Aufgaben
Oma hat für ihre Familie insgesamt 80 Plätzchen gebacken und in kleine Tütchen verpackt.
Insgesamt haben 48 der Plätzchen einen Überzug aus Schokolade, 20 haben eine Füllung aus Omas selbstgemachter Erdbeermarmelade. Unter diesen 48 bzw. 20 Plätzchen gibt es 12 Plätzchen, die sogar beides haben: Schokoladenüberzug und Marmeladenfüllung.
Erstelle eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten

Zuerst legst du zwei Ereignisse fest, anhand welcher du später deine Vierfeldertafel erstellen wirst. Welche Ereignisse gibt es? In der Aufgabenstellung werden Plätzchen mit Schokoladenüberguss sowie mit Marmeladenfüllung genannt. Es gibt aber auch Plätzchen, die beide Eigenschaften erfüllen, also mit Marmelade gefüllte Schokoplätzchen. Man unterscheidet zwischen Plätzchen mit bzw. ohne Schokolade sowie mit bzw. ohne Marmelade.
Dadurch entstehen die Ereignisse
  • SS: Das Plätzchen ist mit Schokolade überzogen.
  • MM: Das Plätzchen ist mit Marmelade gefüllt.
Zuerst erstellst du eine Vierfeldertafel: Die Zeilen sind die Ereignisse SS (mit Schokoladenüberzug) und S\overline S (ohne Schokoladenüberzug). Die Spalten sind die Ereignisse MM (mit Marmeladenfüllung) und M\overline M (ohne Marmeladenfüllung).

%%M%%

%%\overline M%%

%%S%%

%%\overline S%%

Du weißt bereits, dass es insgesamt 8080 Plätzchen gibt. Daher ist G=80G=80.
Insgesamt sind 4848 dieser Plätzchen mit Schokolade überzogen, wohingegen 2020 eine Marmaladenfüllung haben. Daher ist H(S)=48H(S)=48 und H(M)=20H(M)=20.
Du weißt außerdem, dass 1212 der Plätzchen mit Schokolade überzogen sind und eine Marmeladenfüllung haben. Gegeben ist also die Schnittmenge von SS und MM. Also weißt du auch H(SM)=12H(S\cap M)=12.
Diese Zahlen kannst du an den entsprechenden Stellen schon in die Tafel eintragen.

%%M%%

%%\overline{M}%%

%%S%%

%%\color{#CC0000}{12}%%

%%\color{#CC0000}{48}%%

%%\overline{S}%%

%%\color{#CC0000}{20}%%

%%\color{#CC0000}{80}%%

S=M+M\displaystyle S = M + \overline{M}
Da M\overline{M} als einziger Wert aus der Tabelle noch nicht ausgefüllt ist, stellst du danach um.
M=SM\displaystyle \overline{M} = S - M
Dann setzt du die Werte aus der Tabelle einfach ein und rechnest aus.
M=4812=36\displaystyle \overline{M} = 48 - 12 = 36
Trage im Anschluss den ausgerechneten Wert in die Tafel ein und überprüfe, ob der Wert in die Tafel passt und Sinn ergibt.

%%M%%

%%\overline{M}%%

%%S%%

%%12%%

%%\color{#CC0000}{36}%%

%%48%%

%%\overline{S}%%

%%20%%

%%80%%

Nun solltest du eine Zeile oder Spalte aussuchen, in der bereits zwei Felder ausgefüllt sind. Du bist dann eigentlich frei, in welcher Reihenfolge du diese Werte ausrechnest. Es ist z.B. sinnvoll, erst "innerhalb" des Feldes ausrechnen, also SM\overline{S} \cap M. Dann kannst du dich langsam an die Werte, die "außerhalb" liegen antasten. Denn es ist meistens einfacher, diese auszurechnen.
(SM)+(SM)=M\displaystyle (S \cap M) + (\overline{S} \cap M) = M
Stelle nach dem leeren Feld SM\overline{S} \cap M um.
(SM)=M(SM)\displaystyle (\overline{S} \cap M) = M - (S \cap M)
Setze die Werte ein.
(SM)=2012=8\displaystyle (\overline{S} \cap M) = 20 - 12 = 8
Trage den gefundenen Wert in die Tabelle ein.

