Aufgaben
Wie lange benötigt man, um bei einem von 000 bis 999 einstellbaren Zahlenschloss alle Kombinationen durchzuprobieren, wenn man je Kombination 1s braucht?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Einheiten

Alle Zahlenkombinationen von 000 bis 999 sind genau 1000 Kombinationen.
Multipliziere die 1000 möglichen Kombinationen mit der Zeit von 1s, die für das Ausprobieren einer Kombination benötigt wird.
1000    1s  =  1000s1000\;\cdot\;1s\;=\;1000s
Rechne die Sekunden in Minuten um und runde sinnvoll.
1000s    16,7min1000s\;\approx\;16,7\min
\Rightarrow Man benötigt ungefähr 16,7 Minuten.
Wie viele zweisprachige Wörterbücher benötigt ein Übersetzer für die direkte Übersetzung aus jeder von 5 Sprachen in jede dieser 5 Sprachen? Wie viele zusätzliche Wörterbücher müssten hinzukommen, um in 2 weitere Sprachen übersetzen zu können?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Der Übersetzer benötigt vier Wörterbücher, um von der ersten Sprache in die vier anderen Sprachen zu übersetzen. Um von der zweiten Sprache in die anderen zu übersetzen benötigt er nur noch 3 Bücher, da er zur ersten Sprache ja schon ein Buch besitzt. Bei der dritten Sprache braucht er also nur noch 2 Bücher und bei der vierten ein Wörterbuch. Bei der fünften Sprache benötigt er kein Buch mehr.
4892_aX1HJMKd9j.png
4+3+2+1=104+3+2+1=10
\Rightarrow Er bräuchte 10 Wörterbücher
Für zwei weitere Sprachen funktioniert die Rechnung genauso, außer, dass man bei 6 beginnt.
4891_wE1iFONSVd.png
6+5+4+3+2+1=216+5+4+3+2+1=21
    \;\;\Rightarrow Er bräuchte 2121 Wörterbücher, falls zwei weitere Sprachen hinzukommen. Das heißt in diesem Fall sind 2110=1121-10=11 Wörterbücher mehr notwendig als bei 5 Sprachen.
Eine Schülergruppe von 16 Personen verteilt sich auf 2 Abteile einer U-Bahn. In jedem Abteil gibt es 4 Sitzplätze in Fahrtrichtung und 4 entgegen der Fahrtrichtung. Von den 16 Personen wollen auf alle Fälle 7 in Fahrtrichtung und 5 gegen die Fahrtrichtung sitzen. Wie viele Platzierungsmöglichkeiten gibt es, wenn man die Sitze unterscheidet?
Gegeben: jeweils 8 Sitzplätze in Fahrrichtung bzw. gegen Fahrtrichtung
7 Schüler wollen in Fahrtrichtung sitzen
5 Schüler wollen gegen die Fahrtrichtung sitzen
4 Schülern ist es egal
Es gibt 8 Möglichkeiten die 7 Schüler auf die 8 Plätze in Fahrtrichtung zu verteilen. Diese 7 Schüler können wieder untereinander die Plätze tauschen. Dafür gibt es 7! Möglichkeiten.
Es gibt 4 Schüler, denen es egal ist wo sie sitzen, davon muss ein Schüler auf dem freien Platz in Fahrtrichtung sitzen. Die restlichen 8 Schüler sitzen gegen die Fahrtrichtung. Für deren Anordnung gibt es 8! Möglichkeiten.
87!48!=6502809600\Rightarrow 8\cdot7!\cdot4\cdot8!=6\,502\,809\,600
Sechs Mädchen und vier Jungen sollen in zwei Mannschaften zu fünf Spielern aufgeteilt werden. Auf wie viele Arten geht das, wenn in jeder Mannschaft mindestens ein Junge mitspielen muss? Dabei soll es nur auf die Geschlechterverteilung ankommen, die Jungen und Mädchen werden untereinander nicht unterschieden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Es bietet sich an, die Mädchen mit MM und die Jungen mit JJ zu bezeichnen.

Da in jeder Mannschaft mindestens ein Junge mitspielen soll, sieht die Aufteilung zunächst so aus:
J????vs.J????\displaystyle J???? \qquad \text{vs.} \qquad J????
Nun müssen noch 22 Jungen (JJ) (JJ) und 66 Mädchen (MMMMMM) (MMMMMM) auf die verbleibenden 88 Plätze verteilt werden. Um die Anzahl der Möglichkeiten für die Aufteilung herauszufinden, kannst du alle Möglichkeiten aufschreiben:
1.JMMMMvs.JJJMM2.JJMMMvs.JJMMM\displaystyle \begin{array}{rrcl} 1. &JMMMM &\qquad \text{vs.} \qquad & JJJMM \\ 2. &JJMMM &\qquad \text{vs.} \qquad & JJMMM \\ \end{array}
Das sind schon alle. Denn die Möglichkeit JJJMMvs.JMMMMJJJMM \qquad \text{vs.}\qquad JMMMM ist die selbe wie die erste Möglichkeit, da es ja egal ist, welche Mannschaft links oder rechts steht.

Beachte bei der Aufzählung der Möglichkeiten, dass es nicht auf die Reihenfolge der Jungen und Mädchen ankommt. Das heißt, dass beispielsweise JJMMMJJMMM und JMMJMJMMJM die selbe Mannschaft sind.

