Aufgaben

Hans ist gerade 48 Jahre und sein Sohn Hänschen ist gerade 15 Jahre alt.

Nach wie vielen Jahren ist Hans doppelt so alt wie Hänschen dann ist?
Und wie alt ist Hans dann?

Aufstellung einer Gleichung zur Berechnung von %%x%%

Du kannst zuerst die zwei unbekannten Zahlenwerte als %%x%% und %%y%% bezeichnen, um die Aufgabe zu lösen. Das Alter von Hans, wenn er doppelt so alt ist, wie sein Sohn Hänschen, kannst du als %%y%% bezeichnen. Die Anzahl der Jahre, die vergehen, bis Hans doppelt so alt ist, wie Hänschen, ist %%x%%. Um %%x%% zu berechnen, musst du in einer Gleichung festhalten, dass Hans nach %%x%% Jahren doppelt so alt ist, wie Hänschen nach %%x%% Jahren.

$$\begin{array}{l}48+x=2\cdot(15+x)\\\\\end{array}$$

Nun musst du die Gleichung vereinfachen.

Lösung der Gleichung zur Berechnung von %%x%%

$$\begin{array}{l}48+x=2\cdot(15+x)\\\\\end{array}$$

$$48+x=30+2⋅x\vert-x-30$$

Multipliziere die Klammer auf der rechten Seite aus und dann musst du von beiden Seiten der Gleichung %%x%% und %%30%% subtrahieren.

$$x=18$$

Aufstellen einer Gleichung zur Berechnung von %%y%%

Um %%y%% zu berechnen, musst du noch eine Gleichung aufstellen, worin du die Tatsache, dass Hans nach %%x%% Jahren, %%x%% Jahre älter geworden ist, darstellst.

$$y=48+x$$

Einsetzen von %%x%% in die Gleichung zur Berechnung von %%y%%

Setze den bereits berechneten %%x%%-Wert nun in die Gleichung.

$$y=48+x$$

$$\begin{array}{l}y=48+18\\\\y=66\end{array}$$

Antwort:

Nach 18 Jahren ist Hans doppelt so alt wie Hänschen nach 18 Jahren.

Hans ist dann 66 Jahre alt.

Ein Auto fährt mit %%100 \; \frac{km}{h}%% an einer Raststätte los. %%10 \; min%% später startet ein Motorrad an derselben Raststätte mit %%120 \; \frac{km}{h}%%. Wie viele Minuten nach Start des Motorrads überholt das Motorrad das Auto?

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm v}_\mathrm{Auto}=100\;\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\end{array}\end{array}$$

$$\;{\mathrm v}_\mathrm{Motorrad}=120\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$$

Nun musst du die zehn Minuten, die das Auto schon vor dem Motorrad gefahren ist, in Stunden umrechnen.

$$10\;\min=10\cdot\frac1{60}\;\mathrm h=\;\frac{10}{60}\mathrm h\;=\frac16\mathrm h$$

Aufstellung einer Gleichung

Du bezeichnest nun die Zeit, die das Motorrad benötigt, um das Auto zu überholen, als t.

Sowohl das Auto als auch das Motorrad sind bei dem Zeitpunkt der Überholung die selbe Strecke gefahren.

Du kannst also für beide Seiten deiner Gleichung eine Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit verwenden. Diese muss aber auf beiden Seiten nach der Strecke umgeformt werden, die sowohl das Motorrad, als auch das Auto seit dem Zeitpunkt der Überholung gefahren sind. Auf einer Seite deiner Gleichung verwendest du die Werte zur Geschwindigkeitsberechnung des Autos, auf der anderen Seite die für die Geschwindigkeitsberechnung des Motorrades.