%%M%%

%%\overline{M}%%

%%S%%

%%12%%

%%36%%

%%48%%

%%\overline{S}%%

%%\color{#CC0000}{8}%%

%%20%%

%%80%%

Da "innerhalb" des Feldes keine Zeile oder Spalte mit bereits zwei eingefüllten Feldern vorliegt, gehst du an das "Äußere" der Tafel. Die Reihenfolge, ob du zuerst S\overline{S} oder M\overline{M} ausrechnest, spielt erneut keine Rolle.
S+S=80\displaystyle S + \overline{S} = 80
Stelle nach dem gesuchten Wert um.
S=80S\displaystyle \overline{S} = 80 - S
Setze den Wert für SS ein und rechne aus.
S=8048=32\displaystyle \overline{S} = 80 - 48 = 32

M+M=80\displaystyle M + \overline{M} = 80
Stelle nach dem gesuchten Wert um.
M=80M\displaystyle \overline{M} = 80 - M
Setze den Wert für MM ein und rechne aus.
M=8020=60\displaystyle \overline{M} = 80 - 20 = 60
Trage die soeben ausgerechneten Werte S\overline{S} und M\overline{M} in die Verfeldertafel ein.

%%M%%

%%\overline{M}%%

%%S%%

%%12%%

%%36%%

%%48%%

%%\overline{S}%%

%%8%%

%%\color{#CC0000}{32}%%

%%20%%

%%\color{#CC0000}{60}%%

%%80%%

Rechne als letztes den fehlenden Wert aus und trage ihn ebenfalls in die Tabelle ein.
M=(SM)+(SM)\displaystyle \overline{M} = (S \cap \overline{M}) + (\overline{S} \cap \overline{M})
Stelle nach dem gesuchten Wert um.
(SM)=M(SM)\displaystyle (\overline{S} \cap \overline{M}) = \overline{M} - (S \cap \overline{M})
Setze die Werte ein und rechne aus.
(SM)=6036=24\displaystyle (\overline{S} \cap \overline{M}) = 60 - 36 = 24


%%M%%

%%\overline{M}%%

%%S%%

%%12%%

%%36%%

%%48%%

%%\overline{S}%%

%%8%%

%%\color{#CC0000}{24}%%

%%32%%

%%20%%

%%60%%

%%80%%

Überprüfe jetzt unbedingt die einzelnen Zeilen und Spalten. Dadurch kannst du sehen, ob die Werte deiner Vierfelder stimmen.
Passt deine Tafel? Super, du hast es geschafft und die Aufgabe gut gelöst! :-)

Für Fortgeschrittene: Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten

Nun zu den Wahrscheinlichkeiten: Du weißt bereits, dass es insgesamt 8080 Plätzchen gibt und die Anzahl an den speziellen Sorten. Diese kannst du auch bereits in Form von Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel eintragen.
Dabei stehen dir zwei Möglichkeiten zur Auswahl: Du schreibst am Anfang die Ereignisse als Wahrscheinlichkeit der Ereignissen auf. Oder du rechnest die Tabelle mit absoluten Häufigkeiten in relative Häufigkeiten um.

Relative Häufigkeit von Anfang an ausrechnen

Du hast bereits gegeben, wie viele Plätzchen es von den insgesamten 8080 Plätzchen gibt. Also kannst du auch schreiben:
  • P(S)=4880=610=35P(S) = \frac{48}{80} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
  • P(M)=2080=28=14P(M) = \frac{20}{80} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}
  • P(SM)=1280=640=320P(S \cap M) = \frac{12}{80} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}
Diese Werte trägst du nun in die Tafel ein.

%%M%%

%%\overline{M}%%

%%S%%

%%\color{#CC0000}{\frac{3}{20}}%%

%%\color{#CC0000}{\frac{3}{5}}%%

%%\overline{S}%%

%%\color{#CC0000}{\frac{1}{4}}%%

%%1%%

Anschließend rechnest du die fehlenden Werte aus den (noch) leeren Feldern wie oben aus. Am Ende kommst du auf die folgende Vierfeldertafel:

%%M%%

%%\overline{M}%%

%%S%%

%%\frac{3}{20}%%

%%\frac{9}{20}%%

%%\frac{3}{5}%%

%%\overline{S}%%

%%\frac{1}{10}%%

%%\frac{6}{20}%%

%%\frac{8}{20}%%

%%\frac{1}{4}%%

%%\frac{3}{4}%%

%%1%%

Überprüfe auch hier, ob die Werte stimmen.

