Aufgaben zu Exponentialfunktionen

Hier findest du Verständnis- und Rechenaufgaben rund um Exponentialfunktionen. Schaffst du sie alle?

1
Finde das exponentielle Wachstum
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Lösung
Richtige Auswahl
Jeder Graph stellt ein bestimmtes Wachstum dar. Wichtig zur Unterscheidung sind:
Exponentielles Wachstum steigt monoton
Exponentielles Wachstum steigt immer schneller
2
Wähle richtige Antworten aus.
1. Die Exponentialfunktion in ihrer einfachsten Form $f(x) = 2^x$ …
  …schneidet die y-Achse.
  …verläuft durch den Punkt (2,4).
  …schneidet die x-Achse.
  …verläuft durch den Punkt (3,3).
  …hat die Form einer Parabel.
2. Betrachte die Exponentialfunktion $f(x)=b^x$ mit $b>1$ . Also z.B. $3^x$ oder $4{,}5^x$ .
  Die Funktionswerte steigen mit größer werdenden x-Werten. (streng monoton steigend)
  Je größer der Wert von b, desto steiler ist der Graph von $f\;$ für positive $x$ -Werte.
  Die Funktionswerte fallen mit größer werdenden x-Werten. (streng monoton fallend)
  Der Graph der Funktion besitzt steigende und fallende Intervalle.
  Je größer der Wert von b, desto flacher ist der Graph von $f$ für positive $x$ -Werte.
3. Gilt für die Funktion $f(x)=b^x$ , dass $b$ beliebige Werte größer Null annehmen kann, dann…
  …ist sie für $b=1$ keine Exponentialfunktion mehr.
  …fällt ihr Graph, wenn man b aus dem Intervall $]0;1[$ wählt.
  …verläuft ihr Graph immer durch den Punkt (0,1).
  … steigen ihre Funktionswerte immer mit größer werdenden x-Werten an. (streng monoton steigend)
  …kann ihr Graph die x-Achse schneiden.
4. Wenn die Exponentialfunktion in der allgemeinen Form $f(x)=N_0\cdot b^x$ gegeben ist und für $N_0$ und $b$ nur positive Werte eingesetzt werden, dann…
  …hängt es vom Faktor $N_0$ ab, an welcher Stelle die y-Achse geschnitten wird.
  …kann mit ihr Wachstum oder Zerfall beschrieben werden.
  …hängt es vom Faktor $N_0$ ab, ob der Graph der Funktion steigt oder fällt.
  …darf für $N_0$ nicht der Wert 1 gewählt werden.
  …hängt es von $N_0$ und $b$ ab, an welcher Stelle die x-Achse geschnitten wird.
3
Erkenne Funktionsterme
Welcher Funktionsterm gehört zum Graphen der gezeichneten Exponentialfunktion?
1. Welcher Funktionsterm passt?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Folgende Vorgehensweise hilft dir bei Graphen zu Exponentialfunktionen $f(x)=a\cdot b^x$ :
  Ist $b>1$ werden die Funktionswerte betragsmäßig immer größer. D.h. sie entfernen sich von der Null
  Ist $b<1$ nähern sich die Werte immer mehr an die Null an. (für größer werdende x-Werte)
  Ist $a$ positiv, hat die Funktion nur positive Werte.
  Ist $a$ negativ, hat die Funktion nur negative Werte. (Die Funktion wurde an der x-Achse gespiegelt.)
  In dieser Aufgabe:
  Die Funktion steigt immer steiler an (die x-Werte werden immer größer) $\Rightarrow b>1$ . Die Funktion hat nur positve Werte $\Rightarrow a>0$ . Der richtige Term ist $1\cdot4^x$ .
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2. Welcher Funktionsterm passt?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
  Folgende Vorgehensweise hilft dir bei Graphen zu Exponentialfunktionen $f(x)=a\cdot b^x$ :
  Ist $b>1$ werden die Funktionswerte betragsmäßig immer größer. D.h. sie entfernen sich von der Null
  Ist $b<1$ nähern sich die Werte immer mehr an die Null an. (für größer werdende x-Wert)
  Ist $a$ positiv, hat die Funktion nur positive Werte.
  Ist $a$ negativ, hat die Funktion nur negative Werte. (Die Funktion wurde an der x-Achse gespiegelt.)
  In dieser Aufgabe:
