Das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz gilt dann, wenn man

  • die einzelnen Elementen in ihrer Reihenfolge vertauschen kann,

ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert.

Daher ist das Kommutativgesetz erfüllt

nicht aber bei der Subtraktion und der Division.

Anwendungen und Beispiele

Kommutativgesetz der Addition

Auf die Addition angewendet besagt das Kommutativgesetz:

In einer Summe kann man die Summanden in ihrer Reihenfolge beliebig vertauschen, ohne dass sich am Wert der Summe etwas ändert.

Man sagt auch: "Die Addition ist kommutativ".

Beispiele

  • mit natürlichen Zahlen:

%%5+2=7%% und ebenso %%2+5=7%%

  • mit negativen Zahlen:

%%(-8)+(-2)=-10%% und ebenso %%(-2)+(-8)=-10%%

  • mit positiven und negativen Zahlen:

%%(-6)+(+4)=-2%% und ebenso %%(+4)+(-6)=-2%%

  • mit Brüchen:

%%\frac{1}{4} + \frac{5}{8}=\frac{7}{8}%% und ebenso %%\frac{5}{8} + \frac{1}{4}=\frac{7}{8}%%

  • usw.

Das Kommtutativgesetz der Addition gilt natürlich nicht nur beim Rechnen mit Zahlen, sondern auch beim Rechnen mit Variablen:

  • %%a+b=b+a%%

  • %%3x+8+15x+20\underset{\text{(Kommutativgesetz)}}{=}3x+15x+8+20=18x+28%%

Kommutativgesetz der Addition im Alltag

Das Kommutativgesetz der Addition ist von der alltäglichen Erfahrung her vertraut und selbstverständlich:

Wenn man zum Beispiel in eine Tüte erst drei Äpfel hineinlegt, und danach noch zwei weitere Äpfel hinzufügt,
sind in der Tüte natürlich genauso viele Äpfel, als wie wenn man erst die zwei Äpfel hineingelegt hätte, und danach die drei Äpfel hinzugefügt hätte.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7813_ih40awk2OG.xml

Das Bild zeigt es mit bunten Kugeln:
%%3+2%% ist natürlich dasselbe wie %%2+3%%
- beide Male kommt %%5%% heraus.

Kommutativgesetz der Addition als Rechenvorteil

in Arbeit

Kommutativgesetz der Addition bei negativen Zahlen

Kommutativgesetz bei der Multiplikation

Auf die Mulitplikation angewendet besagt das Kommutativgesetz:

In einem Produkt kann man die Faktoren in ihrer Reihenfolge beliebig vertauschen, ohne dass sich der Wert des Produkts ändert.

Man sagt auch: Die Multiplikation ist kommutativ.

$$a \cdot b = b \cdot a$$

Beispiele

  • mit natürlichen Zahlen :

%%5 \cdot 2=10%% und ebenso %%2\cdot 5= 10%%

  • mit negativen Zahlen:

%%(-8)\cdot(-2)=16%% und ebenso %%(-2)\cdot(-8)=16%%

Ein Schüler soll die Fläche eines Papierblattes berechnen. Das Blatt ist  %%20\text{cm}%% lang und %%30\text{cm}%%  breit. Die Formel für die Fläche ist: %%\text{Fläche}=\text{Länge}\cdot\text{Breite}%%. Nach dem Kommutativgesetz kann der Schüler aber auch %%\text{Fläche}=\text{Breite}\cdot\text{Länge}%% benutzen und das Ergebnis bleibt gleich.

%%\text{Fläche}=\text{Länge}\cdot\text{Breite}%%

Setze ein.

%%\text{Fläche}=20\text{cm}\cdot30 \text{cm}=600\text{cm}^2%%

Benutze nun die andere Formel.

%%\text{Fläche}=\text{Breite}\cdot\text{Länge}%%

Setze ein.

%%\text{Fläche}=30\text{cm}\cdot20 \text{cm}=600\text{cm}^2%%

Das Ergebnis ist nach dem Kommutativgesetz gleich.

Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz im Video

In diesem Video wird unter anderem das Kommutativgesetz erklärt und mit Hilfe von Beispielen vertieft.

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