Vierfeldertafel am Ende umrechnen

Das geht ganz einfach: Du teilst den Wert aus einem beliebigen Feld durch die Gesamtanzahl. Sie ist in diesem Fall 8080. Dieses Verfahren führst du für alle Felder durch und erhälst so wieder die obige Tafel.
Fülle mit den folgenden Informationen eine Vierfeldertafel aus!
P(A)=0,45;  P(AB)=0,2;  P(B)=0,7P(A)=0,45;\;P(A\cap\overline B)=0,2;\; P(\overline B)=0,7

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

 AA BP(AB)P(AB)P(B)BP(AB)P(AB)P(B) P(A)P(A)1\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & \mathrm{P(A\cap B}) & \mathrm{P(\overline A\cap B}) & \mathrm{P(B)} \\\hline\mathrm{\overline B} & \mathrm{P(A\cap \overline B}) & \mathrm{P(\overline A\cap \overline B}) & \mathrm{P(\overline B}) \\\hline\ & \mathrm{P(A)} & \mathrm{P(\overline A)} & 1 \\\end{array}
Schreibe die gegebenen Wahrscheinlichkeiten an die entsprechende Stelle.
 AA BB0,20,7 0,451\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & 0,2 & & 0,7 \\\hline\ & 0,45 & & 1 \\\end{array}
Rechne: 10,45=0,55=P(A)1-0,45=0,55=P(\overline A) 0,70,2=0,5=P(AB)0,7-0,2=0,5=P(\overline A\cap \overline B) 0,450,2=0,25=P(AB)0,45-0,2=0,25=P(A\cap B) 10,7=0,3=P(B)1-0,7=0,3=P(B) P(B)P(AB)=0,05=P(AB)P(B)-P(A\cap B)=0,05=P(\overline A\cap B)
Die fertige Vierfeldertafel sieht so aus.
 AA B0,250,050,3B0,20,50,7 0,450,551\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & 0,25& 0,05 & 0,3 \\\hline\mathrm{\overline B} & 0,2 & 0,5& 0,7 \\\hline\ & 0,45 & 0,55& 1 \\\end{array}
P(AB)=0,12;  P(A)=0,51;  P(B)=0,44P(A\cap B)=0,12;\; P(\overline A)=0,51;\; P(B)=0,44

