1) auf der Geraden g und spiegelt diesen an der Geraden hh auf den Bildpunkt PnP_n'.
PnP_n' ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden gg'.
Um den Punkt PnP_n an der Geraden hh zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel α\alpha, den die Gerade hh mit der x-Achse einschließt.
alpha
tanα=mhα=tan1(mh)α=tan1(14)α14,04°\begin{array}{rcl} \tan \alpha&=& m_h\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(m_h)\\ \Leftrightarrow \alpha &=&\tan^{-1}(\frac{1}{4})\\ \Leftrightarrow \alpha &\approx&14,04° \end{array}
Somit ergibt sich folgende Gleichung:
(xy)=(cos2αsin2αsin2αcos2α)(x2x+1)=(cos28,08°sin28,08°sin28,08°cos28,08°)(x2x+1)=(0,880,470,470,88)(x2x+1)=(0,88x+0,94x+0,470,47x1,76x0,88)(xy)=(1,82x+0,471,29x0,88)\displaystyle \begin{array}{rcl} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\2x +1\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}\cos 28,08° & \sin 28,08°\\\sin 28,08° & -\cos28,08°\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\2x+1\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}0,88 & 0,47\\0,47 & -0,88\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\2x +1\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} 0,88x +0,94x+0,47\\ 0,47x -1,76x -0,88 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 1,82x+0,47\\ -1,29x-0,88\end{pmatrix} \end{array}
Die gespiegelten Punkte PnP_n' haben also folgende Koordinaten:
Pn(1,82x+0,471,29x0,88)P_n' (1,82x +0,47|-1,29x-0,88)
Als letztes muss noch der Trägergraph gg' bestimmt werden.
In Koordinatenform dargestellt ergibt sich:
x=1,82x+0,47(1) y=1,29x0,88(2)\displaystyle \begin{array}{rcll}x'=& 1,82x+0,47 & (1)\\\wedge ~y'=& -1,29x-0,88 &(2)\end{array}

x=x0,471,82(1)\displaystyle x=\frac{x'-0,47}{1,82} (1')
Setze nun die Gleichung (1)(1') in (2)(2) ein:
y=1,29x0,471,820,88=0,71x0,55\displaystyle y'= -1,29 \cdot \frac{x'-0,47}{1,82} -0,88 = -0,71x'-0,55
Die gespiegelte Gerade gg' hat demnach folgende Gleichung:
g:y=0,71x0,55\displaystyle g':y=-0,71x-0,55

Spiegele das Dreieck gegeben durch die Punkte %%A(1|4)%%, %%B(0|2)%%, %%C(4|2)%% an der Gerade %%g(x)=x%% und berechne die Koordinaten der Bildpunkte %%A', B', C'%%.

Die Steigung der Geraden ist %%1%%. Das bedeutet, dass der Winkel %%α=\tan^{-1}(1)=45°%% ist.

Alternative 1: Berechnung in Koordinatenform:

%%x'=\cos2\alpha\cdot x+\sin2\alpha\cdot y%%

%%y'=\sin2\alpha\cdot x-\cos2\alpha\cdot y%%

Setze den Winkel %%\alpha=45°%% in das Gleichungssystem ein.

%%x'=\cos(2\cdot 45°)\cdot x+\sin(2\cdot 45°)\cdot y=0\cdot x+1\cdot y%%

%%y'=\sin(2\cdot 45°)\cdot x-\cos(2\cdot45°)\cdot y=1\cdot x-0\cdot y%%

Setze die Koordinaten der Punkte %%A%%, %%B%% und %%C%% in jeweils ein Gleichungssystem ein.

%%x'_{A}=1\cdot y_A=4%%

%%y'_A=1\cdot x_A=1%%

%%\Rightarrow A'(4|1)%%

%%x'_{B}=1\cdot y_B=2%%

%%y'_B=1\cdot x_B=0%%

%%\Rightarrow B'(2|0)%%

%%x'_{C}=1\cdot y_C=2%%

%%y'_C=1\cdot x_C=4%%

%%\Rightarrow C'(2|4)%%

Alternative 2: Berechnung in Matrixform:

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=%% %%\begin{pmatrix} \cos2\alpha & \sin2\alpha\\ \sin2\alpha & -\cos2\alpha \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}%%

Setze den WInkel %%\alpha=45°%% in die Matrix ein.

