Aufgaben zum Ableiten von Wurzelfunktionen

Leite folgende Funktionen ab.

$f(x)=\sqrt[3]{x}$

$g(x)=\sqrt[4]{x^5}$

$h(x)=8 \cdot \sqrt[4]{x^3}$

$k(x)=\sqrt{9x^3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelfunktion

$\displaystyle k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{9x^3}$
	↓	Forme die Wurzelfunktion in eine rationale Potenzfunktion um.
	$=$	$\displaystyle \left(9x^3\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleichem Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle 9^{\frac{1}{2}}\cdot\left(x^3\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{9}\cdot\left(x^3\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Radiziere $9$ .
	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(x^3\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu mehrfachen Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot x^{3\cdot\frac{1}{2}}$
	↓	Multipliziere im Exponenten.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot x^{\frac{3}{2}}$

$\displaystyle k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{9x^3}$
	↓	Teile den Wurzelterm auf.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{9}\cdot\sqrt{x^3}$
	↓	Radiziere $9$ .
	$=$	$\displaystyle 3\cdot\sqrt{x^3}$
	↓	Forme die Wurzelfunktion in eine Potenzfunktion mit rationalem Exponenten um.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(x^3\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu mehrfachen Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot x^{3\cdot\frac{1}{2}}$
	↓	Verrechne den Exponenten.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot x^{\frac{3}{2}}$

$\displaystyle k´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1^{ }}{2}}$
	↓	Multipliziere die Faktoren $3$ und $\dfrac32$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{9}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{9}{2}\cdot\sqrt{x}$

Die Ableitung von $k(x)=\sqrt{9x^3}$ ist also $k'(x)=\dfrac{9}{2} \cdot \sqrt{x}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}$
	↓	Da der Exponent negativ ist, kannst du den Term mit dem Potenzgesetz für negative Exponenten in einen Bruch umformen.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$
	↓	Multipliziere die beiden Brüche.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3\cdot\sqrt[3]{2}}$

$\displaystyle g´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{4}\cdot x^{\frac{5}{4}-1}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{4}\cdot x^{\frac{1}{4}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{4}\sqrt[4]{x}$

$\displaystyle h´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 8\cdot\frac{3}{4}\cdot x^{\frac{3}{4}-1}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\displaystyle 8\cdot\frac{3}{4}\cdot x^{-\frac{1}{4}}$
	↓	Zieh den Faktor $8$ auf den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{8\cdot3}{4}\cdot x^{-\frac{1}{4}}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{24}{4}\cdot x^{-\frac{1}{4}}$
	↓	Kürze den Bruch mit dem Faktor $4$ .
	$=$	$\displaystyle 6\cdot x^{-\frac{1}{4}}$
	↓	Da der Exponent negativ ist, kannst du den Term mit dem Potenzgesetz zu negativen Exponenten in einen Bruch umformen.
	$=$	$\displaystyle 6\cdot\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\displaystyle 6\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$
	↓	Ziehe den Faktor $6$ in den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{\sqrt[4]{x}}$