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

 AA BP(AB)P(AB)P(B)BP(AB)P(AB)P(B) P(A)P(A)1\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & \mathrm{P(A\cap B}) & \mathrm{P(\overline A\cap B}) & \mathrm{P(B)} \\\hline\mathrm{\overline B} & \mathrm{P(A\cap \overline B}) & \mathrm{P(\overline A\cap \overline B}) & \mathrm{P(\overline B}) \\\hline\ & \mathrm{P(A)} & \mathrm{P(\overline A)} & 1 \\\end{array}
Schreibe die gegebenen Wahrscheinlichkeiten an die entsprechende Stelle.
 AA B0,120,44B 0,511\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & 0,12& &0,44 \\\hline\mathrm{\overline B} & & & \\\hline\ & &0,51 & 1 \\\end{array}
Rechne: 0,440,12=0,32=P(A  B)0,44-0,12=0,32=P(\overline A\ \cap\ B ) 10,44=0,56=P(B)1-0,44=0,56=P(\overline B) 10,51=0,49=P(A)1-0,51=0,49=P(A) P(A)0,12=0,37=P(AB)P(A)-0,12=0,37=P(A\cap \overline B) P(B)P(AB)=0,19=P(AB)P(\overline B)-P(A\cap\overline B)=0,19=P(\overline A\cap \overline B)
So sieht die fertige Vierfeldertafel aus.
 AA B0,120,320,44B0,370,190,56 0,490,511\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & 0,12& 0,32 &0,44 \\\hline\mathrm{\overline B} & 0,37 &0,19 & 0,56 \\\hline\ & 0,49 &0,51 & 1 \\\end{array}
P(B)=0,99;  P(AB)=0,002;  P(AB)=0,85P(B)=0,99;\; P(A\cap\overline B)=0,002;\;P(\overline A\cap B)=0,85
Fülle mit den folgenden Informationen eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten aus!
In einer Schulklasse mit 29 Schüler*innen haben 10 Schüler*innen braune Haare und 7 Schüler*innen grüne Augen. 5 Schüler*innen haben grüne Augen und braune Haare.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Schreibe die gegeben Informationen in die entsprechenden Felder.
 GG B510B 729\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{G} & \mathrm{\overline G} & \ \\\hline\mathrm{B} & \mathrm{5} & \mathrm{} & \mathrm{10} \\\hline\mathrm{\overline B} & \mathrm{} & \mathrm{} & \mathrm{} \\\hline\ & \mathrm{7} & \mathrm{} & 29 \\\end{array}
Rechne: BG=105|B\cap\overline{G}|=10-5 BG=75|\overline{B}\cap G|=7-5 B=2910|\overline{B}|=29-10 G=297|\overline{G}|=29-7 BG=192|\overline{B}\cap\overline{G}|=19-2
 GG B5510B21719 72229\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{G} & \mathrm{\overline G} & \ \\\hline\mathrm{B} & \mathrm{5} & \mathrm{5} & \mathrm{10} \\\hline\mathrm{\overline B} & \mathrm{2} & \mathrm{17} & \mathrm{19} \\\hline\ & \mathrm{7} & \mathrm{22} & 29 \\\end{array}
So sieht die vollständige Vierfeldertafel aus.
Bei einer Versuchsreihe nehmen 47 Personen teil. 20 von diesen Personen wurden auf eine bestimmte Krankheit positiv getestet. 32 Testpersonen sind gegen diese Krankheit geimpft, wobei 15 Personen positiv getestet wurden und nicht dagegen geimpft sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Schreibe die gegebenen Informationen in die entsprechenden Felder.
 PP G32G15 2047\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{P} & \mathrm{\overline P} & \ \\\hline\mathrm{G} & & & 32 \\\hline\mathrm{\overline G} & 15 & & \\\hline\ & 20 & & 47 \\\end{array}
Rechne: GP=PGP=2015=5|G \cap P|=|P|-|\overline{G} \cap P|=20-15=5 GP=GGP=325=27|G\cap \overline{P}|=|G|-|G \cap P|=32-5=27 G=47G=4732=15|\overline {G}|=47-|G|=47-32=15 GP=GGP=1515=0|\overline{G} \cap \overline{P}|=|\overline{G}|-|\overline{G}\cap P|=15-15=0 P=GP+GG=27+0=27|\overline{P}|=|G\cap \overline{P}|+|\overline{G}\cap \overline{G}|=27+0=27
 PP G52732G15015 202747\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{P} & \mathrm{\overline P} & \ \\\hline\mathrm{G} &5 &27 & 32 \\\hline\mathrm{\overline G} & 15 & 0& 15 \\\hline\ & 20 & 27 & 47 \\\end{array}
So sieht die fertige Vierfeldertafel aus.
In einer Firma arbeiten 45 Männer und 50 Frauen. 30 weibliche Mitarbeitende der Firma sind jünger als 50 Jahre und 27 Männer sind älter als 50 Jahre.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Schreibe die gegebenen Informationen in die entsprechenden Felder.
 WW <5030<5027 504595\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{W} & \mathrm{\overline W} & \ \\\hline\mathrm{<50} & 30 & & \\\hline\mathrm{\overline {<50}} & & 27 & \\\hline\ & 50 & 45& 95 \\\end{array}
Rechne: <50W=W<50W=5030=20|\overline{<50} \cap W|=|W|-|<50 \cap W|=50-30=20 <50=<50W+<50W=20+27=47|\overline{<50}|=|\overline{<50}\cap W|+|\overline{<50} \cap \overline W|=20+27=47 <50=95<50=9547=48|<50|=95-|\overline{<50}|=95-47=48 <50W=<50<50W=4830=18|<50 \cap \overline{W}|=|<50|-|<50 \cap W|=48-30=18
 WW <50301848<50202747 504595\begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{W} & \mathrm{\overline W} & \ \\\hline\mathrm{<50} & 30 & 18 & 48\\\hline\mathrm{\overline {<50}} &20 & 27 & 47 \\\hline\ & 50 & 45& 95 \\\end{array}
So sieht die fertige Vierfeldertafel dann aus.

Ein Betreiber eines Eisenbahnunternehmens hat eine Umfrage unter seinen Fahrgästen durchgeführt, die ergab, dass 10% der Fahrgäste in der ersten Klasse reisen. Außerdem wurde in der Umfrage abgefragt, wie zufrieden die Fahrgäste mit dem Service des Unternehmens sind. Hoch erfreut stellt das Unternehmen fest, dass %%\frac56%% der Fahrgäste zweiter Klasse zufrieden sind. Alarmierend dagegen sind die Zufridenheitszahlen der ersten Klasse: 70% der Fahrgäste erster Klasse sind unzufrieden. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

E: "Ein Teilnehmer der Umfrage ist 1.Klasse-Fahrer"

Z: "Ein Teilnehmer der Umfrage ist mit dem Service des Unternehmens zufrieden"

  1. Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.

  2. Als dem Geschäftsführer die Zufriedenheitszahlen der 1.Klasse mitgeteilt werden, ist dieser schockiert. Resigniert erklärt er, dass das Unternehmen es nicht geschafft habe, den Zufriedenheitswert von 77% der Fahrgäste aus dem Vorjahr zu verbessern. Hat er Recht?

  3. Tatsächlich stellt er fest, dass im Vorjahr 85% der Fahrgäste zweiter Klasse zufrieden waren und immerhin 45% der Fahrgäste erster Klasse. Damit haben sich beide Werte in diesem Jahr verschlechtert. Stelle diese Werte in Bezug zu deiner Antwort auf Teilaufgabe 2. Erstelle dazu auch eine Vierfeldertafel für das Vorjahr.

Vierfeldertafel

Teilaufgabe 1

Gegeben sind die Ereignisse:

%%E%%: "Ein Teilnehmer der Umfrage ist 1.Klasse-Fahrer"

%%Z%%: "Ein Teilnehmer der Umfrage ist mit dem Serivice des Unternehmnes zufrieden"

Gegeben sind die folgenden Werte:

%%P(E)=10\%=0,1%%

%%P_{\overline E}(Z)=\frac{5}{6}%%

%%P_{E}(\overline Z)=70\%=0,7%%

Damit kannst du mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit folgende Werte errechnen:

%%P(E \cap \overline Z) = P(E)\cdot P_{E}(\overline Z)=0,1\cdot 0,7\% = 0,07%%

%%P(\overline E)=1-P(E)=1-0,1=0,9%%

%%P(\overline E \cap Z) = P(\overline E)\cdot P_{\overline E}(Z)=0,9\cdot \frac56 = 0,75%%

Schreibe diese Werte in eine Vierfeldertafel.

%%E%%

%%\overline E%%

%%Z%%

%%0,75%%

%%\overline Z%%

%%0,07%%

%%0,1%%

%%0,9%%

%%1%%

Nun kannst du weitere Werte berechnen:

%%P(E \cap Z) = P(E)-P(E \cap \overline Z)=0,1-0,07=0,03%%

%%P(\overline E \cap \overline Z)=P(\overline E)-P(\overline E \cap Z)=0,9-0,75=0,15%%

Füge diese in die Vierfeldertafel ein:

%%E%%

%%\overline E%%

%%Z%%

%%0,03%%

%%0,75%%

%%\overline Z%%

%%0,07%%

%%0,15%%

%%0,1%%

%%0,9%%

%%1%%

Damit kannst du die restlichen Werte berechnen:

%%P(Z)=(Z \cap E) + P(Z \cap \overline E)=0,03 + 0,75 = 0,78%%

%%P(\overline Z)=P(\overline Z)+P(\overline Z \cap \overline E) = 0,07+0,15 = 0,22%%

Damit ergibt sich die vollständige ausgefüllte Vierfeldertafel als:

%%E%%

%%\overline E%%

%%Z%%

%%0,03%%

%%0,75%%

%%0,78%%

%%\overline Z%%

%%0,07%%

%%0,15%%

%%0,22%%

%%0,1%%

%%0,9%%

%%1%%

Teilaufgabe 2

Wie aus der Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 1 ersichtlich wird gilt %%P(Z)=0,78=78\% %%. Damit hat sich der Zufriedenheitswert gegenüber dem Vorjahr um 1 Prozentpunkt verbessert. Der Geschäftsführer hat somit Unrecht.