Antwort: Es gibt zwei Möglichkeiten.
Von A nach B führen 8 Wege. Von B nach C führen 3 Wege.
Wie viele Wege führen von A nach C über B?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Von A nach B hast du 8 mögliche Wege. Von B nach C hast du 3 mögliche Wege. Das bedeutet, für jeden der 8 Wege von A nach B hast du 3 Möglichkeiten nach C zu kommen.
83=248\cdot3=24
Du hast also 24 Möglichkeiten von A nach C zu gelangen.
Von C nach D führen 9 Wege.
Wie viele Wege führen von A nach D über B und C?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Du hast 24 mögliche Wege von A nach C über B.
Von A nach B hast du 8 mögliche Wege. Von B nach C hast du 3 mögliche Wege. Das bedeutet, für jeden der 8 Wege von A nach B hast du 3 Möglichkeiten nach C zu kommen.
Du hast also 83=248\cdot3=24 Möglichkeiten von A nach C zu gelangen.
Für jeden der 24 Wege von A nach C hast du 9 Möglichkeiten nach D zu kommen.
249=21624\cdot9=216
Du hast also 216 Möglichkeiten von A nach D zu gelangen.
Bei einem Tennisturnier mit 6 Teilnehmern spielt jeder einmal gegen jeden. Wie viele Spiele finden statt?
Stelle einen Term auf, der für eine beliebige Anzahl n von Teilnehmern die Anzahl der Spiele angibt, wenn jeder einmal gegen jeden spielt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Jeder Spieler spielt gegen jeden anderen. Damit macht jeder der sechs Spieler genau 5 Spiele. Da an jedem Spiel aber zwei Spieler teilnehmen, wird jedes Spiel doppelt gezählt. Die Zahl muss also noch halbiert werden:
(65):2=30:2=15\Rightarrow(6\cdot5):2=30:2=15 Spiele.
Insgesamt werden 15 Spiele gespielt.
Die allgemeine Formel lässt sich analog bestimmen. Es gibt nn Spieler, die jeweils n1n-1 Spiele bestreiten. Das sind insgesamt n(n1)n\cdot(n-1) Spiele. Diese Zahl muss noch halbiert werden, da jedes Spiel zweimal gezählt wird:
S=n(n1):2\Rightarrow S = n\cdot(n-1):2
Die allgemeine Formel lautet: Anzahl der Spiele     S=n(n1):2\; \; S = n\cdot(n-1):2
Auf wie viele Arten kann man 2 Buchstaben aus dem Wort "COMPUTER" auswählen, wenn
keine Einschränkung gilt

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Bei dieser Aufgabe spielt die Reihenfolge der ausgewählten Buchstaben eine Rolle und ein Buchstabe kann nur einmal gewählt werden. Benutze deshalb das Modell "mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen" aus der Kombinatorik.
8!(82)!=87=56\displaystyle\frac{8!}{(8-2)!}=8\cdot 7=56
beide Buchstaben Konsonanten sein müssen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Benutze das Modell "mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen" aus der Kombinatorik, da die Reihenfolge der Buchstaben beachtet wird, jeder aber nur einmal ausgewählt werden kann. Da nur Konsonanten ausgewählt werden kann ist n in diesem Fall gleich der Anzahl, also 5.
Damit ergibt sich diese Formel:
5!(52)!=54=20\displaystyle \frac{5!}{(5-2)!}=5\cdot4=20
beide Buchstaben Vokale sein müssen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Benutze das Modell "mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen" aus der Kombinatorik, da die Reihenfolge der Buchstaben beachtet wird, jeder aber nur einmal ausgewählt werden kann. Da nur Vokale ausgewählt werden kann ist n in diesem Fall gleich der Anzahl, also 3.
Damit ergibt sich diese Formel:
3!(32)!=32=6\displaystyle \frac{3!}{(3-2)!}=3\cdot2=6
ein Buchstabe ein Vokal und der andere ein Konsonant sein muss?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Das Ergebnis setzt sich aus zwei Fällen zusammen. Erstens, dass zuerst ein Vokal und dann ein Konsonant gezogen wird, und Zweitens, dass erst ein Konsonant gezogen wird. Die Möglichkeiten genau einen der Buchstaben auszuwählen ist dabei jeweils gleich der Anzahl dieser Buchstaben. Im ersten Fall gibt es damit 535\cdot3 Möglichkeiten. Damit ergibt sich die Gesamtzahl:
(35)+(53)=15+15=30(3\cdot5)+(5\cdot 3)=15+15=30
Das Produkt von allen Ziffern von Stefans vierstelliger Handy-PIN ist 2121. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für Stefans PIN? Gib sie alle an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Indem wir die Primfaktorzerlegung von 2121 bestimmen, wissen wir, welche Ziffern in Stefans Handy-PIN vorkommen. Die Primfaktorzerlegung von 2121 ist:
21=73\displaystyle 21=7\cdot3
Das bedeutet, dass in der PIN die Ziffern 77 und 33, jeweils einmal vorkommen müssen. Es fehlen noch zwei Ziffern. Diese müssen eine 11 sein, da eine Multiplikation mit 11 das Produkt nicht verändert. Die Ziffer der PIN sind also 11, 11, 33, und 77_{ }.
Wähle zuerst die Stellen aus, an denen die 1er stehen. Das heißt, wir wählen aus den vier Stellen zwei aus, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt (schließlich sind beide Ziffer eine 11 und nicht voneinander unterscheidbar). Dies sind (42)\binom 42 Möglichkeiten.
Nachdem wir die Anzahl der Stellen für die beiden 1er gefunden haben, müssen wir noch die beiden Ziffer 33 und 77 auf die restlichen zwei Stellen verteilt werden. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten.
Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist:
(42)2=12\displaystyle \binom{4}{2}\cdot2=12
Die zwölf Möglichkeiten sind: 11731173, 11371137, 13711371, 17311731, 17131713, 13171317, 71137113, 31173117, 71317131, 31713171, 37113711, 73117311
Beas und Kais Handy-PINs sind verschieden, bestehen aber aus den gleichen Ziffern 5, 7, 3 und 9. Wie groß muss ihre Differenz mindestens sein?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Sie unterscheiden sich um mindestens 18, z. B. 3597 ? 3579.
Nehmen wir an, wir wollen 2 Ziffern a\textcolor{blue}{a} und b\textcolor{red}{b} vertauschen, die in Positionen AA und BB stehen, z.B.:
X=5  a  3  bY=5  b  3  a\begin{aligned} X = 5\;\textcolor{blue}{a}\;3\;\textcolor{red}{b}\\ Y = 5\;\textcolor{red}{b}\;3\;\textcolor{blue}{a}\\ \end{aligned}
mit A=3,B=1A = 3, B = 1. Die Ersetzung ab\textcolor{blue}{a} \to \textcolor{red}{b} erhöht die Zahl um
(ba)10A1(\textcolor{red}{b} - \textcolor{blue}{a})\cdot 10^{A-1}
Die Ersetzung ba \textcolor{red}{b} \to \textcolor{blue}{a} erhöht die Zahl wiederum um
(ab)10B1(\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) \cdot 10^{B-1}
wobein auch "negative Erhöhungen" (= Verringerungen) möglich sind. Insgesamt erhöht sich die Zahl damit um
YX=(ba)(10A110B1)Y-X =(\textcolor{red}{b} - \textcolor{blue}{a}) \cdot (10^{A-1} - 10^{B-1})
Der Betrag dieser Differenz wird möglichst klein, wenn sowohl b\textcolor{red}{b} und a\textcolor{blue}{a}, als auch 10A110^{A-1} und 10B110^{B-1} möglichst nahe beieinander liegen. Im Fall der 4-stelligen Pin aus den Ziffern 3,5,7,9 ist die Wahl A=2,B=1A=2,B=1 (die letzten beiden Ziffern werden vertauscht) sowie (ba)=2 (\textcolor{red}{b}-\textcolor{blue}{a}) = 2 optimal, z.B.
X=3597Y=3579\begin{aligned} X=3597\\ Y=3579\\ \end{aligned}
YX=(2)(10211011)=29=18\Rightarrow Y - X = (2)\cdot(10^{2-1}-10^{1-1}) = 2 \cdot 9 = 18
Die minimale Differenz zwischen 2 PINs ist demnach 18.
Chris will alle fünfstelligen Zahlen addieren, die jede der Ziffern 1, 3, 5, 7, und 9 genau einmal enthalten. Wie viele solcher Summanden gibt es und welchen Wert hat die Summe?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Frage 1: Anzahl der Summanden

Es gibt 5!=54321=1205! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120 Summanden.

Frage 2: Wert der Summe

Jeder Summand hat 5 Stellen, die jeweils mit unterschiedlichem Wert in die Summe eingehen:
  • Die erste Stelle (von vorne) ist die Zehntausenderstelle: Sie geht mit dem Wert 1000010\,000 in die Summe ein.
  • Die zweite Stelle ist die Tausenderstelle: Sie geht mit dem Wert 10001000 in die Summe ein.
  • Die dritte Stelle ist die Hunderterstelle: Sie geht mit dem Wert 100100 in die Summe ein.
  • Die vierte Stelle ist die Zehnerstelle: Sie geht mit dem Wert 1010 in die Summe ein.
  • Die fünfte Stelle ist die Einerstelle: Sie geht mit dem Wert 11 in die Summe ein.
Setzt du eine beliebige Zahl an die Einerstelle, können die restlichen 4 Zahlen noch auf die vorigen Stellen verteilt werden, also gibt es insgesamt 4321=244\cdot3\cdot2\cdot1=24 Zahlen mit dieser Zahl an der Einerstelle.
Die Summe der Einerstellen aller Summanden beträgt somit 24(1+3+5+7+9)=2425=60024\cdot\left(1+3+5+7+9\right)=24\cdot25=600.
An jeder anderen Stelle ergibt sich analog 600. Damit ergibt sich die Gesamtsumme aller Summanden als:
6001+60010+600100+6001000+60010000=600\cdot1+600\cdot10+600\cdot100+600\cdot1000+600\cdot10000=
=60011111==600\cdot11111=
=6666600=6666600
Ein Delegation von 20 Parlamentariern soll aus 2 Parteien zusammengesetzt werden. Die Grüne hat 16 Fachleute, die Rote 10 Fachleute anzubieten. Aufgrund der Mehrheitsverhältnisse kann die Grüne 14 und die Rote 6 Sitze im Ausschuss beanspruchen. Wie viele verschiedene Zusammensetzungen sind möglich, wenn
keine weiteren Bedingungen gemacht werden

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Möglichkeiten Abgeordnete auf den jeweiligen Sitzen zu verteilen, ohne dabei die Reihenfolge zu berücksichtigen:

Bei Sitz 1 hat man die Wahl aus 16 Abgeordneten, bei Sitz 2 15 usw…
Anzahl der Möglichkeiten bei den Grünen =16151413121110987654314!=120=\frac{16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3}{14!}=120
(Durch 14! wird geteilt, weil die Reihenfolge der Abgeordneten nicht relevant ist.)
Bei Sitz 1 hat man die Wahl aus 10 Abgeordneten, bei Sitz 2 hat man 9 usw….
Anzahl der Möglichkeiten bei den Roten =10987656!=210=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5}{6!}=210
(Durch 6! wird geteilt, weil die Reihenfolge der Abgeordneten nicht relevant ist.)
Anzahl der Möglichkeiten insgesamt =120210=25200=120\cdot210=25200
Es gibt also 25200 Möglichkeiten.