  Die Funktionswerte nähern sich der x-Achse $\Rightarrow 0<b<1$ . Die Funktion hat nur positve Werte $\Rightarrow a>0$ . Der richtige Term ist $\;1\cdot\left({1\over4}\right)^x$ .
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3. Welcher Funktionsterm passt?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
  Folgende Vorgehensweise hilft dir bei Graphen zu Exponentialfunktionen $f(x)=a\cdot b^x$ :
  Ist $b>1$ werden die Funktionswerte betragsmäßig immer größer. D.h. sie entfernen sich von der Null
  Ist $b<1$ nähern sich die Werte immer mehr an die Null an. (für größer werdende x-Wert)
  Ist $a$ positiv, hat die Funktion nur positive Werte.
  Ist $a$ negativ, hat die Funktion nur negative Werte. (Die Funktion wurde an der x-Achse gespiegelt.)
  In dieser Aufgabe:
  Die Funktionswerte entfernen sich von der x-Achse $\Rightarrow b>1$ . Die Funktion hat nur negative Werte $\Rightarrow a<0$ . Der richtige Term ist $-{1\over2}\cdot2^x$ .
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4. Welcher Funktionsterm passt?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Folgende Vorgehensweise hilft dir bei Graphen zu Exponentialfunktionen $f(x)=a\cdot b^x$ :
  Ist $b>1$ werden die Funktionswerte betragsmäßig immer größer. D.h. sie entfernen sich von der Null
  Ist $b<1$ nähern sich die Werte immer mehr an die Null an. (für größer werdende x-Wert)
  Ist $a$ positiv, hat die Funktion nur positive Werte.
  Ist $a$ negativ, hat die Funktion nur negative Werte. (Die Funktion wurde an der x-Achse gespiegelt.)
  In dieser Aufgabe:
  Die Funktionswerte nähern sich immer mehr an die x-Achse an $\Rightarrow 0<b<1$ . Die Funktion hat nur negative Werte $\Rightarrow a<0$ . Der richtige Term ist $-{1\over2}\cdot\left({1\over2}\right)^x$ .
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4
Welcher Graph gehört zum gegebenen Funktionsterm?
1. Welcher Graph gehört zu $f(x)=1{,}5\cdot2^{-x}$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
  Forme die Funktion um, indem du den negativen Exponenten in einen positiven umwandelst.
  $1{,}5\cdot2^{-x} =1{,}5\cdot\left({{2}^{-1}}\right)^{x} = 1{,}5\cdot\left({1 \over 2}\right)^x$
  Der Vorfaktor $1{,}5$ ist positiv und die Basis $\frac 12%$ zwischen $0$ und $1$ . Es handelt sich also um eine exponentielle Zerfallsfunktion, die komplett positiv ist (oberhalb der x-Achse liegt).
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2. Welcher Graph gehört zum Funktionsterm $f(x)=\frac12\cdot\left(\frac12\right)^{-x}$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
  Forme die Exponentialfunktion in eine einfachere Form um, indem du den negativen Exponenten vereinfachst.
  ${1\over2}\cdot\left({1\over2}\right)^{-x}={1\over2}\cdot{\left(\left({1\over2}\right)^{-1}\right)}^x={1\over2}\cdot2^x$
  Die Funktion beschreibt exponentielles Wachstum $(Basis>1)$ und hat positiven Vorfaktor $1\over2$ . Somit ist die Funktion komplett oberhalb der x-Achse und steigt mit größer werdenden x-Werten an.
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3. Welcher Graph gehört zu $f(x)=\sqrt2\cdot\left(\frac1{\sqrt2}\right)^x$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktionen
  Überprüfe, ob die Basis größer oder kleiner $1$ ist.
  $\sqrt{2}\cdot{\left(1\over{\sqrt{2}}\right)}^x$
  $\sqrt{2}\approx1{,}41$ $\Rightarrow {1\over{\sqrt{2}}}<1$
  Basis ist kleiner als $1$ . Also handelt es sich um exponentiellen Zerfall. Damit ist der Graph, der fällt, richtig.
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5
Beschreibe die Eigenschaften der Funktion $f(x)=3\cdot4^x$ und skizziere sie.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Die Funktion hat die Variable x im Exponenten. Es ist also eine Exponentialfunktion.