%%\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=%% %%\begin{pmatrix} \cos(2\cdot 45°) & \sin(2\cdot 45°)\\ \sin(2\cdot 45°) & -\cos(2\cdot 45°) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}%%

Setze die Koordinaten der Punkte %%A%%, %%B%% und %%C%% jeweils in eine Gleichung ein.

%%\begin{pmatrix} x'_A\\ y'_A \end{pmatrix}=%% %%\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 4 \end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix} x'_B\\ y'_B \end{pmatrix}=%% %%\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0\\ 2 \end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix} x'_C\\ y'_C \end{pmatrix}=%% %%\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix} x'_A\\ y'_A \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix} x'_B\\ y'_B \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ 0 \end{pmatrix}%%

%%\begin{pmatrix} x'_C\\ y'_C \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}%%

Dreieck Achse

Der Bildpunkt %%P'%% entsteht durch Spiegelung des Urpunktes %%P%% an einer Ursprungsgeraden %%h%%. Gib die Gleichung der Spiegelachse %%h%%, die Abbildungsgleichung und die Koordinaten von %%Q'%% an.

%%P(3|-4), P'(-3|4), Q(-5|1)%%

Skizze: Skizze

Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkel %%\alpha%% der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt %%P%% und %%P'%% ein und löst nach %%\alpha%% auf.

Hier bietet sich die Koordinatenform an:

%%x'=x\cos(2\alpha)+y\sin(2\alpha)%%

%%y'=x\sin(2\alpha)-y\cos(2\alpha)%%

%%(I):-3=3\cos(2\alpha)-4\sin(2\alpha)%%

%%(II): \ \ 4=3\sin(2\alpha)+4\cos(2\alpha)%%

%%\Rightarrow (I'): \cos(2\alpha)=-1+\frac{4}{3}\sin(2\alpha)%%

Setze %%(I')%% in %%(II)%% ein und löse nach %%\alpha%% auf.

%%4=3\sin(2\alpha)-4+\frac{16}{3}\sin(2\alpha)%%

%%\Leftrightarrow 8=\frac{25}{3}\sin(2\alpha)%%

%%\Leftrightarrow \frac{24}{25}=\sin(2\alpha)%%

%%\Leftrightarrow 2\alpha=73,74°%%

%%\Leftrightarrow \alpha=36,87°%%

Du hast also den Winkel %%\alpha%% bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.

Mit dieser Information kannst du auf die Steigung %%m_h%% der Geraden %%h%% schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.

%%m_h=\tan\alpha%%

%%\Rightarrow m_h=tan(36,97°)=\frac{3}{4}%%

%%\Rightarrow h:y=\frac{3}{4}x%%

alpha

Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt %%Q'%% angeben bzw. berechnen.

Abbildungsgleichung in Koordinatenform:

%%x'=x\cos(73,74°)+y\sin(73,74°)%%

%%y'=x\sin(73,74°)-y\cos(73,74°)%%

%%\Rightarrow%% Spiegelung von %%Q%%

%%x'=-5\cos(73,74°)+1\sin(73,74°)=-0,44%%

%%y'=-5\sin(73,74°)-1\cos(73,74°)=-5%%

%%\Rightarrow Q' (-0,44|-5)%%

in Koordinatenform

%%P(-5|1), P'(-1|5), Q(4|3)%%

Skizze:

Skizze

Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkel %%\alpha%% der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt %%P%% und %%P'%% ein und löst nach %%\alpha%% auf.

Hier bietet sich die Koordinatenform an:

%%x'=x\cos(2\alpha)+y\sin(2\alpha)%%

%%y'=x\sin(2\alpha)-y\cos(2\alpha)%%

%%(I):-3=3\cos(2\alpha)-4\sin(2\alpha)%%

%%(II): \ \ 4=3\sin(2\alpha)+4\cos(2\alpha)%%

%%\Rightarrow (I'): \cos(2\alpha)=-1+\frac{4}{3}\sin(2\alpha)%%

Setze %%(I')%% in %%(II)%% ein und löse nach %%\alpha%% auf.

