Flächenberechnung

Vektoren können auch hilfreich sein, um den Flächeninhalt von Dreiecken und anderen Figuren auszurechnen.

Flächenberechnung an einem Dreieck

Bei drei gegebenen Punkten %%A%%, %%B%% und %%C%% eines Dreiecks %%\triangle ABC%% bestimmst du zuerst zwei Verbindungsvektoren %%\vec v%% und %%\vec w%%.

Flächen1

Jetzt kann der Flächeninhalt des Dreiecks %%\triangle ABC%% mit folgender Formel berechnet werden:

$$F = \frac12 \cdot \begin{vmatrix} w_1 & v_1 \\ w_2 & v_2 \end{vmatrix}$$

Dabei ist %%||%% die Determinante von %%\vec w%% und %%\vec v%%. Die Reihenfolge der beiden Vektoren ist vorgegeben: entgegen dem Uhrzeigersinn.

Falls man die Vektoren in der falschen Reihenfolge einträgt, erhält man ein negatives Ergebnis.

Alternative Methode

Du kannst in manchen Fällen darauf verzichten, auf die Reihenfolge der Vektoren zu achten, indem du den gesamten Term in Betragsstriche setzt:

$$F = \left| \frac12 \cdot \begin{vmatrix} w_1 & v_1 \\ w_2 & v_2 \end{vmatrix} \right| \\ \ \ \: = \left| \frac12 \cdot \begin{vmatrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2 \end{vmatrix} \right|$$

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