Alternative Berechnung

Es gibt 14 Plätze für die BPF und 6 Sitze für die CSD.
Also 14 aus 16 und 6 aus 10 Möglichkeiten.
(1614)16\choose 14 und (106)10\choose6
Berechne nun die Binomialkoeffizienten mit dem Taschenrechner und multipliziere sie miteinander.
(1614)(106)=120210=25200{16\choose 14}\cdot{10\choose 6}=120\cdot 210=25200
ein bestimmtes Mitglied der Grünen auf alle Fälle im Ausschuss sitzen soll

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Ein Mitglied der Grünen ist sicher dabei. Die anderen 13 Fachleute können noch frei gewählt werden. Für die Roten gibt es keine Einschränkung.
Also 1 fester Parlamentarier und 13 aus den anderen 15, sowie 6 aus den 10 der Roten.
1 und (1513)15\choose13 sowie (106)10\choose6
Berechne nun die Binomialkoeffizienten mit dem Taschenrechner und multipliziere sie miteinander.
1(1513)(106)=1105210=220501\cdot{15\choose13}\cdot{10\choose6}=1\cdot 105 \cdot 210=22050
Es gibt 22050 Möglichkeiten die Delegation aufzustellen.
3 bestimmte Kandidaten der Grünen von den Roten grundsätzlich abgeleht werden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Das ist nicht möglich!
Wenn nämlich drei Parlamentarier der Grünen grundsäztlich abgelehnt werden, dann hätten die Roten nur noch 163=1316-3=13 Möglichkeiten die 14 Sitze zu besetzen.Die Roten müssten also einlenken oder die Grünen noch einen weiteren Kandidaten aufstellen.
An einen runden Tisch setzten sich 7 Personen. Wie viele Möglichkeiten gibts es diese anzuordnen (zwei Anordnungen sind gleich, wenn jede Person in beiden Anordnungen dieselben Nachbarn hat)?
keine weitere Bedingung gestellt wird

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Da nur die Anordnung entscheidend ist, hast du eine Möglichkeit die erste Person zu platzieren. Dann gibt es 6! Möglichkeiten die übrigen Personen auf die restlichen Plätze zu setzen. Außerdem ist jede gespiegelte Anordnung gleich.

Es ergibt sich also folgende Rechnung:

1Fu¨r die erste Person6!2Fu¨r die restlichen Personen=6543=360\displaystyle \underbrace{1}_{\text{Für die erste Person}} \cdot \overbrace{ \frac{6!}{2}}^{\text{Für die restlichen Personen}}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360
Es gibt also 360 verschiedene Möglichkeiten die Personen anzuordnen.
2 bestimmte Personen auf alle Fälle nebeneinander sitzen wollen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Betrachte zunächst die beiden Personen, die nebeneinander sitzen sollen, als Einheit. Da nur die Anordnung entscheidend ist, hast du eine Möglichkeit diese Einheit zu platzieren. Dann gibt es 5! Möglichkeiten die übrigen Personen auf die restlichen Plätze zu setzen. Außerdem ist jede gespiegelte Anordnung gleich. Innerhalb der Einheit hast du 2 Möglichkeiten bzgl. der Anordnung.

Es ergibt sich folgende Rechnung:
2Einheit5!2Fu¨r die restlichen Personen=21202=120\displaystyle\underbrace{2}_{\text{Einheit}}\cdot\overbrace{\frac{5!}{2}}^{\text{Für die restlichen Personen}} =2\cdot\frac{120}{2}=120
Es gibt also 120 verschiedene Möglichkeiten die Personen anzuordnen, sodass 2 bestimmte Personen nebeneinander sitzen.
4 bestimmte Personen auf alle Fälle beliebig nebeneinander sitzen wollen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Betrachte die vier Personen, die nebeneinander sitzen sollen, als Einheit. Da nur die Anordnung entscheidend ist, hast du eine Möglichkeit dieseEinheit zu platzieren.

Dann gibt es 3! Möglichkeiten die übrigen Personen auf die restlichen Plätze zu setzen. Außerdem ist jede gespiegelte Anordnung gleich. Innerhalb der Einheit hast du 4 Möglichkeiten bzgl. der Anordnung.

Es ergibt sich folgende Rechnung:

4!Einheit3!2Fu¨r die restlichen Personen=2462=72\displaystyle \underbrace{4!}_{\text{Einheit}} \cdot \overbrace{\frac{3!}{2}}^{\text{Für die restlichen Personen}}= 24 \cdot \frac{6}{2} =72
Es gibt also 72 verschiedene Möglichkeiten die Personen anzuordnen, sodass 4 bestimmte Personen nebeneinander sitzen.
eine bestimmte Person auf alle Fälle jedesmal zwei bestimmte Personen als Nachbarn haben will?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Betrachte die Person und die zwei Nachbarn als Einheit. Da nur die Anordnung entscheidend ist, hast du eine Möglichkeit diese Einheit zu platzieren.

Dann gibt es 4! Möglichkeiten die übrigen Personen auf die restlichen Plätze zu setzen. Außerdem ist jede gespiegelte Anordnung gleich. Innerhalb der Einheit hast du 2 Möglichkeiten der Anordnung.

Es ergibt sich folgende Rechnung:
2Einheit4!2Fu¨r die restlichen Personen=24\displaystyle \underbrace{2}_{\text{Einheit}} \cdot \overbrace{\frac{4!}{2}}^{\text{Für die restlichen Personen}}= 24
Es gibt also 24 verschieden Möglichkeiten die Personen anzuordnen, sodass eine bestimmte Person zwei bestimmte Nachbarn hat.
Auf wie viele Arten kann man einen 50-Euro-Schein in andere Euro-Scheine wechseln?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Gesucht sind alle Kombinationen aus 5-, 10-, 20-Euroscheinen, deren Summe 50 ist. Am besten gehst du strukturiert alle Möglichkeiten durch (nach und nach größere durch kleinere Scheine ersetzen):
  • 20+20+1020+20+10
  • 20+20+5+520+20+5+5
  • 20+10+10+1020+10+10+10
  • 20+10+10+5+520+10+10+5+5
  • 20+10+5+5+5+520+10+5+5+5+5
  • 20+5+5+5+5+5+520+5+5+5+5+5+5
  • 10+10+10+10+1010+10+10+10+10
  • 10+10+10+10+5+510+10+10+10+5+5
  • 10+10+10+5+5+5+510+10+10+5+5+5+5
  • 10+10+5+5+5+5+5+510+10+5+5+5+5+5+5
  • 10+5+5+5+5+5+5+5+510+5+5+5+5+5+5+5+5
  • 5+5+5+5+5+5+5+5+5+55+5+5+5+5+5+5+5+5+5
Es gibt also 12 Möglichkeiten einen 50-Euroschein zu wechseln.
Obenstehende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Stadtplans von New York. Auf wie vielen verschiedenen Wegen (man darf nur nach Osten oder Süden bzw. Südosten gehen) kann man von der Ecke Eighth Avenue – 59. Straße zur Ecke Madison Avenue – 23. Straße gelangen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pascalsches Dreieck