Teilaufgabe 3

Obwohl sich die Zufriedenheitswerte der Fahrgäste erster Klasse von 45% im Vorjahr auf 30% in diesem Jahr und der Fahrgäste zweiter Klasse von 85% im Vorjahr auf %%\frac56\approx83,3\% %% in diesem Jahr verschlechtert haben sind sie bei Betrachtung aller Fahrgäste von 77% auf 78% gestiegen. Wie ist dies möglich? Stelle dazu eine Vierfeldertafel für das Vorjahr auf.

Gegeben sind folgende Werte:

%%P(Z)=77\%=0,77%%

%%P_{\overline E}(Z)=85\%=0,85%%

%%P_{E}(Z)=45\%=0,45%%

Bezeichne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrgast erster Klasse fährt mit %%x\;(P(E)=x)%%. Dann gilt nach der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:

%%P(E \cap Z)=P(E) \cdot P_{E}(Z)=0,45 \cdot x%%

%%P(\overline E \cap Z)=P(\overline E) \cdot P_{\overline E}(Z)=0,85 \cdot (1-x)%%

Desweiteren gilt die Gleichung:

%%P(Z)=P(E \cap Z) + P(\overline E \cap Z)%%

Setze die Werte ein.

%%0,77=0,45 \cdot x + 0,85 \cdot (1-x)%%

Löse nach %%x%% auf.

%%0,77=0,45 \cdot x -0,85 \cdot x + 0,85%%

%%0,77=-0,4\cdot x + 0,85%%

%%\mid +0,4 \cdot x \mid-0,77%%

%%0,4 \cdot x = 0,08%%

%%\mid :0,4%%

%%x=0,2%%

Damit kannst du die Werte in die Vierfeldertafel einsetzen, indem du in die obigen Formeln das %%x%% einsetzt.

%%P(E \cap Z)=P(E) \cdot P_{E}(Z)=0,45 \cdot 0,2=0,09%%

%%P(\overline E \cap Z)=P(\overline E) \cdot P_{\overline E}(Z)=0,85 \cdot (1-0,2)=0,68%%

Setze nun in die Vierfeldertafel ein.

%%E%%

%%\overline E%%

%%Z%%

%%0,09%%

%%0,68%%

%%0,77%%

%%\overline Z%%

%%0,2%%

%%0,8%%

%%1%%

Nun kann man die restlichen Werte leicht bestimmen:

%%P(E \cap \overline Z)= P(E) - P(E \cap Z) = 0,2 - 0,09 = 0,11%%

%%P(\overline E \cap \overline Z)= P(\overline E) - P(\overline E \cap Z) = 0,8 - 0,68 = 0,12%%

%%P(\overline Z) = 1 - P(Z) = 1 - 0,77 = 0,23%%

Erstelle nun die vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel für das Vorjahr:

%%E%%

%%\overline E%%

%%Z%%

%%0,09%%

%%0,68%%

%%0,77%%

%%\overline Z%%

%%0,11%%

%%0,12%%

%%0,23%%

%%0,2%%

%%0,8%%

%%1%%

Der Umstand, dass sich trotz der Verschlechterung der Zufriedenheitswerte bei den Fahrgästen erster und zweiter Klasse insgesamt eine Verbesserung der Zufriedenheitswerte ergibt, ist also der Tatsache geschuldet, dass sich das Fahrgastverhalten dahingehend geändert hat, dass deutlich mehr Fahrgäste zweiter Klasse fahren als im Vorjahr und dort die Zufriedenheitswerte im Vergleich zur ersten Klasse nur sehr leicht gesunken sind.

In der Serlo-Schule benutzen 81% der Schüler Serlo, um sich auf ihre Mathearbeiten vorzubereiten. 42% der Schüler sind zwischen 15 und 18 Jahre alt und nutzen Serlo. Sie versuchen im Zuge ihrer Tutorenarbeit Schüler im Alter von 12-14 Jahren dazu zu überreden Serlo auch zu nutzen. 11% der Schüler nutzen Serlo nicht und sind zwischen 12 und 14 Jahre alt. Diese Gruppe gilt es zu überzeugen.

