Inhalt des Kurses

Dieser Videokurs ist eine Einführung in das Thema Exponentialfunktion. Es werden die Themen Definition, Graph und Eigenschaften bearbeitet.

Vorkenntnisse

Du solltest dich mit Funktionen, deren Graphen und mit Potenzen auskennen.

Kursdauer

Die Videos dauern 22 Minuten. Die gesamte Berbeitungszeit des Kurses dauert 40 Minuten.

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Du hast gerade gesehen: Eine Exponentialfunktion…

• beschreibt Wachstum oder Zerfall.

• braucht man, um Epidemien, radioaktiven Zerfall oder Medikamentenabbau zu beschreiben.

• hat die Funktionsgleichung: $f(x)=b^{x}f(x)=b^x$ Die Basis $bb$ ist dabei eine positive, reelle Zahl. Allerdings ist $b\mathrm{\ne }1b\backslash neq1$.

Bei Exponentialfunktionen kommt die Variable (z.B. $xx$) immer im Exponenten vor.

10:03 min, Wachstum und Zerfall

Ist am Anfang eines Wachstums mehr als nur ein Mensch/Bakterium/etc. vorhanden, so erweitert man die Exponentialfunktion zu $N_0\cdot b^{x}N\_0\; \backslash cdot\; b^x$. (Man streckt die Funktion dabei um $N_{0}N\_0$ in $yy$-Richtung.) $N_{0}N\_0$ gibt den Stand am Anfang des Wachstums an.

Manchmal wird die Exponentialfunktion $f(x)=N_0\cdot b^{x}f(x)=N\_0\backslash cdot\; b^x$ auch als $N(t)=N_0\cdot b^{t}N(t)=N\_0\; \backslash cdot\; b^t$ geschrieben. Das ist aber nur eine andere Schreibweise, bei der die Variable $tt$ (statt $xx$) verwendet wird.

Gelegentlich ist der Parameter $bb$ auch in Prozent angegeben. Hier musst du die Prozentzahl in Dezimalzahlen umrechnen.

Versuche nun in den folgenden Aufgaben, ein paar der Eigenschaften der Exponentialfunktion selbst herauszufinden. Entscheide jeweils, welche Antworten richtig sind. Wenn du dir unsicher bist, kannst du das unten stehende Applet benutzen, um verschiedene Funktionen auszuprobieren.

(Falls du diese Seite über $\alpha \backslash alpha$-Lernen erreicht hast, kommst du hier wieder zurück.)

Benutze das Applet, um Eigenschaften der Exponentialfunktion und die richtigen Antworten herauszufinden.

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Du hast vielleicht folgende Eigenschaften von $N(t)=b^{t}N(t)=b^t$ (b>0) herausgefunden:

• Parameter $bb$: für Zerfall für $b=1:N(t)=1^t=1\Rightarrow keineExponentialfunktionb=1:\; \backslash ;\; N(t)=1^t=1\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;keine\backslash ;Exponentialfunktion$ für $b>1:b>1:\; \backslash ;$ Wachstum Man nennt $bb$ daher Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor

Bedenke: Wie jede Funktion kann man auch die Exponentialfunktion $f(x)=b^{x}f(x)=b^x$

• verschieben

• stauchen und strecken

• spiegeln

So kannst du z.B. mit dem Faktor $N_{0}N\_0$ die Funktion stauchen bzw. spiegeln.

4:24 min , Funktionsgraphen der Exponentialfunktionen.

Beschreibe die Eigenschaften der Funktion $f(x)=3\cdot 4^{x}f(x)=3\backslash cdot4^x$ und skizziere sie.

Lösung:

• Die Funktion hat die Variable x im Exponenten. Es ist also eine Exponentialfunktion.

• Der Vorfaktor $33$ ist positiv. Die Funktion hat nur positive Funktionswerte.

• Der Faktor $bb$ ist $44$ und somit größer als $11$. Die Funktion steigt und ist sogar streng monoton steigend.

• Wenn man in den Funktionsterm $00$ einsetzt, erhält man $f(0)=3f(0)=3$. Die Funktion geht also durch den Punkt $(0\mathrm{\mid }3)(0|3)$

Hier findest du ein paar Aufgaben zu dem Funktionsgraphen von Exponentialfunktionen. Am Ende des Kurses findest du weitere Aufgaben zu Exponentialfunktionen.

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Merke:

Das heißt, sie wächst insbesondere schneller als jede lineare oder quadratische Funktion.

Exponentialfunktion: $f(x)=b^{x}f(x)=b^x$ Die Basis $bb$ ist dabei eine positive, reelle Zahl. Allerdings ist $b\mathrm{\ne }1b\backslash neq1$. Mathematisch: $b\in {\mathbb{R}}^{+}\mathrm{\backslash }\left\{1\right\}b\backslash in\backslash mathbb\{R\}^+\backslash backslash\backslash left\backslash \{1\backslash right\backslash \}$

Wie gewohnt kann man eine Exponentialfunktion verschieben, strecken oder stauchen. Oft wird die Funktion zusätzlich um den Faktor $N_{0}N\_0$ in y-Richtung gestreckt. Man schreibt dann $N(x)=N_0\cdot b^{x}N(x)=N\_0\; \backslash cdot\; b^x$.

Hinweis: Gleichungen, bei denen eine Variable im Exponenten vorkommt (z.B. $2^x=12\backslash ;2^x=12$), kannst du rechnerisch noch nicht lösen.Hierzu benötigst du den Logarithmus.

Weitere Übungsaufgaben zum Thema Exponentialfunktionen findest du hier:

Aufgaben zu Exponentialfunktionen