Hebbare Definitionslücke

Bei einer Definitionslücke handelt es sich um Punkte einer Funktion, die außerhalb des Definitionsbereichs liegen.

Der Fall einer hebbaren Definitionslücke ist dann gegeben, wenn die Vielfachheit der Nullstellen des Zähler ≥ derer des Nenners sind und sich somit durch Kürzen entfernen lassen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1712.xml — Graph der Funktion $f(x)=\frac{(x^2-1)\cdot(x-2)}{x-2}$ mit einer hebbaren Definitionslücke bei $x=2$

(Stetig) hebbare oder behebbare Definitionslücken können bei gebrochen-rationalen Funktionen vorkommen.

Es gibt eine hebbare Definitionslücke bei $x_0$ , falls $x_0$ Nullstelle des Zählers und des Nenners ist und die Vielfachheit im Zähler größer ist als die im Nenner oder die Vielfachheiten gleich groß sind (die Nullstelle sich also aus dem Nenner kürzen lässt).

An dieser Stelle ist die Funktion nicht definiert, kann aber (stetig) fortgesetzt werden, deswegen bezeichnet man die Definitionslücke als hebbar.

Schließen der Lücke (Fortsetzen)

Man kann eine Funktion $\widehat f$ aus $f$ konstruieren, mit der man die Definitionslücke $x_0$ schließt:

Beispiel

$f\left(x\right)=\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x-1}$ hat eine hebbare Definitionslücke bei $x_0=1$ .

Man kürzt die Nullstelle aus dem Bruch, sodass sie im Nenner nicht mehr vorkommt.

Dann definiert man $\widehat f\left(x_0\right)$ als den Wert, den man erhält, wenn man $x_0$ in den gekürzten Bruch einsetzt.

Man erhält $\def\arraystretch{1.25} \widehat f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\widehat f\left(x_0\right),\;\mathrm{wenn}\;x=x_0\\f\left(x\right),\;\mathrm{sonst}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}\right.$ , die Fortsetzung von f.

$\widehat f$ ist stetig.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\frac{(x-1)^2}{x-1}&=\frac{\left(x-1\right)\mathbf{{\left(x-1\right)}}}{\mathbf{\left({x-1}\right)}}=x-1\\\;\;\Rightarrow\;\;\widehat f\left(1\right)&=1-1=0\\\;\;\Rightarrow\;\;\widehat f\left(x\right)&=\left\{\begin{array}{cc}0\;&\mathrm{für}\;x=1\\\frac{\left(x-1\right)^2}{x-1}&\mathrm{für}\;\mathrm{alle}\;x\neq1\end{array}\right.\end{aligned}$

Beispiel

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1407.xml

Die Funktion $f(x)=\dfrac{3-x}{2x^2-6x}$ hat den Definitionsbereich $D_f=ℝ\backslash\left\{0;3\right\}$ .

Setzt man 3 in die Funktion ein, ergibt sich $f(3)=\dfrac{3-3}{2\cdot9-6\cdot3}=\dfrac{3-3}{18-18}=\dfrac00$ .

Wenn man faktorisiert, sieht man, dass die Nullstelle $x_0=3$ aus dem Nenner gekürzt werden kann: $\dfrac{3-x}{2x^2-6x}=\dfrac{3-x}{-2x\left(3-x\right)}$

Es handelt sich bei 3 also um eine hebbare Definitionslücke.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1409.xml

Fortsetzung von f

$3-x$ wird aus dem Nenner gekürzt: $\dfrac{\mathbf{3-x}}{-2x\cdot\mathbf{\left(3-x\right)}}=\dfrac1{-2x}$

Man setzt 3 in den gekürzten Bruch ein: $\dfrac1{-2\cdot3}=-\dfrac16$

$\def\arraystretch{1.25} \;\;\Rightarrow\;\;\widehat f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}-\frac16&\mathrm{für}\;x=3\\f\left(x\right)&\mathrm{sonst}\end{array}\right.$

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