Der Vorfaktor $3$ ist positiv. Die Funktion hat nur positive Funktionswerte.
Der Faktor $b$ ist $4$ und somit größer als $1$ . Die Funktion steigt und ist sogar streng monoton steigend.
Wenn man in den Funktionsterm $0$ einsetzt, erhält man $f(0)=3$ . Die Funktion geht also durch den Punkt $(0|3)$
6
Schraffiere im Koordinatensystem alle Punkte P(x|y) im Bereich $-2\leq x\leq+2$ mit folgenden Vorgaben für den y-Wert
1. $0\leq y\leq2^x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
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2. $0\leq y\leq\left(\frac12\right)^x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
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3. $0\leq y\leq2\cdot2^x$ und $0\leq y\leq2\cdot\left(\frac12\right)^x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
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4. $2^x\leq y\leq4$ und $\left(\frac12\right)^{x\;}\leq y\leq4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
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7
Bestimme - falls möglich - die Basis der Funktion $f:y=a^x;D_f=\mathbb{R}$ so, dass ein gegebener Punkt P auf dem Graphen von $f$ liegt.
1. $P(2\vert2)\in f:y=a^x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  $P(2\vert2)\in f:y=a^x$
  Koordinaten von P in Funktionsgleichung einsetzen.
  $2=a^2 \mid\sqrt{ }$
  $\left|a\right|=\sqrt2\;\Leftrightarrow\;a=\pm\sqrt2$
  Der negative Wert $-\sqrt2$ kommt nicht in Frage.
  $P(2\vert2)\in f:y=\left(\sqrt2\right)^x$
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2. $P(3|\frac{1}{8})\in f:y=a^x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  $P(3\vert\frac18)\in f:y=a^x$
  Koordinaten von P einsetzen
  $\frac18=a^3$
  Beachte, dass $8=2^3$
  $\left(\frac12\right)^3=a^3$
  Gleiche Exponenten! Also: Gleiche Basen!
  $a=\frac12$
  $P(3\vert\frac18)\in f:y=\left(\frac12\right)^x$
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3. $P(0\vert2)\in f:y=a^x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Keine Funktion mit dem Funktionsterm $f(x)=a^x$ hat mit der y-Achse den Punkt $P(0\vert2)$ gemeinsam, sondern jede schneidet diese im Punkt (0|1).
  Auch der rechnerische Ansatz $2=a^0$ liefert einen Widerspruch. Also ist die Teilaufgabe nicht erfüllbar.
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  Tipp: Die Lösung verlangt keine Rechnung!
4. $P(-3\vert0{,}001)\in f:y=a^x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  $P(-3\vert0{,}001)\in y=a^x$
  Koordinaten in Funktionsgleichung einsetzen.
  $0{,}001=a^{-3}$
  Dezimalbruch als Zehnerpotenz schreiben.
  $10^{-3}=a^{-3}$
  Gleiche Exponenten! Also: gleiche Basen!
  $a=10$
  $P(-3\vert0{,}001)\in y=10^x$
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5. $P(\frac12\vert\frac14)\in f:y=a^x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  $P(\frac12\vert\frac14)\in f:y=a^x$
  Koordinaten in Funktionsgleichung einsetzen.
  $\frac14=a^\frac12$
  Gleichung quadrieren.
  $a=\frac1{16}$
  $P(\frac12\vert\frac14)\in f:y=\left(\frac1{16}\right)^x$
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6. $P(-2\vert-1)\in f:y=a^x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  $P(-2\vert-1)$ liegt unterhalb der x-Achse. Keine Funktion mit dem Funktionsterm $f(x)=a^x$ (dabei ist $a$ eine positive, reelle Zahl) liefert negative Funktionswerte. Also ist diese Teilaufgabe nicht erfüllbar.
  Auch rechnerisch erhält man keine Lösung: $-1=a^{-2}$ ist für kein a erfüllbar.
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  Tipp: Die Lösung verlangt keine Rechnung!

