Periodische Dezimalbrüche

Wenn du %%\frac13%% als Dezimalbruch schreiben willst, kannst du die schriftliche Division anwenden:

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}1 :3 = 0{,}3333\dots\\ \hphantom{-}10\\ \underline{-\hphantom{1}9}\\ \hphantom{-1}10\\ \hphantom{1}\underline{-\hphantom{1}9}\\ \hphantom{-10}10\\ \hphantom{11}\underline{-\hphantom{1}9}\\ \hphantom{-100}10\\ \hphantom{111}\underline{-\hphantom{1}9}\\ \hphantom{-1000}10\\ \hphantom{-10000}\vdots \end{array}%%

Hier tritt jetzt das Problem auf, dass man immer weiter teilen kann. Der Rest bei der Division ist immer 1, also erhält man in jedem Schritt eine 3 als weitere Dezimale.

Periodische Dezimalbrüche

Dezimalbrüche wie %%0{,}3333333\dots%%, bei denen sich dieselben Zahlen unendlich oft wiederholen, nennt man periodische Dezimalbrüche. Abkürzend schreibt man statt %%0{,}3333333\dots%% auch %%0{,}\overline3%% und liest "null Komma Periode drei".

Perioden können aber auch mehrere Ziffern sein, die sich wiederholen:
%%1{,}\overline{12}=1{,}121212\dots%% (gelesen: "eins Komma Periode eins zwei").
Solche Brüche, bei denen die Periode direkt nach dem Komma beginnt, nennt man rein periodische Brüche.

Die Periode muss auch nicht direkt nach dem Komma beginnen:
%%5{,}23\overline{597}=5{,}23597597597\dots%% (gelesen: "fünf Komma zwei drei Periode fünf neun sieben").
Diese Brüche werden gemischt periodisch genannt.

Achtung: Dezimalbrüche wie %%0{,}\overline{5}6%% gibt es nicht! Nach einer Periode können keine anderen Dezimalen stehen, weil sich die Ziffern in der Periode unendlich oft wiederholen.

Wann ist ein Dezimalbruch periodisch?

Wendest du bei der Umrechnung eines Bruchs in einen Dezimalbruch die schriftliche Division an, kannst du erkennen, ob er periodisch ist. Wiederholen sich die Reste bei der Division nach einer bestimmten Anzahl von Schritten, ist es ein periodischer Dezimalbruch. Die Länge der Periode kannst du aus der Anzahl der Schritte, die du benötigst, bis sich die Reste wiederholen, erkennen.

In unserem Beispiel %%\frac13%% wiederholt sich der Rest 1 nach jedem Schritt, also ist es ein Dezimalbruch mit einer Periode, bei der sich eine Zahl wiederholt.

Übungsaufgabe

Berechne %%\frac3{11}%% als Dezimalbruch.

Lösung

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}3 :11 = 0{,}272727\dots\\ \hphantom{-}30\\ \underline{-22}\\ \hphantom{-1}80\\ \hphantom{1}\underline{-77}\\ \hphantom{-10}30\\ \hphantom{11}\underline{-22}\\ \hphantom{-100}80\\ \hphantom{111}\underline{-77}\\ \hphantom{-1000}30\\ \hphantom{1111}\underline{-22}\\ \hphantom{-10000}80\\ \hphantom{11111}\underline{-77}\\ \hphantom{-100000}30\\ \hphantom{-1000000}\vdots \end{array}%%

Die Reste bei der Division 8 bzw. 3 wiederholen sich nach zwei Schritten, also ist %%\frac3{11}%% ein periodischer Dezimalbruch mit Periodenlänge 2.

%%\Rightarrow\;\frac3{11}=0{,}\overline{27}%%

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Zu course-page Periodische Dezimalbrüche: logischer Fehler
Hannes 2015-07-06 09:03:10
Hier liegt doch ein struktureller Fehler vor. Theoretisch wissen die Lernenden doch gar nicht, wie man 1/3 in eine Dezimalzahl umwandeln kann. Diese Seite müsste deshalb NACH der Seite Umwandeln eines "Bruchs in eine Dezimalzahl" dran kommen.
Nish 2015-07-07 17:32:11
Hast recht. Ich werde es bei Gelegenheit ändern. Generell muss der ganze Kurs nochmals überarbeitet werden.
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