Die Varianz ist ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariablen %%X%% von ihrem Erwartungswert %%\mu%% in der Stochastik. Sie beschreibt die mittlere quadratische Abweichung der Werte der Zufallsvariablen zum Erwartungswert.

Die Varianz einer Zufallsgröße ist eng mit ihrer Standardabweichung verknüpft.

Berechnung

Formel

Für eine diskrete Zufallsgröße %%X%% mit Erwartungswert %%\mu%%, Werten %%x_1,x_2,…,x_n%% und deren Wahrscheinlichkeiten %%P(X=x_i)%% berechnet man die Varianz, die man normalerweise mit %%\text{V}(X)%% oder %%\sigma^2%% bezeichnet, wie folgt.

%%\displaystyle\begin{array}{c c l} \text{V}(X) & = & P(X=x_1)\cdot(x_1-\mu)^2+P(X=x_2)\cdot(x_2-\mu)^2+…+P(x_n)\cdot(x_n-\mu)^2\\ &=& \sum\limits_{i=1}^{n}P(X=x_i)\cdot(x_i-\mu)^2 \end{array}%%

Die Varianz berechnet sich also als Summe der Produkte von Wahrscheinlichkeit der Werte mit dem quadratischen Abstand zum Erwartungswert.

Beispiel

Werfen von zwei Laplace-Würfeln. Die Werte der Zufallsgröße %%X%% sind genau die Summe der Augenzahlen, der Erwartungswert ist 7.

%%\displaystyle \begin{array} {c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c} x & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\ \hline P( X = x) & \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36} \end{array}%%

Damit ergibt sich für die Varianz für dieses Experiment.

%%\displaystyle \begin{array}{c c l} \text V( X)& = & \frac{1}{36}\cdot(2-7)^2+\frac{2}{36}\cdot(3-7)^2+\frac{3}{36}\cdot(4-7)^2+\frac{4}{36}\cdot(5-7)^2\\&& +\frac{5}{36}\cdot(6-7)^2+\frac{6}{36}\cdot(7-7)^2 +\frac{5}{36}\cdot(8-7)^2+\frac{4}{36}\cdot(9-7)^2\\&& +\frac{3}{36}\cdot(10-7)^2+\frac{2}{36}\cdot(11-7)^2+\frac{1}{36}\cdot(12-7)^2\\ & = & 5,8\overline 3 \end{array}%%

Die mittlere quadratische Abweichung der Augenzahlsumme beim Werfen von zwei Würfeln ist also etwa 5,83.

Formel

Für eine stetige Zufallsvariable %%\text X%% mit Erwartungswert %%\mu%% Werten in %%[\text a,\text b]%% und Dichtefunktion %%f%% berechnet man die Varianz, die man auch hier mit %%\text V(X)%% oder %%\sigma^2%% bezeichnet, wie folgt.

%%\displaystyle \text V(X)=\int\limits_a^b (x-\mu)^2\cdot f(x)\text dx%%

Die Varianz berechnet sich also als Integral über das Produkt des mittleren quadratischen Abstands zum Erwartungswert und der Dichtefunktion der Verteilung.

Beispiel

Die Verspätung einer U-Bahn sei mit folgender Dichtefunktion (%%x%% ist die Minute in der die U-Bahn eintrifft) gegeben, der Erwartungswert ist %%0,8\overline 3%% (%%= 50%% Sekunden).

%%f(x)=\begin{cases} 0,8-0,32x & \text{ für } & 0\leq x\leq2,5\\ 0 & \text { für } & \text{sonst} \end{cases}%%

Daraus ergibt sich für die Varianz dieses Experiments.

%%\displaystyle \text V(X)=\int\limits_0^{2,5} (x-\mu)^2\cdot f(x)\text dx=\int\limits_0^{2,5}(x-0,8\overline3)^2\cdot(0,8-0,32x)\text dx=0,347\overline 2%%

Im quadratischen Mittel weicht die Verspätung der U-Bahn also um %%0,347\overline2%% Minuten, das sind etwa 21 Sekunden, von der erwarteten Verspätung ab.

Rechenregeln

%%\text V(X)=\text E(X^2)-\mu^2%%

  • Varianz von Summen von Zufallsvariablen. %%X%% und %%Y%% sind hier zwei verschieden Zufallsvariablen.

%%\text V( X+ Y)=\text V( X)+\text V( Y)%%

Allgemeine Formel

Für die Summe von n verschiedenen Zufallsvariablen %%\ X_i%% gilt:

%%\displaystyle\text V\left(\sum\limits_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum\limits_{i=1}^{n}\text V\left( X_i\right)%%

  • Linearität: %%a%% und %%b%% sind hier Konstanten und %%\text X%% eine Zufallsvariable.

%%\text V(a\cdot X+b)=a^2\cdot\text V( X)%%, also auch

%%\text V(a\cdot X)=a^2\cdot\text V(\text X)%% und

%%\text V(b)=0\\%%

Wichtige Varianzen

Verteilung

Dichte und Erwartungswert

Varianz

%%f(k)=\begin{cases}p & \text{für}&k=1\\1-p&\text{für}&k=0\end{cases},\; \mu=p\\%%

%%p\cdot(1-p)%%

%%\displaystyle\text B(n;p;k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, \\\mu=n\cdot p%%

%%n\cdot p\cdot(1-p)%%

%%\mathcal{N}(\mu;\sigma^2),\;\mu%% ist Erwartungswert.

%%\sigma^2%%

Bemerkung

Die Dichtefunktion der Normalverteilung wird bereits mit der Varianz angegeben.

Beispielaufgabe

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Zu article Varianz:
Annika189 2017-02-09 20:32:02
Bei den Rechenregeln zur Linearität der Varianz hat sich ein Fehler eingeschlichen. Hier muss gelten:
Var(a*X+b)=a^2*Var(X), sowie Var(a*X)=a^2*Var(X) und logischerweise auch Var(b)=0.
Nish 2017-02-09 20:53:59
Vielen Dank, Annika189! Du hast natürlich vollkommen recht! Ich hab's eben ausgebessert.

LG,
Nish
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Zu article Varianz: Vorschläge für den Artikel
philipp_gadow 2014-09-10 09:51:22
Schöner Artikel :)
Mir gefallen besonders die Spoiler mit den Bemerkungen.

Was man vielleicht noch ändern könnte:
- Statt Formel Definition als Überschrift verwenden
- statt Latex-Tabelle das Tabellenlayout von Markdown verwenden
- Den Einleitungssatz ändern in
"Die Varianz ist ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariablen X von ihrem Erwartungswert \operatorname {E}(X) in der Stochastik. Sie beschreibt die mittlere quadratische Abweichung der Werte der Zufallsvariablen zum Erwartungswert."

- Die Beispielaufgabe ist super. Direkt danach kann dann noch ein Link zu "weiteren Aufgaben" kommen.
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