Die Punkte $A(-1\vert-1)$ und $B(2\vert-3)$ sind Punkte des Graphen der Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ .

Skizziere den Graphen von $f$ für $-2\leq x\leq3$ und lies daraus einen Näherungswert für den Parameter $b$ ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Der Paramter b ist die y-Koordinate des Schnittpunktes des Graphen mit der y-Achse. Ein Schätzwert ist -1,5.
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Berechne a und b.

9
Graphisches Lösen von Exponentialgleichungen
Einführungsbeispiel
Löse die Gleichung $x^2=2^x$ graphisch.
Lösung
$\underbrace{x^2}_{f(x)}=\underbrace{2^x}_{e(x)}$
Zeichne den Graphen der Parabel $f(x)=x^2$ und den der Exponentialfunktion $e(x)=2^x$ .
Die x-Koordinaten der gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte) beider Graphen sind die gesuchten Lösungen der Gleichung $x^2=2^x$ .
Die ganzzahligen Lösungen $x_2=2$ und $x_3=4$ findet man natürlich auch durch Probieren. $x_1$ (eine irrationale Zahl) als Näherungswert nur graphisch.
Oft will man nur feststellen, ob eine Gleichung überhaupt lösbar ist, oder es reichen grobe Näherungswerte der Lösungen, dann genügen für die graphische Lösung Handskizzen der Graphen. Willst du es genauer, dann verwendest du einen Funktionsplotter zum Zeichen der Graphen.
Für die anschließenden Aufgaben sollen Handskizzen genügen.
1. Löse die Exponentialgleichung $x+2=2^x$ graphisch.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Schneide den Graphen der Exponentialfunktion $x\mapsto2^x$ mit dem Graphen der linearen Funktion $x\mapsto x+2$ und löse damit graphisch die Gleichung $x+2=2^x$ .
  $\quad\quad\quad$
  Ablesen der $x$ -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen ergibt:
  Also gilt: $\mathbb{L}=$ { $-1{,}7;2$ }
  Den exakten zweiten Wert kannst du leicht du Einsetzen in die Gleichung bestätigen.
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2. Löse die Exponentialgleichung $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x=2^x\end{array}$ graphisch.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Schneide - falls möglich - den Graphen der Exponentialfunktion $e:x\mapsto 2^x$ mit der linearen Funktion $f: x \mapsto x$ und löse damit die Gleichung $x=2^x$ .
  $\quad\quad\quad$
  Die beiden Graphen haben keine Punkte gemeinsam. Deshalb hat die Gleichung $x=2^x$ keine Lösung.
  Es ist $\mathbb{L}={\;}$ { }.
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3. Löse die Exponentialgleichung $2^x+x\;=0$ graphisch.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Löse die Gleichung $2^x+x=0$ graphisch.
  $2^x+x=0$ $\;$ $\left|-x\right.$
  Forme die Gleichung um.
  $2^x=-x$
  Schneide den Graphen der Exponentialfunktion $e(x)=2^x$ mit dem Graphen der linearen Funktion $l(x)=-x$ und löse damit die Gleichung $2^x+x=0$
  Die Graphen schneiden sich in einem Punkt mit dem Näherungswert $x\approx -0{,}64$ .
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4. Löse die Exponentialgleichung $2^x+x^2-1=0$ graphisch.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  $2^x+x^2-1=0$ $\;$ $\left|1-x^2\right.$
  Stelle den Funktionsterm $2^x$ alleine auf eine Seite der Gleichung.
  $2^x=-x^2+1$
  Schneide den Graphen der Exponentialfunktion $e(x)=2^x$ mit der Parabel $p(x)=-x^2+1$ .
  Lies die $x$ -Koordinaten der Schnittpunkte aus der Zeichnung ab.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x_1\approx-0{,}57\\x_2=0\end{array}$
  Mache für $x_2$ die Rechenprobe!
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5. Löse die Exponentialgleichung $0{,}5\cdot2^x=3\cdot0{,}5^x$ graphisch und - falls du den Logarithmus schon kennst - auch rechnerisch.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Graphische Lösung
  $0{,}5\cdot2^x=3\cdot0{,}5^x$
  Schneide die Graphen der Exponentialfunktionen $e_1(x)=0{,}5\cdot2^x$ und $e_2(x)=3\cdot0{,}5^x$ .
  Lies die x-Koordinate des Schnittpunktes aus deiner Skizze ab.
  $x\approx1{,}30$
  Rechnerische Lösung
  $0{,}5\cdot2^x=3\cdot0{,}5^x$
  $0{,}5\cdot2^x=3\cdot\left(\frac12\right)^x$
  $0{,}5\cdot2^x=3\cdot\frac1{2^x}$
  Setze $2^x=u$
  $\;\;0{,}5\cdot u=\frac3u$ $\;$ $\left|\cdot u\right.$
  $0{,}5\cdot u^2=3$
  $u^2=6$ $\;$ $\mid\sqrt{}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}u_1=+\sqrt6\\u_2=-\sqrt6\end{array}$
  Nur $+\sqrt6$ kommt in Frage. Ersetze u.
  $2^x=\sqrt6$
  Löse nach x durch Logarithmieren auf.
  $\displaystyle x=\frac{\ln(\sqrt6)}{\ln(2)}$
  Jetzt ist der Taschenrechner dran.
  $x\approx1{,}29$
  Vergleiche das Rechenergebnis mit deinem graphischen Wert. Bist du zufrieden?
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Bringe Exponentialfunktionen auf die Grundform $\sf f(x)=b\cdot a^x$ und entscheide dann, ob der Graph steigend oder fallend ist.