In dieser Lösung wird eine Abwandlung des Pascalsches Dreiecks verwendet.
Jeder Kreis entspricht einer Straßenkreuzung. Die Zahl im Kreis entspricht der Anzahl der Möglichkeiten zu diesem Kreis zu gelangen.
Es gibt jeweils nur eine Möglichkeit zu den ersten beiden Kreuzungen zu gelangen. Die Anzahl der Möglichkeiten zu den nächsten Kreuzungen ist gleich der Summe der Möglichkeiten zu den zwei oder drei vorherigen Kreuzungen zu gelangen.
Arbeite dich so von Kreuzung zu Kreuzung vor. So kommst du zu dem Ergebnis 141.
Auf wie vielen verschiedenen Wegen (man darf alle Straßen in Pfeilrichtung befahren) gelangt man von A nach B?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pascalsches Dreieck

In der Lösung wird eine Abwandlung des Pascalschen Dreiecks verwendet.
In den Kreisen stehen jeweils die Anzahl der Möglichkeiten zu dieser Kreuzung zu gelangen.
Zu den ersten beiden Kreuzungen gibt es jeweils nur eine Möglichkeit. Die folgenden Möglichkeiten setzen sich zusammen aus der Summe der Möglichkeiten zu den vorherigen Kreuzungen zu gelangen.

Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Stadtplans von New York.

  1. Auf wie vielen verschiedenen kürzesten Wegen (man darf nur nach Osten oder Süden fahren) kann ein Taxi von A nach B gelangen?

  2. Wie viele verschiedene Wege sind für das Taxi noch möglich, wenn die 79. Straße zwischen Second Avenue und Third Avenue gesperrt ist?

  3. Welcher Straßenabschnitt muss gesperrt werden, damit es für das Taxi möglichst wenig Möglichkeiten gibt, von A nach B zu gelangen? Für welche Sperrung gibt es für das Taxi noch möglichst viele Wege?

Teilaufgabe a

 

Durch eine Abwandlung des Pascalschen Dreiecks erhalten wir nebenstehende Abbildung. Kreise entsprechen Kreuzungen, die Zahl in den Kreisen entsprechen der Anzahl der Möglichkeiten zu den jeweiligen Kreuzungen zu gelangen.

Es gibt nur jeweils eine Möglichkeit zu den ersten beiden Kreuzungen zu gelangen. Die Anzahl der Möglichkeiten zu den nächsten zu gelangen ergibt sich aus der Summe der Möglichkeiten zu den jeweils vorherigen Kreuzungen zu gelangen.

So gelangt man Schrittweise von einer Kreuzung zur nächsten.

Teilaufgabe b

 

Benutze wieder die vorherige Abbildung und verfahre genauso wie oben, nur ohne die genannte Straße zu beachten.

Teilaufgabe c

 

Möglichst wenige:

Möglichst viele:

In einer Gummibärentüte sind 27 gelbe, 18 weiße, 33 grüne und 25 rote Bärchen. Die "Naschkatze" Lisa lässt sich gerne überraschen und nimmt daher blind immer ein Bärchen aus der Tüte.
  1. Wie oft muss sie mindestens in die Tüte greifen, um sicher einen grünen Bären zu erhalten?
  2. Wie viele Gummibären muss sie höchstens herausnehmen, damit sie von jeder Farbe mindestens ein Bärchen bekommt?
  3. Nach wie vielen Ziehungen hat sie sicher mindestens 3 Bärchen einer bestimmten Farbe?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Teilaufgabe 1

Lisa zieht erst garantiert (also zu 100%, siehe Wahrscheinlichkeit) ein grünes Gummibärchen, wenn keine andersfarbigen Bärchen mehr in der Tüte sind. Summiere also die Anzahl der andersfarbigen Bärchen.
=27+18+25=70=27+18+25=70
Nach 70 Ziehungen sind also nur noch grüne Bärchen in der Tüte, das bedeutet beim 71. Hineingreifen zieht Lisa garantiert eingrünes Bärchen.

Teilaufgabe 2

Im ungünstigsten Fall bleiben nur noch alle Bärchen einer Farbe übrig. Lisa zieht also eine bestimmte Farbe erst garantiert, wenn alle andersfarbigen Bärchen bereits gezogen wurden. Die Tabelle gibt an, wieviele Ziehungen nötig sind bis eine Farbe übrig bleibt.
Farbenotwendige Ziehungengelb18+33+25=76weiß27+33+25=85gru¨n27+18+25=70rot27+18+33=78\begin{array}{l| c }\text{Farbe} & \text{notwendige Ziehungen}\\\hline \text{gelb} & 18+33+25=76 \\\hline \text{weiß} & 27+33+25=85 \\\hline \text{grün} & 27+18+25=70 \\\hline \text{rot} & 27+18+33=78 \\\end{array}
Also zieht Lisa erst nach 85 Ziehungen garantiert ein weißes Bärchen, sie muss somit mindestens 86 mal ziehen um garantiert ein Bärchen jeder Farbe zu bekommen.

