Aufgaben zum Ableiten von Wurzelfunktionen

Hier findest du Aufgaben, in denen du die Ableitung von Wurzelfunktionen lernen und vertiefen kannst.

Leite folgende Funktionen ab.

$f(x)=\sqrt[3]{x}$

$g(x)=\sqrt[4]{x^5}$

$h(x)=8 \cdot \sqrt[4]{x^3}$

$k(x)=\sqrt{9x^3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelfunktion

Forme die Wurzelfunktion in eine Potenzfunktion mit rationalen Exponenten um und leite sie dann ab.

Umformen der Funktion

1. Möglichkeit

$\displaystyle k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{9x^3}$
	↓	Forme die Wurzelfunktion in eine rationale Potenzfunktion um.
	$=$	$\displaystyle \left(9x^3\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zur Multiplikation bei gleichem Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle 9^{\frac{1}{2}}\cdot\left(x^3\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{9}\cdot\left(x^3\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Radiziere $9$ .
	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(x^3\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu mehrfachen Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot x^{3\cdot\frac{1}{2}}$
	↓	Multipliziere im Exponenten.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot x^{\frac{3}{2}}$

2. Möglichkeit

$\displaystyle k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{9x^3}$
	↓	Teile den Wurzelterm auf.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{9}\cdot\sqrt{x^3}$
	↓	Radiziere $9$ .
	$=$	$\displaystyle 3\cdot\sqrt{x^3}$
	↓	Forme die Wurzelfunktion in eine Potenzfunktion mit rationalem Exponenten um.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(x^3\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Wende das Potenzgesetz zu mehrfachen Exponenten an.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot x^{3\cdot\frac{1}{2}}$
	↓	Verrechne den Exponenten.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot x^{\frac{3}{2}}$

Bilden der Ableitung

Leite ab mit der Ableitungsregel zu Potenzfunktionen.

$\displaystyle k´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1^{ }}{2}}$
	↓	Multipliziere die Faktoren $3$ und $\dfrac32$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{9}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{9}{2}\cdot\sqrt{x}$

Die Ableitung von $k(x)=\sqrt{9x^3}$ ist also $k'(x)=\dfrac{9}{2} \cdot \sqrt{x}$ .

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Bestimme die Ableitung der nachfolgenden Funktionen mithilfe der Kettenregel.

$f(x) = \sqrt{x^2+1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

In dieser Aufgabe sollst du eine verkettete Wurzelfunktion mithilfe der Kettenregel ableiten.

Lösungsvariante 1: Ableiten nach Anwendung der Potenzgesetze

In dieser Lösungsvariante wirst du das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten nutzen, um die Wurzelfunktion als Potenz zu schreiben. Im Anschluss wirst du sie mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel ableiten.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x^{2+1}}$
	↓	Schreibe die Wurzel als Potenz um.
	$=$	$\displaystyle \left(x^2+1\right)^{\frac{1}{2}}$

Bevor du die Kettenregel anwenden kannst, musst du die innere und die äußere Funktion erkennen:

Äußere Funktion

$\displaystyle u\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^{\frac{1}{2}}$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$\displaystyle u´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

Innere Funktion

$\displaystyle v\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+1$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$\displaystyle v´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x$

Bilde nun einen Ansatz mit der Kettenregel, um die Ableitung zu bestimmen:

$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle u´\left(v\left(x\right)\right)\cdot v´\left(x\right)$
	↓	Setze die Funktionen $u', v$ und $v'$ ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^2+1\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot2x$
	↓	Kürze den Faktor $2$ .
	$=$	$\displaystyle \left(x^2+1\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot x$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für negative Exponenten, um den ersten Faktor als Bruch zu schreiben.
	$=$	$\displaystyle \frac{x}{\left(x^2+1\right)^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten und schreibe die Potenz im Nenner als Wurzel um.
	$=$	$\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Die Ableitung der Funktion $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ ist somit $f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .

Lösungsvariante 2: Direkte Anwendung der Ableitungsregel für Wurzelfunktionen

In dieser Lösungsvariante wirst du die Ableitungsregel der Wurzelfunktion direkt mit der Kettenregel kombinieren.

$f(x) = \sqrt{x^2+1}$

Bevor du die Kettenregel anwenden kannst, musst du die innere und die äußere Funktion erkennen:

Äußere Funktion

$\displaystyle u\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x}$
	↓	Benutze die Ableitungsregel für Wurzelfunktionen.
$\displaystyle u´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$
	$=$
	$=$

Innere Funktion

$\displaystyle v\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+1$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$\displaystyle v´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x$

Bilde nun einen Ansatz mit der Kettenregel, um die Ableitung zu bestimmen:

$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle u´\left(v\left(x\right)\right)\cdot v´\left(x\right)$
	↓	Setze die Funktionen $u', v$ und $v'$ ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot2x$
	↓	Ziehe den hinteren Faktor in den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}$
	↓	Kürze den Faktor $2$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Die Ableitung der Funktion $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ ist somit $f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .

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$g(s) = \sqrt{-5s^2+4s}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

In dieser Aufgabe sollst du eine verkettete Wurzelfunktion mithilfe der Kettenregel ableiten.

Lösungsvariante 1: Ableiten nach Anwendung der Potenzgesetze

$\displaystyle g\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{-5s^2+4s}$
	↓	Schreibe die Wurzel als Potenz um.
	$=$	$\displaystyle \left(-5s^2+4s\right)^{\frac{1}{2}}$

Bevor du die Kettenregel anwenden kannst, musst du die innere und die äußere Funktion erkennen:

Äußere Funktion

$\displaystyle u\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle s^{\frac{1}{2}}$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$\displaystyle u´\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}s^{-\frac{1}{2}}$

Innere Funktion

$\displaystyle v\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle -5s^2+4s$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$\displaystyle v´\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle -10s+4$

Bilde nun einen Ansatz mit der Kettenregel, um die Ableitung zu bestimmen:

$\displaystyle g´\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle u´\left(v\left(s\right)\right)\cdot v´\left(s\right)$
	↓	Setze die Funktionen $u', v$ und $v'$ ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(-5s^2+4s\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(-10s+4\right)$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für negative Exponenten, um den mittleren Faktor als Bruch zu schreiben.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\left(-5s^2+4s\right)^{-\frac{1}{2}}}\cdot\left(-10s+4\right)$
	↓	Ziehe den zweiten Faktor in den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{-10s+4}{2\left(-5s^2+4s\right)^{-\frac{1}{2}}}$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten und schreibe die Potenz im Nenner als Wurzel um.
	$=$	$\displaystyle \frac{-10s+4}{2\sqrt{\left(-5s+4s\right)}}$
	↓	Klammere den gemeinsamen Faktor $2$ im Zähler aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\left(-5s+2\right)}{2\sqrt{\left(-5s^2+4s\right)}}$
	↓	Kürze den Faktor $2$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{-5s+2}{\sqrt{-5s^2+4s}}$

Die Ableitung der Funktion $g(s) = \sqrt{-5s^2+4s}$ ist somit $g'(s)=\dfrac{-5s+2}{\sqrt{-5s^2+4s}}$ .

Lösungsvariante 2: Direkte Anwendung der Ableitungsregel für Wurzelfunktionen

In dieser Lösungsvariante wirst du die Ableitungsregel der Wurzelfunktion direkt mit der Kettenregel kombinieren.

$g(s) = \sqrt{-5s^2+4s}$

Bevor du die Kettenregel anwenden kannst, musst du die innere und die äußere Funktion erkennen:

Äußere Funktion

$\displaystyle u\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{s}$
	↓	Benutze die Ableitungsregel für Wurzelfunktionen.
$\displaystyle u´\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{s}}$

Innere Funktion

$\displaystyle v\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle -5s^2+4s$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$\displaystyle v´\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle -10s+4$

Bilde nun einen Ansatz mit der Kettenregel, um die Ableitung zu bestimmen:

$\displaystyle g´\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle u´\left(v\left(s\right)\right)\cdot v´\left(s\right)$
	↓	Setze die Funktionen $u', v$ und $v'$ ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{-5s^2+4s}}\cdot\left(-10s+4\right)$
	↓	Ziehe den zweiten Faktor in den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{-10s+4}{2\sqrt{-5s^2+4s}}$
	↓	Klammere den gemeinsamen Faktor 222 im Zähler aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\left(-5s+2\right)}{2\sqrt{-5s^2+4s}}$
	↓	Kürze den Faktor $2$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{-5s+2}{\sqrt{-5s^2+4s}}$

Die Ableitung der Funktion $g(s) = \sqrt{-5s^2+4s}$ ist somit $g'(s)=\dfrac{-5s+2}{\sqrt{-5s^2+4s}}$ .

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$h(t) = \sqrt[3]{t^2-t-1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

In dieser Aufgabe sollst du eine verkettete Wurzelfunktion mithilfe der Kettenregel ableiten. Du wirst das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten nutzen, um die Wurzelfunktion als Potenz zu schreiben. Im Anschluss wirst du sie mit der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen und der Kettenregel ableiten.

\displaystyle h\left(t\right)

=

\displaystyle \sqrt[3]{t^2-t-1}

↓

Schreibe die Wurzel als Potenz um.