Erstelle hierzu eine Vierfeldertafel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Um deine Vierfeldertafel beschriften zu können, musst du zuerst festlegen, wie du alle Ereignisse benennst:
Unter den Schülern gibt es Serlo-Nutzer und Nicht-Serlo-Nutzer. Für diese Lösung ist
SS = Serlo-Nutzer
S\overline{S} = Kein Serlo-Nutzer
Außerdem unterscheiden sich die Schüler durch ihr Alter: Für diese Lösung ist:
J J\ = Der Schüler ist jung, also zwischen zwölf und vierzehn Jahre alt
J\overline{J} = Der Schüler ist älter, also zwischen fünfzehn und achtzehn Jahre alt.
Als Erstes kannst du die VierfelderTafel beschriften:

%%S%%

%%\overline S%%

Gesamt

%%J%%

%%\overline J%%

Gesamt

100%

Nun kannst du Schritt für Schritt die Vierfeldertafel befüllen.
1.Schritt: Lies alle Informationen aus dem Text heraus:

Information aus dem Text

Wahrscheinlichkeit

Unter allen Schülern sind 81% Serlo-Nutzer

%%P(S) = 81\% %%

42 % sind gleichzeitig (!) zwischen 15 und 18 Jahre alt und nutzen Serlo.

%%P \bigl( (\overline{J}) \cap S \bigr) = 42\% %%

11% sind gleichzeitig (!) zwischen 12 und 14 Jahre alt und nutzen Serlo nicht.

%%P \bigl( (\overline{J}) \cap S \bigr) = 11\% %%

2.Schritt: Trage alle bisher bekannten Informationen in die Vierfeldertafel ein.

%%S%%

%%\overline S%%

Gesamt

%%J%%

11%

%%\overline J%%

42%

Gesamt

81%

100%

3. Schritt: Füge alle errechenbare Werte ein.

P(S)=100%P(S)=100%81%=19%P(\overline S) = 100\% - P(S)= 100\% - 81\% = 19\%
P(JS)=81%42%=39%P(J \cap S)= 81\% - 42\% = 39\%

%%S%%

%%\overline S%%

Gesamt

%%J%%

39%

11%

%%\overline J%%

42%

Gesamt

81%

19%

100%

4. Schritt: Füge alle Werte ein, die du jetzt neu berechnen kannst.

P(J)=39%+11%=50%P(J) = 39\% + 11\% = 50\%
P(JS)=19%11%=8%P(\overline J \cap \overline S) =19\% - 11\% = 8\%

%%S%%

%%\overline S%%

Gesamt

%%J%%

39%

11%

50%

%%\overline J%%

42%

8%

Gesamt

81%

19%

100%

5. Schritt: Füge den letzten errechenbaren Wert ein.

P(J)=100%50%=50%P(\overline J )=100\% - 50\% = 50\%

%%S%%

%%\overline S%%

Gesamt

%%J%%

39%

11%

50%

%%\overline J%%

42%

8%

50%

Gesamt

81%

19%

100%

Fertig! :-)

Ein Getränkeautomat ist defekt. Jemand wirft 1 € ein. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er ein Getränk erhält, ist 0,5. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Apparat ein Getränk und den Euro wieder auswirft, ist %%\frac13%%. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er kein Getränk bekommt und den Euro zurückerhält, ist %%\frac16%%.

  1. Gib einen Ergebnisraum an.

  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein Getränk bekommt und es bezahlt hat?

  3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man weder ein Getränk erhält, noch seinen Euro zurückbekommt?

  4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein Getränk bekommt und trotzdem seinen Euro zurückbekommt?

  5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man entweder ein Getränk erhält oder seinen Euro zurückbekommt?

Teilaufgabe 1

Berechne den Ergebnisraum:

Definiere die in der Aufgabe benannten Ereignisse:

G:= "Man erhält ein Getränk"

E:= "Man erhält den Euro wieder zurück"

Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, dafür, was passieren kann:

  • Der Automat gibt ein Getränk und den Euro wieder aus.
  • Der Automat gibt kein Getrank, aber den Euro aus.
  • Der Automat gibt ein Getränk, aber den Euro nicht aus.
  • Der Automat gibt weder das Getränk noch den Euro aus.

In einem Ergebnisraum %%\Omega%% dargestellt ergibt dies: %%\Omega=\left\{\begin{pmatrix}E&G\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}\overline{G}&E\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}G&\overline{E}\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}\overline{G}&\overline{E}\end{pmatrix}\right\}%%

Alternative Lösung:

%%\Omega=\left\{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}\right\}%%  

Eine 1 bzw 0 an erster Stelle bedeutet, dass der Verbraucher das Getränk erhält bzw. nicht erhält.

