Aufgaben zu Exponentialfunktionen

1

Wähle richtige Antworten aus.

a

Die Exponentialfunktion in ihrer einfachsten Form f(x)=2xf(x) = 2^x

b

Betrachte die Exponentialfunktion f(x)=bxf(x)=b^x mit b>1b>1.

Also z.B. 3x3^x oder 4,5x4{,}5^x.

c

Gilt für die Funktion f(x)=bxf(x)=b^x, dass bb beliebige Werte größer Null annehmen kann, dann…

d

Wenn die Exponentialfunktion in der allgemeinen Form f(x)=N0bxf(x)=N_0\cdot b^x gegeben ist und für N0N_0 und bb nur positive Werte eingesetzt werden, dann…

2

Erkenne Funktionsterme

Welcher Funktionsterm gehört zum Graphen der gezeichneten Exponentialfunktion?

a

Welcher Funktionsterm passt?

b

Welcher Funktionsterm passt?

c

Welcher Funktionsterm passt?

d

Welcher Funktionsterm passt?

3

Welcher Graph gehört zum gegebenen Funktionsterm?

a

Welcher Graph gehört zu f(x)=1,52xf(x)=1{,}5\cdot2^{-x} ?

b

Welcher Graph gehört zum Funktionsterm f(x)=12(12)xf(x)=\frac12\cdot\left(\frac12\right)^{-x} ?

c

Welcher Graph gehört zu f(x)=2(12)xf(x)=\sqrt2\cdot\left(\frac1{\sqrt2}\right)^x ?

4

Beschreibe die Eigenschaften der Funktion f(x)=34xf(x)=3\cdot4^x und skizziere sie.

5

Schraffiere im Koordinatensystem alle Punkte P(x|y) im Bereich 2x+2-2\leq x\leq+2 mit folgenden Vorgaben für den y-Wert

a
b
c

0y22x0\leq y\leq2\cdot2^x und 0y2(12)x0\leq y\leq2\cdot\left(\frac12\right)^x

d

2xy42^x\leq y\leq4 und (12)x  y4\left(\frac12\right)^{x\;}\leq y\leq4

6

Bringe Exponentialfunktionen auf die Grundform f(x)=baxf(x)=b\cdot a^x und entscheide dann, ob der Graph steigend oder fallend ist.

a
b
c
d
7

Bestimme - falls möglich - die Basis der Funktion f:y=ax;Df=Rf:y=a^x;D_f=\mathbb{R} so, dass ein gegebener Punkt P auf dem Graphen von ff liegt.

a
b
c
d
e
f
8

Die Punkte A(11)A(-1\vert-1) und B(23)B(2\vert-3) sind Punkte des Graphen der Exponentialfunktion f(x)=baxf(x)=b\cdot a^x.

a

Skizziere den Graphen von ff für 2x3-2\leq x\leq3 und lies daraus einen Näherungswert für den Parameter bb ab.

b

Berechne a und b.

9

Graphisches Lösen von Exponentialgleichungen

Einführungsbeispiel

Löse die Gleichung x2=2xx^2=2^x graphisch.

Lösung

Zeichne den Graphen der Parabel f(x)=x2f(x)=x^2 und den der Exponentialfunktion e(x)=2xe(x)=2^x.

Die x-Koordinaten der gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte) beider Graphen sind die gesuchten Lösungen der Gleichung x2=2xx^2=2^x.

Die ganzzahligen Lösungen x2=2x_2=2 und x3=4x_3=4 findet man natürlich auch durch Probieren. x1x_1 (eine irrationale Zahl) als Näherungswert nur graphisch.

Oft will man nur feststellen, ob eine Gleichung überhaupt lösbar ist, oder es reichen grobe Näherungswerte der Lösungen, dann genügen für die graphische Lösung Handskizzen der Graphen. Willst du es genauer, dann verwendest du einen Funktionsplotter zum Zeichen der Graphen.

Für die anschließenden Aufgaben sollen Handskizzen genügen.

a

Löse die Exponentialgleichung x+2=2xx+2=2^x graphisch.

b

Löse die Exponentialgleichung x=2x\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x=2^x\end{array} graphisch.

c

Löse die Exponentialgleichung 2x+x  =02^x+x\;=0 graphisch.

d

Löse die Exponentialgleichung 2x+x21=02^x+x^2-1=0 graphisch.

e

Löse die Exponentialgleichung 0,52x=30,5x0{,}5\cdot2^x=3\cdot0{,}5^x graphisch und - falls du den Logarithmus schon kennst - auch rechnerisch.

10

Bringe Exponentialfunktionen auf die Grundform f(x)=bax\sf f(x)=b\cdot a^x und entscheide dann, ob der Graph steigend oder fallend ist.

a
b
c
d

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