Aufgaben

Handelt es sich um eine Bruchgleichung?

%%\displaystyle\frac2{x+3}+3=15%%

Schaue dir noch einmal alle Eigenschaften einer Bruchgleichung an. Bist du dir sicher, dass eine der Eigenschaften nicht erfüllt ist?

Super! Das hast du richtig erkannt.

Bruchgleichung

Für diese Aufgabe musst du wissen, was eine Bruchgleichung ist.

Eigenschaft 1

Richtig

Durch bloßes Betrachten kannst du erkennen, dass in der Angabe eine Gleichung steht. Das Merkmal dafür ist das "=".

Eigenschaft 2 & 3

Richtig

Zudem ist ein Bruch enthalten, nämlich %%\displaystyle\frac2{x+3}%% und dieser hat eine Variable im Nenner.

Somit sind alle Bedingungen für eine Bruchgleichung vorhanden.

Die Antwort lautet: Ja, es ist eine Bruchgleichung.

%%\displaystyle\frac{25x}{x^2-4}+35%%

Schaue dir noch einmal alle Eigenschaften einer Bruchgleichung an. Bist du dir sicher, dass alle Eigenschaften erfüllt sind?

Super! Das hast du richtig erkannt.

Bruchgleichung

Für diese Aufgabe musst du wissen, was eine Bruchgleichung ist.

Eigenschaft 1

Falsch

Hier kannst du erkennen, dass keine Gleichung vorliegt, da kein "=" vorhanden ist.

Folglich musst du die anderen Merkmale garnicht mehr prüfen.

Die Antwort lautet: Nein, es ist keine Bruchgleichung.

%%\displaystyle\frac x{4x-5}=\frac{x^2}{7x-4}+3%%

Schaue dir noch einmal alle Eigenschaften einer Bruchgleichung an. Bist du dir sicher, dass eine der Eigenschaften nicht erfüllt ist?

Yippie! Das hast du richtig erkannt.

Bruchgleichung

Für diese Aufgabe musst du wissen, was eine Bruchgleichung ist.

Eigenschaft 1

Richtig

Durch bloßes Betrachten kannst du erkennen, dass in der Angabe eine Gleichung steht. Das Merkmal dafür ist das "=".

Eigenschaft 2 & 3

Richtig

Zudem sind die Brüche %%\displaystyle\frac{x}{4x-5}%% und %%\displaystyle\frac{x^2}{7x-4}%% enthalten, welche eine Variable %%x%% im Nenner haben.

Somit sind alle Bedingungen für eine Bruchgleichung vorhanden.

Die Antwort lautet: Ja, es ist eine Bruchgleichung.

%%\displaystyle\frac{2x^2-x}4=\frac{5x-3}{34}%%

Schaue dir noch einmal alle Eigenschaften einer Bruchgleichung an. Bist du dir sicher, dass alle Eigenschaften erfüllt sind?

Super! Das hast du richtig erkannt.

Bruchgleichungen

Für diese Aufgabe musst du wissen, was eine Bruchgleichung ist.

Eigenschaft 1

Richtig

Durch bloßes Hinsehen kannst du erkennen, dass eine Gleichung vorliegt.

Eigenschaft 2

Richtig

Zudem sind die Brüche %%\displaystyle\frac{2x^2-x}{4}%% und %%\displaystyle\frac{5x-3}{34}%% vorhanden.

Eigenschaft 3

Falsch

Vorsicht! Keiner der Brüche hat eine Variable im Nenner.

Eine der Eigenschaften ist nicht erfüllt und somit handelt es sich nicht um eine Bruchgleichung.

Die Antwort lautet: Nein, es ist keine Bruchgleichung.

%%\displaystyle31+\frac{2x-1}{x^3+2}=\frac2x%%

Schaue dir noch einmal alle Eigenschaften einer Bruchgleichung an. Bist du dir sicher, dass eine der Eigenschaften nicht erfüllt ist?

Super! Das hast du richtig erkannt.

Bruchgleichung

Für diese Aufgabe musst du wissen, was eine Bruchgleichung ist.

Eigenschaft 1

Richtig

Durch bloßes Betrachten kannst du erkennen, dass in der Angabe eine Gleichung steht. Das Merkmal dafür ist das "=".

