Im Folgenden werden die Einträge der Vierfeldertafel erklärt.
Die Buchstaben A und B bezeichnen dabei zwei Ereignisse (man hätte aber genauso gut andere Buchstaben nehmen können).
A und B stehen für ihre Gegenereignisse.
In diese vier Felder notiert man die absoluten Häufigkeiten der Schnittmengen der Ereignisse
A∩B, A∩B, A∩B, A∩B.
Dabei ist die letzte absolute Häufigkeit in einer Zeile die Summe der anderen beiden. Zum Beispiel H(B)=H(A∩B)+H(A∩B).
Dasselbe gilt für die letzte absolute Häufigkeit einer Spalte. Zum Beispiel H(A)=H(A∩B)+H(A∩B).
Eigenschaften und Rechenregeln
Fall 1: Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Wie man oben bereits gesehen hat, gilt:
Jede Wahrscheinlichkeit in der untersten Zeile ist die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten darüber.
Jede Wahrscheinlichkeit in der letzten Spalte ist die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten links davon.
Die letzte Zeile und die letzte Spalte müssen jeweils in der Summe 1 ergeben.
Fall 2: Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten
Wie man oben bereits gesehen hat, gilt:
Jede absolute Häufigkeit in der untersten Zeile ist die Summe der beiden absoluten Häufigkeiten darüber.
Jede absolute Häufigkeit in der letzten Spalte ist die Summe der beiden absoluten Häufigkeiten links davon.
Die letzte Zeile und die letzte Spalte müssen jeweils in der Summe G ergeben.
Bemerkung: Statt Wahrscheinlichkeiten und absoluten Häufigkeiten kann man auch die Prozentwerte der jeweiligen Ereignisse in eine Vierfeldertafel eintragen. In solchen Fällen kommt nicht mehr 1 oder G als Summe heraus, sondern 100%.
Umgekehrt kann man auch durch die Angabe der bedingten Wahrscheinlichkeit Werte für die Vierfeldertafel berechnen.
Dafür muss die Vierfeldertafel Wahrscheinlichkeiten beinhalten.
P(B)P(A∩B)=PB(A)
P(A∩B)=PB(A)⋅P(B)
Zusammenhang zur Unabhängigkeit von Ereignissen
Will man untersuchen, ob zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, so kann man dies mithilfe einer Vierfeldertafel ganz schnell überprüfen.
Man muss dafür nur folgendes prüfen:
ist P(A∩B)=P(A)⋅P(B) ?
ist P(A∩B)=P(A)⋅P(B) ?
ist P(A∩B)=P(A)⋅P(B) ?
ist P(A∩B)=P(A)⋅P(B) ?
Das hier sind genau die Wahrscheinlichkeiten der inneren vier Felder der Tafel! (daher auch der Name.)
Wenn (mindestens) eine dieser Gleichungen verletzt ist, sind A und Bstochastisch abhängig. Sonst sind sie stochastisch unabhängig.
Beispiele
Aufgabe
Die 16 Jungen und 14 Mädchen einer Schulklasse nehmen an einem Mathematik-Test teil. 13 Jungen bestehen. Insgesamt bestehen 20 Schüler den Test.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Schüler den Test nicht bestanden und ist gleichzeitig ein Mädchen?
Lösung
Die beiden Ereignisse sind
J= "Schüler ist ein Junge" und
B= "Test bestanden"
mit Gegenereignissen J für "nicht Junge" (= Mädchen) und B für "Test nicht bestanden".
Aus dem Text lassen sich die Wahrscheinlichkeiten P(J∩B), P(B), P(J) sowie P(B) bestimmen.
Insgesamt befinden sich 30 SchülerInnen in der Klasse. Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis ist dessen relative Häufigkeit.
Die zugehörige Vierfeldertafel wird nun aufgestellt:
Zuerst fertigt man eine Vierfeldertafel an, beschriftet Zeilen und Spalten und trägt die Wahrscheinlichkeiten aus dem Text ein.
BBJ3013213016J301430201
Um die fehlenden Werte zu bestimmen, benutzt man die Eigenschaften und Rechenregeln von oben.
Den fehlenden Wert in der zweiten Zeile zum Beispiel wird berechnet als: 3020−3013=307
Die Werte in der dritten Zeile ergeben sich dann durch ähnliche Rechnungen.
BBJ3013101158J30730715732311
Daraus lässt sich leicht die Wahrscheinlichkeit P(nicht bestanden und nicht Junge)=P(B∩J)=307 (3. Zeile, 3. Spalte) ermitteln. Diese ist die gesuchte Lösung.