Teilaufgabe 3

Im ungünstigsten Fall zieht Lisa jede Farbe zunächst genau zwei mal.Dann hat sie nach 8 Ziehungen genau 2 Bären von jeder Farbe. Bei der neunten Ziehung muss sie dann das dritte Bärchen einer Farbe ziehen.

Die Freundinnen Anna, Kathrin, Johanna und Vreni gehen zum Fotografen. Jede hat drei Hüte und zwei Sonnenbrillen dabei.

  1. Der Fotograf stellt die vier Mädchen nebeneinander auf, jede der jungen Damen setzt dabei einen ihrer Hüte und eine ihrer Brillen auf. Wie viele verschiedene Bilder der Freundinnen könnten aufgenommen werden?

  2. Auf dem Heimweg führen die Mädchen folgendes Gespräch:
    Anna: "Wenn wir nicht nur unsere eigenen Hüte und Brillen aufgesetzt hätten, sondern auch getauscht hätten, wie viele verschiedene Aufnahmen hätten wir dann wohl machen können?"
    Katrin: "Zuerst müssen wir uns überlegen, auf wie viele Arten wir die zwölf Hüte aufsetzen können."
    Johanna: "Ich nehme mir als Erste einen Hut und habe somit zwölf Möglichkeiten."
    Vreni: "Dann nehme ich als nächste einen Hut und habe damit noch elf zur Auswahl. Ha, jetzt weiß ich, wie ich weiterrechnen muss. Und mit den Brillen gehts genauso. Ui, das gibt eine riesige Zahl von Möglichkeiten." Wie viele Möglichkeiten gibt es?

  3. Anna: "Wie lange würden wir wohl brauchen, all' diese Fotos zu machen?" Nimm an, dass ein Foto in 10 Sekunden aufgenommen werden kann. Runde dein Ergebnis auf ganze Jahre.

Teilaufgabe 1

 

Geg.: 4 Mädchen

4 Positionen

jeweils 3 Hüte

jeweils 2 Sonnenbrillen

Jedes Mädchen hat die Auswahl zwischen 3 Hüten und 2 Sonnenbrillen. Bestimme die Möglichkeiten der Auswahl von Hüten und Sonnenbrillen für jedes Mädchen und nehme das Ergebnis hoch 4 (da es vier Mädchen gibt).

Möglichkeiten für jedes einzelne Mädchen:

%%3\cdot2=6%%

Gesamtmöglichkeiten:

%%6^4=1296%%

Betrachte nun die unterschiedlichen Aufstellungen der Mädchen: Auf der 1. Position kann noch jedes Mädchen stehen. Auf der 2. nur noch 3, da eine der Mädchen ja schon auf der 1. Position steht. Auf der 3. können nur noch 2 stehen und auf der 4. Position nur 1 Mädchen.

%%4\cdot3\cdot2\cdot1=4!=24%%

Die Gesamtzahl der möglichen Aufnahmen ergibt sich damit als Produkt aus Möglichkeiten der Auswahl von Sonnenbrillen bzw. Hüten und Aufstellungen.

%%1296\cdot24=31104%%

 

Teilaufgabe 2

 

Geg.:4 Mädchen

4 Positionen

12 Hüte

8 Sonnenbrillen

Betrachte zunächst die Möglichkeiten der 4 Mädchen die 12 Hüte in verschiedenen Zusammenstellungen aufzusetzen. Das 1. Mädchen kann noch zwischen 12 Hüten auswählen. Das 2. nur noch zwischen 11, weil einer ja schon vom 1. Mädchen getragen wird. Das 3. Mädchen hat noch 10 Auswahlmöglichkeiten, das 4. noch 9 Möglichkeiten.

%%12\cdot11\cdot10\cdot9=11880%%

betrachte nun die Möglichkeiten der 4 Mädchen die 8 Sonnenbrillen in verschiedenen Zusammenstellungen aufzusetzen. Das 1. Mädchen kann noch zwischen 8 Sonnenbrillen auswählen. Das 2. nur noch zwischen 7, weil ja eine Sonnenbrille schon vom 1. Mädchen getragen wird. Das 3. Mädchen hat noch 6 Auswahlmöglichkeiten, das 4. noch 5.

%%8\cdot7\cdot6\cdot5=1680%%

Für die verschiedenen Positionen der Mädchen ist das Ergebnis %%4!%% wie bei Teilaufgabe 1.

%%4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24%%

Multipliziere die jeweiligen Möglichkeiten:

%%\underbrace{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}_{\mathrm{Hüte}}\cdot\underbrace{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}_{\mathrm{Brillen}}\cdot \underbrace{4!}_{\mathrm{Anordnungen}}=%%

%%=12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=12!=479.001.600%%

Teilaufgabe 3

Es gilt nach Annahme: Für ein Foto werden 10 Sekunden gebraucht.

%%12!\;\cdot\;10\;sek=4.790.016.000\;sek%%

1 Minute hat 60 Sekunden.

in Minuten:

%%4.790.016.000\;:\;60=\;79.833.600%%

1 Stunde hat 60min.

in Stunden:

%%79.833.600\;:\;60=\;1.330.560%%

1 Tag hat 24 Stunden.

in Tagen: 

%%1.330.560\;:\;24\;=55.440%%

1 Jahr hat 365 Tage

in Jahren: 

%%55.440\;:\;365\;\approx\;151,89%%

D.h. dies würde ungefähr 152 Jahre dauern.

Es stehen zehn Spielsteine zur Verfügung, die mit den Ziffern von 0 bis 9 bedruckt sind:

 

                              %%\boxed{\;0\;}\;\boxed{\;1\;}\;\boxed{\;2\;}\;\boxed{\;3\;}\;\boxed{\;4\;}\;\boxed{\;5\;}\;\boxed{\;6\;}\;\boxed{\;7\;}\;\boxed{\;8\;}\;\boxed{\;9\;}%%

  1. Wie viele verschiedene zweistellige Zahlen kann man mit den Steinen legen?

  2. Berechne, wie viele dreistellige, vierstellige, fünfstellige, sechsstellige, siebenstellige, achtstellige, neunstellige und zehnstellige Zahlen man mit den Spielsteinen legen kann.

Teilaufgabe 1

Für die Zehnerstelle ist die 0 nicht von Bedeutung, d.h. du hast hier 9 Möglichkeiten. An der Einerstelle hast du nun eine Zahl weniger, jedoch kann hier die 0 wieder stehen, also wieder 9 Möglichkeiten %%(10-1-1+1)%%.

%%9\cdot 9=81%%

Es gibt also 81 verschiedene Zweistellige Ziffern, die jede Zahl nur einmal verwenden.

Alternativer Lösungsweg

Es gibt insgesamt 90 verschiedene zweistellige Ziffern, %%10,11,12,…,97,98,99%%. Nun musst du diejenigen abziehen, die eine Zahl doppelt verwenden, also %%11,22,33,44,55,66,77,88,99%%. Dies sind 9, also ist die Lösung 81.


Teilaufgabe 2

Nachdem du bereits zwei Steine verwendet hast (81 Möglichkeiten), hast du noch 8 Steine für die Hunderterstelle, 7 für die Tausenderstelle usw.

%%\begin{array}{c|c} \text{Anzahl Zahlen} & \text{Anzahl Ziffern}\\ \hline9\cdot9\cdot8&\text{dreistellig}\\ \hline9^2\cdot8\cdot7&\text{vierstellig}\\ \hline9^2\cdot8\cdot7\cdot6&\text{fünfstellig}\\\hline\vdots&\vdots\\ \hline 9^2\cdot8! & \text{zehnstellig} \end{array}%%

Wie viele Diagonalen hat jedes regelmäßige Sechseck?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Jede der 6 Ecken des Sechsecks hat genau eine Verbindungsgerade zu den übrigen 5 Ecken. Nur 3 davon sind allerdings Diagonalen. Insgesamt gibt es also
63=186\cdot3=18
Anknüpfungspunkte von Diagonalen an einer Ecke. Jede Diagonale ist an 2 Ecken angeknüpft und verursacht somit 2 von den 18 Anknüpfungen. Um die Zahl an Diagonalen zu erhalten müssen wir also die Zahl an Anknüpfungen durch 2 teilen:
18÷2=918\div2=9
Ein regelmäßiges Sechseck hat demnach 9 Diagonalen.

Auf der Speisekarte eines Restaurants werden als Vorspeisen ein Salat nach Art des Hauses und eine Gemüsesuppe angeboten. Als Hauptgerichte gibt es Schweinebraten, eine Pilzpfanne oder Wiener Schnitzel zur Auswahl.

  1. Wie viele verschiedene zweigängige Speisenfolgen lassen sich daraus zusammenstellen?

  2. Wie viele dreigängige Speisenfolgen lassen sich zusammenstellen, wenn zusätzlich noch 2 Nachspeisen angeboten werden?

  3. Insgesamt gibt es 60 Möglichkeiten, ein dreigängiges Menü und ein Erfrischungsgetränk aus der Karte auszuwählen. Wie viele Erfrischungsge­tränke stehen demnach auf der Karte?

 Teilaufgabe 1

Gegeben ist die Anzahl der Vorspeisen (2) und Hauptspeisen (3).

Für alle Möglichkeiten der zweigängigen Speisefolgen multipliziere die Anzahl der Vorspeisen mit der Anzahl der Hauptspeisen.

%%2\cdot3=6%%

%%\Rightarrow\;%% Es gibt 6 verschiedene Möglichkeiten für ein zweigängiges Menü.

Teilaufgabe 2

Dazu kommen noch 2 Nachspeisen.

Für die Möglichkeiten eines dreigängiges Menü multipliziere die Anzahl der Vorspeisen (2) und Hauptspeisen (3) mit der der Nachspeisen (2).

%%2\cdot3\cdot2=12%%

%%\Rightarrow\;%% Es gibt 12 verschiedene dreigängige Menüzusammensetzungen.

Teilaufgabe 3

Wenn zusätzlich noch Getränke angeboten werden, gibt es 60 verschiedene Möglichkeiten für dreigängige Menüs.

Für die Anzahl der angebotenen Getränke dividiere die Möglichkeiten für das dreigängige Menü mit Getränk durch die Anzahl der Möglichkeiten für ein dreigängiges Menü ohne Getränk.

%%\frac{60}{2\cdot3\cdot2}=\frac{60}{12}=5%%

%%\Rightarrow\;%% Es gibt 5 Getränke auf der Speisekarte.

Die Fußballvereine aus Vilsbiburg, Seyboldsdorf, Frontenhausen und Geisenhausen tragen ein Turnier aus, bei dem jeder Verein gegen jeden anderen Verein genau einmal spielt. Jeder Verein erhält für einen Sieg drei Punkte, für ein Unentschieden einen Punkt und für eine Niederlage keinen Punkt.

  1. Wie viele Punkte können bei den sechs Spielen des Turniers insgesamt vergeben werden?

  2. Bei dem Turnier erhielt Vilsbiburg sieben Punkte, Seyboldsdorf fünf Punkte, Frontenhausen drei Punkte und Geisenhausen einen Punkt. Wie endeten die einzelnen Spiele (nur Sieg bzw. Unentschieden)?