Eigenschaft 2 & 3

Richtig

Zudem sind Brüche, nämlich %%\displaystyle\frac2x%% und %%\displaystyle\frac{2x-1}{x^3+2}%%, vorhanden. Diese haben ebenfalls eine Variable im Nenner.

Somit sind alle Bedingungen für eine Bruchgleichung vorhanden.

Die Antwort lautet: Ja, es ist eine Bruchgleichung.

Bestimme die Lösungsmenge der Bruchgleichung mit Hilfe der Grafik!

%%\dfrac5{x+1}=-\dfrac{15}{x-3}%%

Graphisch Aufgabe Schnittpunkt

Schneiden sich die Graphen wirklich bei %%x=5%% ?

Die zwei Graphen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt also gibt es mindestens eine Lösung!

Die Lösung der Gleichung ist die %%x%%-Koordinate des Schnittpunkts!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

%%\dfrac{4x}{x^2-1}=1+\dfrac{1}{x^2-1}%%

Aufgabe Bruchgleichung Schnittpunkt

Bist du sicher, dass es keine anderen Lösungen gibt?

Bist du sicher, dass es keine anderen Lösungen gibt?

Die %%1%% kann keine Lösung sein, da sie nicht mal in der Definitionsmenge der Gleichung liegt!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von der folgenden Bruchgleichung:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

%%\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}%%

Defintionsmenge bestimmen

Als erstes musst du die Definitionsmenge bestimmen. Hierfür dürfen die Nenner der Bruchterme nicht 0 werden.

%%\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}%%

%%2-x=0 \Leftrightarrow x=2%%

%%2x-4=0\Leftrightarrow x=2%%

Damit ist die Definitionsmenge: %%D=\mathbb{Q}\backslash\{2\}%%

Bruchgleichung lösen

Hier bietet sich das Verfahren "Über Kreuz multiplizieren" an.

%%\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}%%

%%|\cdot (2-x) |\cdot (2x-4)%%

%%5\cdot (2x-4) =x\cdot (2-x)%%

Ausmultiplizieren

%%10x-20=2x-x^2%%

Alles auf eine Seite und somit 0 setzen.

%%x^2+8x-20=0%%

Mit der Mitternachtsformel lösen

%%x_{1,2}=\frac{-8\pm 12}{2}%%

Beide Werte für %%x%% ausrechnen

%%x_1=2%%

%%x_2=-10%%

Da %%2%% nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, ist sie auch nicht Bestandteil der Lösungsmenge: %%\mathbb L=\{-10\}%%.

Alternative Lösung

Suche den Hauptnenner und multipliziere beide Seiten der Gleichung damit.

%%\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2x-4}%%

%%\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle -2(2-x)}%%

%%\frac {\displaystyle 5} { \displaystyle 2-x}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle -2(2-x)}%%

Der Hauptenner ist damit %%-2\cdot(2-x)%%. Mit diesem beide Seite multiplizieren und die Brüche kürzen.

%%5\cdot (-2)=x%%

Ausrechnen

%%x=-10%%

Da %%-10%% in der Definitionsmenge enthalten ist, lautet die Lösungsmenge:

%%L=\{-10\}%%

Gib die Definitionsmenge an und bestimme eine äquivalente bruchtermfreie Gleichung von der folgenden Bruchgleichung:

%%\displaystyle 3+\frac1x=\frac2{x+1}%%

(Du brauchst die bruchtermfreie Gleichung nicht zu lösen!)

Bruchgleichungen

Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen: Du sollst

  • die Definitionsmenge bestimmen, und
  • die Gleichung bruchtermfrei machen.

Definitionsmenge

Bestimme zunächst die Definitionsmenge der Bruchgleichung. Dazu schaust du dir die Nenner explizit an und schaust für welche Zahlen sie %%0%% werden:

  • %%x=0%%
  • %%x+1=0%%

Für %%x=0%% und %%x=-1%% ist die Gleichung nicht definiert. Also musst du sie aus der Definitionsmenge rausnehmen.

Die Definitionsmenge %%D%% ist also:
%%D=\mathbb Q\backslash\{-1;0\}%%, falls die Grundmenge %%\mathbb Q%% ist, und
%%D=\mathbb R\backslash\{-1;0\}%%, falls die Grundmenge %%\mathbb R%% ist.

Umformen in bruchtermfreie Gleichung

Jetzt sollst du die Gleichung bruchtermfrei machen.

