Aufgaben zum Parallelogramm

$36{\text{cm}}^2=g_2\cdot 8\text{cm}|:8\text{cm}$

$g_2=\mathrm{4,5}\text{cm}$

Das Parallelogramm ist dann ein Rechteck. Falls alle Seiten des Parallelogramms gleich groß sind, als Sonderfall ein Quadrat.

Da $a$ und $b$ unverändert bleiben, ist $h_b$ nur noch halb so groß (ein Drittel, ein Viertel), wenn sich $h_a$ entsprechend ändert.

Ergebnis:

Die neue Höhe $h_b^{\prime }$ wird um $${\displaystyle \frac{a}{b}\text{LE}}$$ kleiner. Nur wenn gilt: $a=b$, d.h. wenn das Parallelogramm eine Raute ist, würde auch $h_b$ gerade um $1\text{LE}$ kleiner werden.

Das gleiche gilt, wenn - falls dies überhaupt möglich ist - $h_a$ um $2\text{LE}$ oder $3\text{LE}$ kleiner wird.

Die gesuchten Winkelgrößen des Parallelogramms sind $88°$ und $92°$ .

Die gesuchten Winkelmaße des Parallelogramms betragen $60°$ und $120°$.

Die gesuchten Winkelmaße des Parallelogramms betragen $80°$ und $100°$.

$A_{ABCD}=2cm\cdot 6cm=12c{m}^2$

$A_{\mathrm{\Delta }ABE}=\frac{1}{2}\cdot 2cm\cdot 4cm=4c{m}^2$

$A_V=2\cdot 16c{m}^2=32c{m}^2$

Berechnung über Parallelogrammflächen

$A_X=4\cdot 5\text{LE}\cdot 13\text{LE}-\mathrm{12,5}\text{FE}$

$A_X=\mathrm{247,5}\text{FE}$

Berechnung ohne Parallelogrammflächen (Subtraktionsverfahren)

Bei komplizierteren Figuren berechnet man den Flächeninhalt oft nicht dadurch, dass man sie sich aus Teilfiguren zusammengesetzt denkt und deren Flächen addiert, sondern dadurch, dass man "über die Figur hinaus schaut". Man denkt sich dann die Figur in eine größere, aber leicht berechenbare Figur "eingebettet" und subtrahiert von dieser zu großen Fläche die kleineren und oft ebenfalls leicht berechenbaren Restflächen.

Für unsere Figur geht das so:

Denke dir den Buchstaben in ein Rechteck eingebettet und ziehe von dessen Fläche zwei Quadratflächen ab.

Dies ist das Ergebnis:

$\begin{array}{ll}{A}_X& =\underset{Rechtecksfl\ddot{a}che}{\underbrace{26\text{LE}\cdot 31\text{LE}}}-\underset{QuadratmitDiagonale26LE}{\underbrace{26\text{LE}\cdot 13\text{LE}}}-\underset{QuadratmitDiagonale21LE}{\underbrace{21\text{LE}\cdot \mathrm{10,5}\text{LE}}}\\ & =806\text{FE}-338\text{FE}-\mathrm{220,5}\text{FE}\\ & =\mathrm{247,5}\text{FE}\end{array}$

Die Lösung kannst du im folgenden Spoiler nachvollziehen.

$\phantom{A_{ABCD}}=96c{m}^2$

Da der Punkt D auf dem Thaleskreis über $[AB]$ liegt, ist das Dreieck $ABD$ rechtwinklig.

Die Kathetenlängen sind $10cm$ und $6cm$.

$A_{ABCD}=2\cdot A_{\mathrm{\Delta }ABD}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot 6cm\cdot 10cm$

$\phantom{A_{ABCD}}=60c{m}^2$

$\overline{BE}$ ist die Höhe $h$ zur Seite $[AB]$.

Damit gilt:

Für diese Aufgabe benötigst du - je nach Lösungsweg - Grundwissen über die Determinante oder über das Kreuzprodukt.

$A(1|\mathrm{1,5});B(4|-1);C(5|\mathrm{2,5})$

Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten. Es ist nicht nötig, das Parallelogramm aus den angegeben Punkt zu konstruieren, da es nur zwei Vektoren benötigt, um die Fläche zu berechnen. Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Parallelogramm aufspannen, und berechne diese Vektoren.

Auch hier ist es egal, welche Ecke man wählt, da die Parallelogrammfläche stets das Doppelte der gewählten Dreiecksfläche ist.

$\overrightarrow{BA}=\left(\begin{array}{c}1-4\\ \mathrm{1,5}-(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ \mathrm{2,5}\end{array}\right)$

$\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c}5-4\\ \mathrm{2,5}-(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)$

1. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( $\mathrm{\alpha }$ ) oder setze um die Determinante einen Betrag.

Wichtig: KEIN $\frac{1}{2}$!

Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.

$\mathrm{A}=\left|\left|\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{BA}}& \overrightarrow{\mathrm{BC}}\end{array}\right|\right|=\left|\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{BC}}& \overrightarrow{\mathrm{BA}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ \mathrm{3,5}& \mathrm{2,5}\end{array}\right|=\mathrm{2,5}+\mathrm{10,5}=13FE$

2. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt

Bette die Zeichenebene in den ${ℝ}^3$ ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag $0$ hinzugefügt wird.

Berechne nun das Kreuzprodukt $\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}$. Das Ergebnis ist ein zu $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ aufgespannten Parallelogramms entspricht.

$a=\mathrm{3,5}\text{ LE}$

$c=6\text{ LE}$

$h=\mathrm{3,5}\text{ LE}$

Lies die Längen der Seiten und der Höhe aus der Zeichnung ab um den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen.

$A_{Trapez}=\frac{1}{2}(a+c)\cdot h$

$A_{Trapez}=\frac{1}{2}(\mathrm{3,5}+6)\cdot \mathrm{3,5}$$\approx \mathrm{16,625}\text{ FE}$

$A_{Dreieck}=\frac{1}{2}gh$

$A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot 5\text{ LE}\cdot 2\text{ LE}=5{\text{ LE}}^2$

Lies die Länge der Grundseite und der Höhe des Dreiecks an der Zeichnung ab und berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks.