Definitions- und Wertebereich

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Der Wertebereich

Der Wertebereich einer quadratischen Funktion gibt alle möglichen y-Werte an, die die Funktion annehmen kann.

Scheitelpunkt bestimmen

Um den Wertebereich einer quadratischen Funktion ermitteln zu können, muss man zunächst feststellen, ob der Scheitelpunkt der Funktion ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist, um zu sehen, ob der Parameter a positiv oder negativ ist.

Parabel der Funktion $f\left(x\right)=a\cdot x^2$

Wertebereich bestimmen

Ist der Scheitelpunkt ein Tiefpunkt, kann die Parabel alle y-Werte annehmen, die größer oder gleich dem y-Wert des Scheitelpunkts sind.

Parabel der Funktion $f\left(x\right)=x^2-1$

Beispiel 1

Der Scheitelpunkt einer Parabel liegt bei (O/-1).

Wir kennen außerdem den Funktionsterm oder können an dem Graphen ablesen, dass der Parameter a größer als 0 ist.

Die Funktion kann demnach nur y-Werte annehmen, die größer oder gleich -1 sind.

Der Wertebereich der Funktion ist

$W=\{y\in ℝ|y\ge -1\}$

Ist der Scheitelpunkt ein Hochpunkt, kann die Parabel alle y-Werte annehmen, die kleiner oder gleich dem y-Wert des Scheitelpunkts sind.

Parabel der Funktion $f\left(x\right)=-x^2+3$

Beispiel 2

Der Scheitelpunkt einer Parabel liegt bei (0/3).

Wir kennen außerdem den Funktionsterm oder können an dem Graphen ablesen, dass der Parameter a kleiner als 0 ist.

Die Funktion kann demnach nur y-Werte annehmen, die kleiner oder gleich 3 sind.

Der Wertebereich der Funktion ist

$W=\{y\in ℝ|y\le 3\}$

Definitionsbereich

Während der Wertebereich einer quadratischen Funktion alle möglichen y-Werte angibt, die die Funktion annehmen kann, gibt der Definitionsbereich alle möglichen x-Werte einer quadratischen Funktion an und wird in einer Funktion f mit $D_f$ bezeichnet.

Bestimmen des Definitionsbereiches

Der Aufgabensteller darf den Definitionsbereich einer quadratischen Funktion beliebig einschränken.

Parabel der Funktion $f\left(x\right)=x^2$ mit dem Definitionsbereich $D_f=\{1,2,3,4,5\}$ und der zugehörigen Wertemenge.

Beispiel 3

$f\left(x\right)=x^2$

$D_f=\left\{\mathrm{1,2,3,4,5}\right\}$

Die Funktion kann also nur die x-Werte 1, 2, 3, 4, 5 annehmen.

Den Maximalen Definitionsbereich bestimmen

Wird in einer Aufgabe gefordert, den Definitionsbereich zu bestimmen, ist damit der maximale Definitionsbereich gemeint, für den die Rechenvorschriften grundsätzlich ausführbar sind.

• Eine Wurzel kann man nur für nicht negative Zahlen ziehen; $f\left(x\right)=\sqrt{x}\to D_f={ℝ}_0^{+}$

Wichtige Zahlenmengen

Anstelle von Reellen Zahlen könne auch andere Zahlenmengen wie Rationale oder Natürliche Zahlen stehen, die ihrerseits eingeschränkt werden können.

• ${ℝ}^{+}=$ alle positiven Zahlen

• ${ℝ}_0^{+}=$ alle nicht negativen Zahlen (alle positiven Zahlen und Null)

Definitionsmenge ganzrationaler Funktionen

Die Definitionsmenge ganzrationaler Funktionen ist immer $ℝ$, da alle Rechenvorschriften erfüllt werden können und die Zahlenmengen nicht eingeschränkt werden müssen.

Parabel der Funktion $f\left(x\right)=x^2$

Beispiel 4

$f\left(x\right)=x^2+6x\to D_f=ℝ$

Zusammenhang zwischen Definitions- und Wertebereich

Bestimmt man einen Definitionsbereich, bzw. einen Wertebereich erfolgt dies stets in Abhängigkeit des jeweils anderen.

Beispiel 5

In Beispiel 3 haben wir gelernt, dass der Definitionsbereich vom Aufgabensteller beliebig eingeschränkt werden darf.

Ist der Definitionsbereich einer quadratischen Funktion also $D_f=\{1,2,3,4,5\}$ , kann die Funktion auch nicht eine beliebige Wertemenge haben, auch, wenn es mit einem uneingeschränkten Definitionsbereich so wäre.

Da die Funktion nur die x-Werte 1, 2, 3, 4, 5 annehmen kann, kann man auch nur diese Werte in die Funktion einsetzen.

$f\left(1\right)=1^2\to 1$

$f\left(2\right)=2^2\to 4$

$f\left(3\right)=3^2\to 9$

$f\left(4\right)=4^2\to 16$

$f\left(5\right)=5^2\to 25$

Demnach ist der Wertebereich der Funktion $W=\{1,2,3,4,5\}.$

(Den Graphen mit der Definitions-, bzw. Wertemenge findest du in Beispiel 3.)

Umgekehrt beeinflusst der Wertebereich den Definitionsbereich allerdings nicht, da die y-Werte erst durch die Verarbeitung der x-Werte entstehen.