%%\displaystyle 3+\frac1x=\frac2{x+1}%%

Du musst hier also zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe %%\displaystyle 3+\frac{1}x%% auf einen Nenner.

Um eine Bruchgleichung bruchtermfrei zu machen kannst du zum Beispiel die Nenner über Kreuz multiplizieren.

%%\displaystyle 3+\frac1x=\frac2{x+1}%%

Du kannst hier zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe %%\displaystyle 3+\frac{1}x%% auf einen Nenner.

%%\displaystyle\frac{3x}x+\frac1x=\frac2{x+1}%%

Addiere

%%\displaystyle\frac{3x+1}x=\frac2{x+1}%%

Nun kannst du das Verfahren zum über Kreuz multiplizieren anwenden.

%%(3x+1)\;\cdot\;(x+1)\;=2\cdot x%%

Diese Gleichung enthält keine Brüche. Da wir %%0%% und %%-1%% aus der Definitionsmenge rausgenommen haben, haben wir insbesondere nicht mit der %%0%% multipliziert.

Somit ist %%(3x+1)\;\cdot\;(x+1)\;=2\cdot x%% äquivalent zu %%\displaystyle 3+\frac1x=\frac2{x+1}%%.

Lösung der bruchtermfreien Gleichung

(in der Aufgabenstellung nicht gefordert)

%%(3x+1)\;\cdot\;(x+1)\;=2\cdot x%%

%%3x^2+3x\;+x\;+1=2x%%

%%3x^2+4x\;+1=2x%%

linke Seite zusammenfassen

%%3x^2+2x\;+1=0%%

Alles auf eine Seite und somit 0 setzen.

%%D=\left(2\right)^2-4\cdot3\cdot1%%

%%=4-12%%

%%=-8%% %%\;\;\Rightarrow\;\;-8<0\;%%

Diskriminante berechnen.

%%\mathbb{L}= \left\{ \right\}%%

Wegen D < 0 hat die quadratische Gleichung keine Lösungen und damit hat auch die Bruchgleichung keine Lösungen!

Zeichne die Graphen zu den Termen  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}%%  und  %%\mathrm g\left(\mathrm x\right)\;=\;\frac13\mathrm x%%  in ein Koordinatensystem.

Bestimme rechnerisch die Nullstelle von f, denjenigen x-Wert mit  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3%%  und die Schnittpunkte von f und g.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8480_IDafL00uol.xml

Bestimmung der Nullstelle

%%f(x)=\dfrac{x}{x-2}%%

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. %%\rightarrow%% Setze %%\mathrm z\left(\mathrm x\right)=0%%

%%\Rightarrow {\mathrm x}_\mathrm N=0%%

Der Graph hat bei %%x_N=0%% eine Nullstelle.

x-Wert mit  %%f(x)=-3%%

Setze %%f(x)=-3%%

%%\frac{x}{x-2}=-3%%

%%\left|\cdot\left(\mathrm x-2\right)\right.%% Über Kreuz multiplizieren

%%\mathrm x=-3\left(\mathrm x-2\right)%%

Ausmultiplizieren

%%\mathrm x=-3\mathrm x+6%%

%%\left|+3\mathrm x\right.%%

%%4\mathrm x=6%%

%%\left|:4\right.%%

%%x=\frac64%%

%%\mathrm x=1,5%%

Für %%x=1,5%% nimmt die Funktion den Wert %%-3%% an.

Bestimmung der Schnittpunkte

%%f(x)= \dfrac{x}{x-2}%% , %%g(x)=\dfrac x3%%

Setze %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)%% und %%\mathrm g\left(\mathrm x\right)%% gleich.

%%\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}=\frac{\mathrm x}3%%

%%\left|\cdot3\left(\mathrm x-2\right)\right.%% Über Kreuz multiplizieren

%%3\mathrm x=\mathrm x\left(\mathrm x-2\right)%%

Ausmultiplizieren.

%%3\mathrm x=\mathrm x^2-2\mathrm x%%

%%\left|-3\mathrm x\right.%%

%%\mathrm x^2-5\mathrm x=0%%

Klammere x aus.

%%\mathrm x\left(\mathrm x-5\right)=0%%

Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

%%{\mathrm x}_{\mathrm S1}=0\;\;\;\;\;{\mathrm x}_{\mathrm S2}=5%%

Setze  %%{\mathrm x}_{\mathrm S2}%%  in eine der beiden Funktionen ein.