$f(x)=8⋅2^{x-2}$

Steigend
Fallend

$g(x)=−2⋅0{,}5^{x-3}$

Steigend
Fallend

$h(x)=\frac{1}{4}⋅(\frac{1}{2})^{2x-1}$

Steigend
Fallend

$k(x)=−8⋅(\frac{1}{2})^{2-3x}$

Steigend
Fallend

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \frac{-3}{-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{b\cdot a^2}{b\cdot a^{-1}}$
	↓	$b$ kürzen und für $a$ Potenzregel anwenden
$\displaystyle a^3$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Wurzelziehen
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{3}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 8\cdot2^{x-2}$
	↓	Wende ein Potenzgesetz an und zerlege $2^{x-2}$ in ein Produkt.
	$=$	$\displaystyle 8\cdot2^x\cdot2^{-2}$
	↓	Rechne aus.
	$=$	$\displaystyle 8\cdot2^x\cdot\frac{1}{4}$
	↓	Beachte dabei den negativen Exponenten!
	$=$	$\displaystyle 2\cdot2^x$
	↓	Vereinfache weiter.

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle −2⋅0{,}5^{x-3}$
	↓	Zerlege den Potenzterm mit einer Potenzregel in ein Produkt.
	$=$	$\displaystyle −2⋅0{,}5^{-3}⋅0{,}5^x$	$\displaystyle 0{,}5^{-3}=8$
	↓	Rechne das Produkt soweit wie möglich aus.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle-16\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^x$

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2x-1}$
	↓	Zerlege den Potenzterm mit einer Potenzregel in ein Produkt.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$
	↓	Rechne negative Exponenten in positive um.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$
	↓	Zerlege den Potenzterm erneut und berechne den Rest.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]^x$
	↓	Wähle die Basis nun so, dass sich insgesamt die Form $\sf f(x)=b\cdot a^ x$ ergibt.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^x$

$\displaystyle k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -8\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2-3x}$
	↓	Zerlege den Potenzterm mit einer Potenzregel.
	$=$	$\displaystyle -8\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-3x}$
	↓	Zerlege den Potenzterm erneut.
	$=$	$\displaystyle -2\cdot\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\right]^x$
	↓	Wandle den negativen Exponenten in einen positiven um und berechne.
	$=$	$\displaystyle -2\cdot8x$

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