Teilaufgabe 1

Insgesamt gibt es vier Mannschaften. Jede Mannschaft soll gegen jede andere Mannschaft spielen, d.h. jede Mannschaft macht 3 Spiele. Da es vier Mannchaften gibt, ergeben sich %%4\cdot 3=12%% Spiele. Da jedoch in jedem Spiel 2 Mannschaften aufeinander treffen, wurden bei dieser Rechnung die Spiele doppelt gezählt, d.h. insgesamt gibt es %%\frac{12}{2}=6%% Spiele.

Alternative Berechnung 1

Es gibt 4 Mannschaften. Gib ihnen Nummern von 1 bis 4.

Mannschaft 1 spielt gegen Mannschaften 2-4, hat also 3 Spiele.

Mannschaft 2 muss nurnoch gegen Mannschaften 3 und 4 spielen, da sie ja bereits gegen Mannschaft 1 gespielt hat. Das ergibt zwei zusätzliche Spiele.

Mannschaft 3 muss also nurnoch gegen Mannschaft 4 spielen. %%\Rightarrow%% Ein zusätzliches spiel.

Mannschaft 4 hat jetzt schon gegen die drei anderen Mannschaften gespielt. %%\Rightarrow%% kein weiteres spiel.

%%\Rightarrow 3+2+1=6%% Spiele

Alternative Berechnung 2

Ziehe zwei Nummern aus einer Urne mit vier Nummern, ohne zurückzulegen und ohne die Reihenfolge zu beachten. Aus der Tabelle in Kombinatorik ergibt sich folgende Rechnung:

%%\displaystyle\binom{4}{2}=6%%

Um die Gesamtpunktevergabe angeben zu können, muss betrachtet werden, wie viele der Spiele unentschieden ausgehen. Beachte, dass bei einem Sieg 3 Punkte (für die Siegermannschaft) und bei einem Unentschieden 2 Punkte (je einen für jede Mannschaft) vergeben werden.

Unentschieden

0

1

2

3

4

5

6

Punkte

%%6\cdot 3+0\cdot2 = 18%%

%%5\cdot 3+1\cdot2 = 17%%

%%4\cdot 3+2\cdot2 = 16%%

%%3\cdot 3+3\cdot2 = 15%%

%%2\cdot 3+4\cdot2 = 14%%

%%1\cdot 3+5\cdot2 = 13%%

%%0\cdot 3+6\cdot2 = 12%%

Teilaufgabe 2

Schreibe die Angabe in eine Tabelle:

Verein

Punkte

Vilsbiburg

7 Punkte

Seyboldsdorf

5 Punkte

Frontenhausen

3 Punkte

Geisenhausen

1 Punkte

Mache folgende Überlegung: Vilsbiburg hat 7 Punkte, d.h. 2 mal gewonnen und 1 mal unentschieden gespielt. Seyboldsdorf hat 5 Punkte, d.h. 1 mal gewonnen und 2 mal unentschieden gespielt.

Da also weder Vilsbiburg, noch Seyboldsdorf verloren haben, müssen sie gegeneinander unentschieden gespielt haben!

Damit folgt, dass Vilsbiburg die anderen Spiele gegen Frontenhausen und Geisenhausen gewonnen hat.

Da Frontenhausen nun bereits gegen Vilsbiburg verloren hat, muss es seine 3 Punkte durch einen Sieg erreicht haben (und nicht durch 3 Unentschieden).

Da Seyboldsdorf und Vilsbiburg kein Spiel verloren haben, muss Frontenhausen gegen Geisenhausen gewonnen haben.

Damit hat Seyboldsdof gegen Frontenhausen gewonnen.

Es verbleibt noch ein Unentscheiden zwischen Geisenhausen und Seyboldsdorf (da Geisenhausen 1 Punkt hat).

Das Ergebnis ist noch einmal in der folgenden Tabelle verdeutlicht:

Verein

Punkte

Verein

Punkte

Vilsbiburg

1

Seyboldsdorf

1

Vilsbiburg

3

Frontenhausen

0

Vilsbiburg

3

Geisenhausen

0

Frontenhausen

3

Geisenhausen

0

Seyboldsdorf

3

Frontenhausen

0

Geisenhausen

1

Seyboldsdorf

1

Anja schreibt verdeckt eine dreistellige Zahl, in der nur die Ziffern 1 und 2 vorkommen.

Wie viele Zahlen muss Iris auf jeden Fall aufschreiben, damit mit Sicherheit eine Zahl dabei ist, …

  1. die mit Anjas Zahl übereinstimmt?

  2. die an mindestens einer Stelle mit Anjas Zahl übereinstimmt?

  3. die an mindestens zwei Stellen mit Anjas Zahl übereinstimmt?

Teilaufgabe 1

Für jede Ziffer die Anja aufschreibt, hat sie 2 Möglichkeiten (1 oder 2). Da sie eine dreistellige Zahl aufschreibt, gibt es insgesamt %%2^3=2\cdot 2 \cdot2 = 8%% Möglichkeiten. Die sind:

222, 221, 212, 122, 111, 112, 121, 211

Iris muss also mindestens diese 8 Zahlen aufschreiben, um mit Sicherheit eine Zahl aufgeschrieben zu haben, die mit Anjas übereinstimmt.

Wähle hier drei mal eine Zahl, mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.

Teilaufgabe 2

 

Iris muss zwei Zahlen aufschreiben: 222, 111. Jede der acht Möglichkeiten enthält mindestens einen Zweier oder mindestens einen Einser.

Auch 212 und 121 sind möglich. Die beiden Zahlen müssen sich nur an jeder Stelle unterscheiden.

 

Teilaufgabe 3

 

Auch hier genügen die Zahlen 222 und 111, da jede der acht Möglichkeiten mindestens zwei Zweier oder mindestens zwei Einser enthält.

Auch 212 und 121 sind möglich. Die beiden Zahlen müssen sich nur an jeder Stelle unterscheiden.

 

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