%%{\mathrm y}_{\mathrm S2}=\frac53%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm S}_1\left(0/0\right)\;\;\;\;\;{\mathrm S}_2\left(5/\frac53\right)%%

In der Definitionsmenge von %%f(x)%% muss nur %%2%% ausgenommen werden, bei %%g(x)%% sind alle rationalen Zahlen erlaubt.

Daher ist die Lösungsmenge: %%L=\{0,5\}%%

Gegeben ist der Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion

 

Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion

Die Zeichnung zeigt die Graphen der Funktionen mit den Funktionsgleichungen %%y=\frac{x-2}{1+x}%% und %%y=-\frac12x+1%% .

Bestimme anhand der Zeichnung die Lösungsmenge der Gleichung %%\frac{x-2}{1+x}=-\frac12x+1%% .

Zeichne die Graphen der Funktionen %%f:\;x\mapsto\frac3{x+2}%% und %%f_1:\;x\mapsto\frac1{2-x}%%

Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch.

Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen

Zeichnung

%%f_{}:\;x\mapsto\frac3{x+2}%%%%f_1:\;x\mapsto\frac1{2-x}%%

Schnittpunkt A bei (1/1)

Geogebra File: /uploads/legacy/2710_UvQn0LETgM.xml

Rechnung

 

 

Gleichsetzen der beiden Funktionsterme

%%\frac3{2+x}=\frac1{2-x}%%

%%3\cdot(2-x)=1\cdot(2+x)%%

%%6-3x=2+x%%

nach %%x%% auflösen

%%4=4x%%

%%\vert\;:\;4%%

%%x=1%%

 

  %%f_{}:\;x\mapsto\frac3{x+2}%%

Einsetzen von x in einen der Funktionsterme

%%y=\frac1{2-1}=\frac11=1%%

 

Schnittpunkt bei %%(1/1)%%

 

Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von:

%%x+1+\frac{\displaystyle 4x+4}{\displaystyle (x+1)^2}-\frac{\displaystyle x^3+x^2}{\displaystyle x(x+1)}=\frac{\displaystyle x^2+4x}{\displaystyle (x+4)(x+1)}+\frac{\displaystyle 5x+15}{\displaystyle (x+1)(x+3)}%%

%%D=\mathbb Q\backslash\{-4,-3,-1,0\}%%

Hier empfiehlt es sich zunächst mal die Brüche näher zu analysieren, Faktoren auszuklammern und eventuelle Kürzungen vorzuziehen:

  • %%\frac{\displaystyle 4x+4}{\displaystyle (x+1)^2}=\frac{\displaystyle 4\cdot (x+1)}{\displaystyle (x+1)^2}=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x+1}%%

  • %%\frac{\displaystyle x^2+4x}{\displaystyle (x+4)(x+1)}=\frac{\displaystyle x\cdot(x+4)}{\displaystyle (x+4)(x+1)}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}%%

  • %%\frac{\displaystyle 5x+15}{\displaystyle (x+1)(x+3)}=\frac{\displaystyle 5(x+3)}{\displaystyle (x+1)(x+3)}=\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle (x+1)}%%

  • %%\frac{\displaystyle x^3+x^2}{\displaystyle x(x+1)}=\frac{\displaystyle x^2(x+1)}{\displaystyle x(x+1)}=x%%

Dies ergibt, dann:

%%x+1+\frac{\displaystyle 4x+4}{\displaystyle (x+1)^2}-\frac{\displaystyle x^3+x^2}{\displaystyle x(x+1)}=\frac{\displaystyle x^2+4x}{\displaystyle (x+4)(x+1)}+\frac{\displaystyle 5x+15}{\displaystyle (x+1)(x+3)}%%

%%\Rightarrow x+1+\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}-x=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}+\frac{\displaystyle5}{\displaystyle x+1}%%

%%\Rightarrow x+1+\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}-x=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}+\frac{\displaystyle5}{\displaystyle x+1}%%

%%|-\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}%%

%%\Rightarrow x+1-x=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}+\frac{\displaystyle5}{\displaystyle x+1}-\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}%%

Gleicher Nenner

%%\Rightarrow x+1-x=\frac{\displaystyle x+5-4}{\displaystyle x+1}%%

Auf beiden Seiten Kürzen

%%\Rightarrow 1=1%%

Wir bekommen also unendlich viele Lösungen. Um genau zu sein, ist hier die Lösungsmenge %%\mathbb L%%, die Definitionsmenge, also %%\mathbb L=D=\mathbb Q\backslash \{-4,-3,-1,0\}%%. Denn jedes %%x\in D%% ist für die Gleichung wohldefiniert und löst die gekürzte Gleichung, die unabhängig von %%x%% ist.

