Herleitung – Quotientenregel

Anja hat sehr ordentlich die Herleitung der Quotientenregel im Unterricht mitgeschrieben. Hier siehst du ihren Hefteintrag:

Du betrachtest eine Fuktion $f \left( x \right)$ , die ein Bruch aus zwei weiteren Funktionen $u \left( x \right)$ und $v \left( x \right)$ ist.

$f \left( x \right) =\frac{u \left( x \right)}{v \left( x \right)}$

Schreibe den Bruch als ein Produkt.
	↓
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle u\left(x\right)\cdot\left(v\left(x\right)\right)^{-1}$
	↓	Nun kannst du die Produktregel anwenden.
$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle u\left(x\right)\cdot\left(\left(v\left(x\right)\right)^{-1}\right)'+u'\left(x\right)\cdot\left(v\left(x\right)\right)^{-1}$

Im ersten Term gibt es eine Verkettung:

$\left( \left( v \left( x \right) \right)^{-1} \right)'=g\left( h \left( x \right) \right)$

Mit $g \left( h \right) = h^{-1}$ und $h \left( x \right) = v \left( x \right)$

Wende die Kettenregel an:

$\left( \left( v \left( x \right) \right)^{-1} \right)'= - v' \left(x \right) \cdot \left( v \left( x \right) \right)^{-2}$

Damit erhälst du:

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -u\left(x\right)\cdot v'\left(x\right)\cdot\left(v\left(x\right)\right)^{-2}+u'\left(x\right)\cdot\left(v\left(x\right)\right)^{-1}$
	↓	Jetzt kannst du wieder in Brüche umschreiben.
	$=$	$\displaystyle -\frac{u\left(x\right)\cdot v'\left(x\right)}{\left(v\left(x\right)\right)^2}+\frac{u'\left(x\right)}{v\left(x\right)}$
	↓	Erweitere den zweiten Term, um beide Terme auf einen Nenner zu bringen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{u\left(x\right)\cdot v'\left(x\right)}{\left(v\left(x\right)\right)^2}+\frac{u'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)}{\left(v\left(x\right)\right)^2}$
	↓	Vereine die Brüche.
	$=$	$\displaystyle \frac{-u\left(x\right)\cdot v'\left(x\right)+u'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)}{\left(v\left(x\right)\right)^2}$
	↓	Jetzt noch umformen und du hast es geschafft! :)
	$=$	$\displaystyle \frac{u'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot v'\left(x\right)}{\left(v\left(x\right)\right)^2}$

3Herleitung