Bruchgleichungen graphisch (2/2)

Definitionslücken

Die Definitionslücken einer Funktion sind im Graphen besonders gut als senkrechte Asymptoten erkennbar. Hier zeigen die gestrichelten Linien in der Grafik die senkrechten Asymptoten, also die Stellen an denen %%f%% bzw. %%g%% nicht definiert sind.

In dem Fall rechts gibt es zwei Asymptoten, nämlich bei der %%-1%% und bei der %%3%%.

An diesen Stellen sind die Nenner der Funktionsterme gleich %%0%%. Alle anderen Werte können wir einsetzen. Für die Definitionsmenge %%D_f%% von %%f%% und für die Definitionsmenge %%D_g%% von %%g%% gilt also:

  • %%D_f=\mathbb{Q}\backslash\{-1\}%%
  • %%D_g=\mathbb{Q}\backslash\{3\}%%

Graphen Schnittpunkt Bruchgleichung

Also ist die Definitionsmenge der Gleichung %%D=\mathbb{Q}\backslash\{-1,3\}%%.

Lösung der Gleichung

Gesucht ist die Lösung von %%f(x)=g(x)%% mit

%%f(x)=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle {x+1}}%% und %%g(x)=-\frac{\displaystyle 9} {\displaystyle {x-3}}%%.

Bestimmst du den Schnittpunkt der Graphen, erhälst du auch gleichzeitig die Lösung der Gleichung.

An den Graphen von oben kannst du den Schnittpunkt bestimmen, dieser liegt bei %%P=\left(0\ |\ 3\right)%%. Es liegen keine weiteren Schnittpunkte vor.

Lese nun die %%x%%-Koordinate von dem Schnittpunkt ab, diese ist die Lösung der Gleichung. Bei dem Beispiel ist %%x_{p}=0%% die %%x%%-Koordinate von %%P%%. Dieser ist in der Definitionsmenge %%D%% enthalten und somit tatsächlich eine Lösung der Gleichung.

Probe

Du kannst die Lösung rechnerisch nachweisen, indem du den Wert einsetzt:

  • %%f(0)=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle {0+1}}=\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle {1}}=3%%
  • %%g(0)=-\frac{\displaystyle 9} {\displaystyle {0-3}}=\frac{\displaystyle -9}{\displaystyle {-3}}=3%%

Die %%x%%-Koordinate des Schnittpunkts ist die Lösung der Gleichung.

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