Achtung: Für die Zahlen %%-4,-3,-1,0%%, die wir aus der Definitionsmenge entfernt haben, ist die Gleichung weiterhin nicht definiert, obwohl sich der Nenner kürzen lässt.

Gegeben ist folgende Bruchgleichung:

%%\displaystyle\frac5{x+3}-\frac{-6}{x^2-9}=\frac3{x-3}%%

Bestimme die Lösungsmenge!

Bruchgleichungen lösen

Um diese Aufgabe zu lösen, könnten dir die Artikel Binomische Formeln und Bruchgleichungen lösen helfen.

Du möchtest diese Bruchgleichung lösen:

%%\displaystyle\frac5{x+3}-\frac{-6}{x^2-9}=\frac3{x-3}%%

Definitionsmenge bestimmen:

Um die Definitionsmenge bestimmen zu können, musst du sogenannte Definitionslücken der Bruchgleichung finden. Eine Lücke entsteht, sobald der Nenner eines Bruchs 0 wird. Man darf nämlich nicht durch 0 teilen.

Die Definitionsmenge ist also: %%\mathbb D = \left\{-3,3\right\}%%

Der erste Nenner ist für x = -3, der zweite Nenner ist für x = -3 und x = 3 und der dritte Nenner ist für x = 3 nicht definiert. Daraus ergibt sich die Definitionsmenge.

Gleichung auflösen

%%\displaystyle\frac5{x+3}-\frac{-6}{x^2-9}=\frac3{x-3}%%

%%\left|\cdot(x+3)(x-3)\right.%%

%%\frac{5(x+3)(x-3)}{x+3}-\frac{-6(x+3)(x-3)}{x^2-9}=\frac{3(x+3)(x-3)}{x-3}%%

Kürze die Brüche.

%%\displaystyle5\cdot(x-3)-\frac{-6(x^2-9)}{x^2-9}=3\cdot(x+3)%%

Löse den Bruch auf.

%%\displaystyle5x-15-(-6)=3x+9%%

Löse die Klammer auf

%%\displaystyle5x-15+6=3x+9%%

und forme die Gleichung geeignet um!

%%\displaystyle5x-3x=9+15-6%%

%%\displaystyle2x=18%%

%%\left|:2\right.%%

%%\displaystyle\ x=9%%

Die Lösungsmenge ist somit %%\mathbb L = \left\{9\right\}%%

Bei einer Sammellinse gilt folgender Zusammenhang zwischen Brennweite %%f%%, Bildweite %%b%% und Gegenstandsweite %%g%%:

%%\frac1f=\frac1b+\frac1g%%

Zeige, dass dann für die Bildweite %%b%% gilt:

%%b=\frac{fg}{g-f}%%

Nach der Bildweite auflösen

Um nach der Bildweite %%b%% aufzulösen, isoliert man zuerst den Bruch mit der Bildweite %%b%%.

%%\frac1f=\frac1b+\frac1g%%

%%|-\frac1g%%

%%\frac1b=\frac1f-\frac1g%%

Nun multipliziert man mit %%b%% damit die gesuchte Größe aus dem Nenner verschwindet.

%%1=b\cdot (\frac1f-\frac1g)%%

Teile nun durch den Ausdruck in Klammern, damit b alleine steht.

%%b=\frac1{\frac{1}{f}-\frac{1}{g}}%%

Bringe nun die Brüche des Nenners auf einen gemeinsamen Hauptnenner.

%%b=\frac1{\frac{1\cdot g}{f\cdot g}-\frac{1\cdot f}{g\cdot f}}%%

Fasse nun die beiden Brüche im Nenner zusammen.

%%b=\frac1{\frac{g-f}{f\cdot g}}%%

Löse den Doppelbruch auf.

%%b=\frac{fg}{g-f}%%

Und damit hast du es gezeigt.

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