Strecke mit Formel für das Auto

Du kannst mit der umgeformten Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit des Autos anfangen. Sie wird dann die eine Seite der Gleichung besetzen.

$$\begin{array}{l}{\mathrm v}_\mathrm{Auto}=\frac{\mathrm{Strecke}}{\frac16\;\mathrm h+\mathrm t}\\\\100\;\mathrm km/\mathrm h=\frac{\mathrm{Strecke}}{\frac16\;\mathrm h+\mathrm t}\;\;\left|\cdot(\frac16\;\mathrm h+\mathrm t)\right.\end{array}$$

Du multiplizierst nun auf beiden Seiten

dieser Gleichung mit $$(\frac16\;\mathrm h+\mathrm t)$$

$$\mathrm{Strecke}=100\;\mathrm km/\mathrm h\cdot(\frac16\;\mathrm h+\mathrm t)$$

Strecke mit Formel für das Motorrad

Jetzt kannst du die Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit des Motorrades nach der Strecke umformen. Sie besetzt dann die andere Seite deiner Gleichung.

$$\begin{array}{l}{\mathrm v}_\mathrm{Motorrad}=\frac{\mathrm{Strecke}}{\mathrm t}\\120\;\mathrm km/\mathrm h=\frac{\mathrm{Strecke}}{\mathrm t}\;\;\;\left|\cdot\mathrm t\right.\end{array}$$

Multipliziere nun auf beiden Seiten dieser Gleichung mit t.

$$\mathrm{Strecke}=120\;\mathrm km/\mathrm h\cdot\mathrm t$$

Gleichung "Strecke Motorrad = Strecke Auto"

Nun kannst du die Gleichung aufstellen:

$$120\;\mathrm km/\mathrm h\cdot\mathrm t=100\;\mathrm km/\mathrm h\cdot(\frac16\;\mathrm h+\mathrm t)$$

Auflösen der Gleichung

Die erhaltene Gleichung muss du jetzt nach der Zeit t auflösen:

$$120\;\mathrm km/\mathrm h\cdot\mathrm t=100\;\mathrm km/\mathrm h\cdot(\frac16\;\mathrm h+\mathrm t)$$

Multipliziere auf der rechten Seite die Klammern aus.

$$120\;\mathrm km/\mathrm h\cdot\mathrm t=\frac{100}6\;\mathrm km\;+100\;\mathrm km/\mathrm h\cdot\mathrm t$$

Subtrahiere auf beiden Seiten $$100\;\mathrm km/\mathrm h\cdot\mathrm t$$

$$20\;\mathrm km/\mathrm h\cdot\mathrm t=\frac{100}6\;\mathrm km\;$$

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch $$20\;\mathrm km/\mathrm h$$

$$\mathrm t=\frac{100}{120}\;\mathrm h\;=\frac56\mathrm h$$

$$\mathrm t=\frac56\mathrm h\cdot60\frac\min{\mathrm h}=\frac{300}6\min=50\min$$

Antwort:

50 Minuten nach dem Start überholt das Motorrad das Auto.

Drei Bäcker haben insgesamt %%360%% Brötchen gebacken. Bäcker A hat doppelt so viele gebacken wie Bäcker B. Bäcker C hat %%40%% Brötchen weniger gebacken als A.

Wie viele Brötchen hat jeder der drei Bäcker gebacken?

Lösung:

Aufstellen der Gleichungen

Um die Aufgabe zu lösen kannst du mithilfe der Angabe eine Gleichung erstellen. Du kannst hierbei beginnen, die Anzahlen der gebackenen Brötchen von jedem Bäcker mit der Anzahl der gebackenen Brötchen von Bäcker A darzustellen. A, B und C sind die jeweiligen Anzahlen von Brötchen, die Bäcker A, B und C gebacken haben. Du stellst nun die Tatsache dar, dass Bäcker B nur halb so viel Brötchen gebacken wie Bäcker A, da Bäcker A die doppelte Anzahl von Brötchen gebacken hat wie Bäcker B.

In Bearbeitung!!!!!!!!!