=

\displaystyle \left(t^2-t-1\right)^{\frac{1}{3}}

Bevor du die Kettenregel anwenden kannst, musst du die innere und die äußere Funktion erkennen:

Äußere Funktion

$\displaystyle u\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle t^{\frac{1}{3}}$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$\displaystyle u´\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}t^{-\frac{2}{3}}$

Innere Funktion

$\displaystyle v\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle t^2-t-1$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$\displaystyle v´\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle 2t-1$

Bilde nun einen Ansatz mit der Kettenregel, um die Ableitung zu bestimmen:

$\displaystyle h´\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle u´\left(v\left(t\right)\right)\cdot v´\left(t\right)$
	↓	Setze die Funktionen $u', v$ und $v'$ ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left(t^2-t-1\right)^{-\frac{2}{3}}\cdot\left(2t-1\right)$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für negative Exponenten, um den mittleren Faktor als Bruch zu schreiben.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3\left(t^2-t-1\right)^{\frac{2}{3}}}\cdot\left(2t-1\right)$
	↓	Ziehe den zweiten Faktor in den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{2t-1}{3\left(t^2-t-1\right)^{\frac{2}{3}}}$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten und schreibe die Potenz im Nenner als Wurzel um.
	$=$	$\displaystyle \frac{2t-1}{3\sqrt[3]{\left(t^2-t-1\right)^2}}$

Die Ableitung der Funktion $h(t) = \sqrt[3]{t^2-t-1}$ ist somit $h'(t)= \dfrac{2t-1}{3\sqrt[3]{\left(t^2-t-1\right)^2}}$ .

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$k(z) = \dfrac{-3}{\sqrt{3z^2+3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel

$\displaystyle k\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{-3}{\sqrt{3z^2+3}}$
	↓	Schreibe die Wurzel im Nenner als Potenz um.
	$=$	$\displaystyle \frac{-3}{\left(3z^2+3\right)^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für negative Exponenten, um den Nenner umzuformen.
	$=$	$\displaystyle -3\left(3z^2+3\right)^{-\frac{1}{2}}$

Bevor du die Kettenregel anwenden kannst, musst du die innere und die äußere Funktion erkennen:

Äußere Funktion

$\displaystyle u\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle -3z^{-\frac{1}{2}}$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$\displaystyle u´\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}z^{-\frac{2}{3}}$

Innere Funktion

$\displaystyle v\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle 3z^2+3$
	↓	Benutze die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
$\displaystyle v´\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle 6z$

Bilde nun einen Ansatz mit der Kettenregel um die Ableitung zu bestimmen:

$\displaystyle k´\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle u´\left(v\left(z\right)\right)\cdot v´\left(z\right)$
	↓	Setze die Funktionen $u', v$ und $v'$ ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}\left(3z^2+3\right)^{-\frac{3}{2}}\cdot6z$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für negative Exponenten, um den mittleren Faktor als Bruch zu schreiben.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2\left(3z^2+3\right)^{\frac{3}{2}}}\cdot6z$
	↓	Ziehe den zweiten Faktor in den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{18z}{2\left(3z^2+3\right)^{\frac{3}{2}}}$
	↓	Nutze das Potenzgesetz für allgemeine Brüche im Exponenten und schreibe die Potenz im Nenner als Wurzel um.
	$=$	$\displaystyle \frac{18z}{2\sqrt{\left(3z^2+3\right)^3}}$
	↓	Kürze den Faktor $2$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{9z}{\sqrt{\left(3z^2+3\right)^3}}$

Die Ableitung der Funktion $k(z) = \dfrac{-3}{\sqrt{3z^2+3}}$ ist somit $k'(z)=\dfrac{9z}{\sqrt{\left(3z^2+3\right)^{3}}}$ .

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Umformen der Funktion

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Lösungsvariante 2: Direkte Anwendung der Ableitungsregel für Wurzelfunktionen

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$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}$
	↓	Da der Exponent negativ ist, kannst du den Term mit dem Potenzgesetz für negative Exponenten in einen Bruch umformen.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$
	↓	Multipliziere die beiden Brüche.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3\cdot\sqrt[3]{2}}$

$\displaystyle g´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{4}\cdot x^{\frac{5}{4}-1}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{4}\cdot x^{\frac{1}{4}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{4}\sqrt[4]{x}$

$\displaystyle h´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 8\cdot\frac{3}{4}\cdot x^{\frac{3}{4}-1}$
	↓	Vereinfache den Exponenten.
	$=$	$\displaystyle 8\cdot\frac{3}{4}\cdot x^{-\frac{1}{4}}$
	↓	Zieh den Faktor $8$ auf den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{8\cdot3}{4}\cdot x^{-\frac{1}{4}}$
	↓	Vereinfache den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{24}{4}\cdot x^{-\frac{1}{4}}$
	↓	Kürze den Bruch mit dem Faktor $4$ .
	$=$	$\displaystyle 6\cdot x^{-\frac{1}{4}}$
	↓	Da der Exponent negativ ist, kannst du den Term mit dem Potenzgesetz zu negativen Exponenten in einen Bruch umformen.
	$=$	$\displaystyle 6\cdot\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$
	↓	Der Bruch im Exponenten ergibt nach Anwendung des Potenzgesetzes für rationale Exponenten wieder eine Wurzel.
	$=$	$\displaystyle 6\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$
	↓	Ziehe den Faktor $6$ in den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{\sqrt[4]{x}}$