%%(I')%%in %%(II)%%:

%%4=3\sin(2\alpha)-4+\frac{16}{3}\sin(2\alpha)%%

%%\Leftrightarrow 8=\frac{25}{3}\sin(2\alpha)%%

%%\Leftrightarrow \frac{24}{25}=\sin(2\alpha)%%

%%\Leftrightarrow 2\alpha=270°%%

%%\Leftrightarrow \alpha=135°%%

Du hast also den Winkel %%\alpha%% bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.

Mit dieser Information kannst du auf die Steigung %%m_h%% der Geraden %%h%% schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.

%%m_h=\tan\alpha%%

%%\Rightarrow m_h=tan(135°)=-1%%

Die Spiegelachse ist also die Winkelhalbierende des II. und IV. Quadraten: %%\Rightarrow h:y=-x%%

alpha

Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt %%Q'%% angeben bzw. berechnen.

Abbildungsgleichung in Koordinatenform:

%%x'=x\cos(270°)+y\sin(270°)%%

%%y'=x\sin(270°)-y\cos(270°)%%

%%\Rightarrow%% Spiegelung von %%Q%%

%%x'=4\cos(270°)+3\sin(270°)=-3%%

%%y'=4\sin(270°)-3\cos(270°)=-4%%

%%\Rightarrow Q' (-3|-4)%%

Koordinatenform

%%P(-4|0,6), P'(-2,9|2,5), Q(-1|-2)%%

Skizze:

Skizze

Um die Gleichung der Spiegelachse zu bestimmen, musst du zuerst den Schnittwinkel %%\alpha%% der Spiegelachse mit der x-Achse berechnen. Dazu benuzt du die Abbildungsgleichung, setzt %%P%% und %%P'%% ein und löst nach %%\alpha%% auf.

Hier bietet sich die Koordinatenform an:

%%x'=x\cos(2\alpha)+y\sin(2\alpha)%%

%%y'=x\sin(2\alpha)-y\cos(2\alpha)%%

%%(I):-2,9=-4\cos(2\alpha)+0,6\sin(2\alpha)%%

%%(II): \ \ 2,5=-4\sin(2\alpha)-0,6\cos(2\alpha)%%

%%\Rightarrow (I'): \cos(2\alpha)=0,725+0,15\sin(2\alpha)%%

Setze %%(I')%% in %%(II)%% ein und löse nach %%\alpha%% auf.

%%(I')%%in %%(II)%%:

%%2,5=-4\sin(2\alpha)-0,435-\frac{9}{100}\sin(2\alpha)%%

%%\Leftrightarrow 2,935=-4,09\sin(2\alpha)%%

%%\Leftrightarrow -0,72=\sin(2\alpha)%%

%%\Leftrightarrow 2\alpha=314°%%

%%\Leftrightarrow \alpha=157°%%

Du hast also den Winkel %%\alpha%% bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.

Mit dieser Information kannst du auf die Steigung %%m_h%% der Geraden %%h%% schließen und somit die Geradengleichung aufstellen.

%%m_h=\tan\alpha%%

%%\Rightarrow m_h=tan(157°)=-0,43%%

%%\Rightarrow h:y= -0.43x%%

alpha

Nachdem du die Gleichung der Spiegelachse bestimmt hast, musst du noch die Abbildungsgleichung und den Bildpunkt %%Q'%% angeben bzw. berechnen.

Abbildungsgleichung in Koordinatenform:

%%x'=x\cos(314°)+y\sin(314°)%%

%%y'=x\sin(314°)-y\cos(314°)%%

%%\Rightarrow%% Spiegelung von %%Q%%

%%x'=-1\cos(314°)-2\sin(314°)=0,74%%

%%y'=-1\sin(314°)+2\cos(314°)=2,09%%

%%\Rightarrow Q' (0,74|2,09)%%

Koordinatenform

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