Alex hat eine ungewöhnliche Abmachung mit seinen Eltern: Er erhält für jede Drei im Zeugnis einen bestimmten Geldbetrag von seinen Eltern, für eine Zwei bekommt er das Doppelte und für eine Eins sogar das Dreifache dieses Betrages. Für eine Vier bekommt er nichts, während für eine Fünf das Doppelte des Betrages für eine Zwei abgezogen werden und für eine Sechs das Vierfache des Betrages für eine Eins abgezogen werden. Im Zwischenzeugnis hat Alex folgende Noten: 1 mal Eins, 1 mal Zwei, 4 mal Drei, 2 mal Vier, 1 mal Fünf und 1 mal Sechs. Nachdem Alex in diesem Halbjahr so wenig erfolgreich war, werden ihm 42€ vom Taschengeld abgezogen. Berechne mit Hilfe eines x-Ansatzes, wieviel für jede Note berechnet wird.

Gleichung aufstellen

Note 3: %%x€%%

 

Note 2: %%2\cdot x€%%

 

Note 1: %%3\cdot x€%%

 

Note 4: %%0€%%

 

Note 5: %%-2\cdot2\cdot x€%%

 

Note 6: %%-4\cdot3\cdot x€%%

Ansatz für das Zeugnis aufstellen.

%%1\cdot3x+1\cdot2x+4\cdot x-1\cdot2\cdot2x-1\cdot4\cdot3x=-42%%

 

                 %%3x+2x+4x-4x-12x=-42%%

 

                                                  %%-7x=-42%%

%%\left|{:(-7)}\right.%%

                                                       %%x=6%%

 

Note 1: %%3\cdot6€=18€%%

 

Note 2: %%2\cdot6€=12€%%

 

 Note 3: %%6€%%

 

Note 4: %%0€%%

 

Note 5: %%-2\cdot2\cdot6€=-24€%%

 

Note 6: %%-4\cdot3\cdot6€=-72€%%

 

In einem Verein mit 25 Mitgliedern haben 12 Mitglieder jeweils 2000€ eingezahlt. 12 weitere Mitglieder haben jeweils 1500€ beigesteuert. Auf den Vereinskonto befinden sich 17000€. Wie ist das zu erklären? Führe eine Rechnung mit einem x-Ansatz durch!

Gleichung aufstellen

%%12\cdot2000+12\cdot1500+x=17000%%

      %%24000+18000+x=17000%%

 

                     %%42000+x=17000%%

%%\left|{-42000}\right.%%

                                    %%x=-25000%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Vor den Einzahlungen hatte der Verein 25000€ Schulden.

Berechne jeweils die Winkel.

Zu text-exercise-group 5217:
Nish 2018-10-04 12:57:02
Die Lösungen zu den Teilaufgaben sollte nach den aktuellen Richtlinien für Aufgabenlösungen überarbeitet werden! ;) Richtlinie findet Ihr unter www.serlo.org/community -> Hilfe zur Bearbeitung -> Richtlinien für Inhalte

LG,
Nish
Antwort abschicken

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der eine Winkel an der Hypothenuse um 32° kleiner als der andere. Berechne den gesuchten Winkel.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist einer der beiden spitzen Winkel halb so groß wie der andere.

Jedes Dreieck hat eine Innenwinkelsumme von 180°. Da es ein rechtwinkliges Dreieck ist, haben wir %%\alpha+\beta+90^\circ=180^\circ%%, also %%\alpha+\beta=90^\circ.%%

 

|-90°

Da %%\alpha%% halb so groß ist wie %%\beta%%, gilt: %%\alpha=\frac12\;\beta%%

 

Jetzt setzen wir diese Gleichung in %%\alpha+\beta=90^\circ%% ein, also: %%\frac12\beta+\beta=90^\circ\;%%

 

%%\beta%% zusammenzählen

 

%%\frac32\beta=90^\circ%%

%%\left|{:\frac32}\right.%%

%%\begin{array}{l}\beta=60^\circ\\\alpha=\frac12\beta=30^\circ\end{array}%%

In einem Dreieck ist %%\alpha%% um 20° kleiner als %%\beta%% und %%\gamma%% doppelt so groß wie %%\alpha%%.

Term für %%\alpha%% und %%\gamma%% in Abhängigkeit von %%\beta%% aufstellen.