Eine 1 bzw 0 an zweiter Stelle steht für den Betrag den der Verbraucher zahlen muss.

%%\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}%% bedeutet also z.B., dass der Verbraucher ein Getränk erhält und der Automat den Euro wieder auswirft.

Teilaufgabe 2

Schreibe die Wahrscheinlickeiten aus der Angabe auf:

%%P(G)=\frac12%%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein Getränk erhält.

%%P(G\cap E)=\frac13%%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man das Getränk und auch wieder den Euro bekommt.

%%P(\overline G\cap E)=\frac16%%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man kein Getränk bekommt und den Euro zurückerhält.

Gib die gesuchte Wahrscheinlichkeit an:

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit:

%%P(G\cap\overline E)%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Getränk bekommt und dafür bezahlen muss, man das Geld also nicht wieder zurückbekommt.

Stelle die Vierfeldertafel auf:

%%G%%

%%\overline G%%

%%E%%

%%\frac13%%

%%\frac16%%

%%\overline E%%

%%\frac12%%

%%1%%

Vervollständige die Vierfeldertafel:

%%G%%

%%\overline G%%

%%E%%

%%\frac13%%

%%\frac16%%

%%\frac12%%

%%\overline E%%

%%\frac16%%

%%\frac13%%

%%\frac12%%

%%\frac12%%

%%\frac12%%

%%1%%

Lese die gesuchte Wahrscheinlichkeit ab:

%%P(G\cap\overline E)=\frac16%%

Teilaufgabe 3

Gib die gesuchte Wahrscheinlichkeit an:

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit:

%%P(\overline G\cap\overline E)%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass man kein Getränk bekommt und der Automat den Euro behält.

Betrachte die Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 2 und lese den gesuchten Wert ab.

%%G%%

%%\overline G%%

%%E%%

%%\frac13%%

%%\frac16%%

%%\frac12%%

%%\overline E%%

%%\frac16%%

%%\frac13%%

%%\frac12%%

%%\frac12%%

%%\frac12%%

%%1%%

%%P(\overline G\cap\overline E)=\frac13%%

Teilaufgabe 4

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit:

%%P(G\cap E)%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Getränkt bekommt und den Euro zurückerhält.

Dieses Ergebnis ist bereits in der Angabe enthalten (siehe Teilaufgabe 2):

%%P(G\cap E)=\frac13%%

Teilaufgabe 5

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit:

%%P\left[( G\cap\overline E)\cup ( \overline G\cap E )\right]%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Getränk erhält und dafür gezahlt hat oder kein Getränk erhält und man den Euro wieder bekommt.

Formuliere die Wahrscheinlichkeit um:

%%P\left[( G\cap\overline E)\cup ( \overline G\cap E )\right]=%%

%%=P( G\cap\overline E)+ P( \overline G\cap E )%%

Dies ist so möglich, weil die Mengen %%( G\cap\overline E)%% und %%( \overline G\cap E )%% disjunkt sind.

Betrachte die Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 2 und lese die gesuchten Werte ab.

%%G%%

%%\overline G%%

%%E%%

%%\frac13%%

%%\frac16%%

%%\frac12%%

%%\overline E%%

%%\frac16%%

%%\frac13%%

%%\frac12%%

%%\frac12%%

%%\frac12%%

%%1%%

%%P\left[( G\cap\overline E)\cup ( \overline G\cap E )\right]=P( G\cap\overline E)+ P( \overline G\cap E )=\frac16 + \frac16 = \frac26 = \frac13%%

196 deiner 440 Facebook-Freunde haben ihren Beziehungsstatus nicht angegeben. Da du aber alle persönlich kennst, weißt du, dass insgesamt 288 deiner Facebook-Freunde in einer Beziehung sind. 116 derer, die ihren Beziehungsstatus angegeben haben, sind single.

  1. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Vierfeldertafel, die du mit den Informationen aus dem Text ermitteln kannst.
  • Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.
  • Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand in einer Beziehung ist und dies auch bei Facebook angibt?
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der Single ist, dies auch bei Facebook angibt? (Achtung!)
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