%%\alpha=\beta-20^\circ%%

%%\gamma=2\left(\beta-20^\circ\right)%%

Gleichung zur Winkelsumme im Dreieck aufstellen. Sprich:  %%\alpha+\beta+\gamma=180^\circ%%

%%180^\circ=\alpha+\beta+\gamma%%

%%180^\circ=\beta-20^\circ+\beta+2\left(\beta-20^\circ\right)%%

%%180^\circ=\beta-20^\circ+\beta+2\beta-40^\circ%%

%%180^\circ=4\beta-60^\circ\;\;\;\;\;%%

%%\left|+60^\circ\right.%%

%%240^\circ=4\beta\;\;\;\;\;%%

%%\left|:4\right.%%

%%\beta=60^\circ%%

%%\beta=60^\circ%%  in Terme für  %%\alpha%% bzw. %%\beta%% einsetzen und ausrechnen.

%%\alpha=\;\beta-20^\circ%%

%%\alpha=60^\circ-20^\circ%%

%%\alpha=40^\circ%%

%%\gamma=2\alpha%%

%%\gamma=2\cdot40^\circ%%

%%\gamma=80^\circ%%

Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€. Marco hat 2€ weniger als Sabine, Volker hat doppelt so viel wie Sabine und Lena doppelt so viel wie Marco. Wie viel Geld hat Marco, Sabine, Volker und Lena? Löse mit Hilfe eines Gesamtansatzes.

Gleichungen

%%s\;%% entspricht Sabines Geld.

 

%%s-2€%% entspricht Marcos Geld.

 

%%2s%% entspricht Volkers Geld.

 

%%\left(s-2€\right)\cdot2%% entspricht Lenas Geld.

Gesamtansatz aufstellen.

%%\left(s-2€\right)\cdot2+s+s-2€+2s=66€%%

 

%%2s-4€+2s-2€+2s=66€%%

 

%%6s-6€=66€%%

%%\left|{+6€}\right.%%

%%6s=72€%%

Durch %%6%% dividieren .

%%s=12€%%

 

Sabine hat %%12€%%

 

Marco hat %%12€-2€=10€%%

 

Volker hat %%2\cdot12€=24€%%

 

Lena hat %%\left(12€-2€\right)\cdot2=20€%%

 

Berechne x am Rechteck ABCD. (Die Zeichnung ist nicht maßstabgerecht.)

 

Gesucht: %%x%%

Zwei gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks sind gleich lang.

%%9,37\mathrm{cm}+4,84\mathrm{cm}=3,22\mathrm{cm}+x\mathrm{cm}%%

Löse nach %%x%% auf.

%%x\mathrm{cm}=9,37\mathrm{cm}+4,84\mathrm{cm}-3,22\mathrm{cm}%%

Rechne die rechte Seite aus.

%%x\mathrm{cm}=14,21\mathrm{cm}-3,22\mathrm{cm}%%

%%x\mathrm{cm}=10,99\mathrm{cm}%%

Also: %%x=10,99%%

Verlängert man zwei gegenüberliegende Seiten eines Quadrats um jeweils 3 cm und verkürzt die anderen Seiten um jeweils 2 cm, so entsteht ein Rechteck, dessen Flächeninhalt um  %%1\;\mathrm{cm}^2%% größer ist als der des Quadrats. Wie lang sind die Seiten des Quadrats?

Gleichungen

Artikel zum Thema

%%a%% : Seite des Quadrats

%%a+3%% : lange Seite des Rechtecks

%%a-2%% : kurze Seite des Rechtecks

%%a^2+1%% : Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit vom Quadrat

%%(a+3)(a-2)%% : Flächeninhalt in Abhängigkeit von den Rechteckseiten

Gleichung aufstellen und Klammern ausmultiplizieren .

%%a^2+1=a^2-2a+3a-6%%

%%\mid+6\mid-a^2%%

%%a=7%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Länge der Seite a des Quadrats beträgt 7cm.

 

Kommentieren Kommentare