Ereignis

Eine beliebige Teilmenge des Ergebnisraumes $\sf \Omega$ wird in der Stochastik als Ereignis bezeichnet.

Man sagt, ein Ereignis "tritt ein", wenn das Ergebnis eines Zufallsexperimentes ein Element dieses Ereignisses ist. Manchmal können auch mehrere Ereignisse gleichzeitig eintreten.

Beispiel

Betrachtet wird das Zufallsexperiment "Werfen eines Würfels" mit dem Ergebnisraum $\sf \Omega=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$ .

Ereignisse sind zum Beispiel:

A: "Die Augenzahl ist gerade", in Mengenschreibweise: $\sf A=\left\{2;4;6\right\}.$

B: "Die Augenzahl ist größer als 3". In diesem Fall wäre $\sf B=\left\{4;5;6\right\}.$

Wenn nun z. B. eine 2 gewürfelt wird, ist A eingetreten, nicht aber B. Wenn eine 6 gewürfelt wird, sind sowohl A als auch B eingetreten.

Nicht jedes Ereignis muss eine "sinnvolle" Interpretation (wie "Augenzahl gerade" oder "Augenzahl größer als 3") haben. Jede beliebige Teilmenge von $\sf \Omega$ ist ein Ereignis, ob man ihm nun einen "Sinn" zuschreiben kann oder nicht.

Darstellung in aufzählender Mengenschreibweise

Ein Ereignis kann man in der Form angeben, dass man einfach in Mengenklammern geschrieben die einzelnen Elemente aufzählt: Im obigen Beispiel ist das die Darstellung $\sf A=\left\{2;4;6\right\}$ bzw. $\sf B=\left\{4;5;6\right\}$ .

Interpretation eines Ereignisses

Wenn in einer Aufgabe die "Interpretation" eines Ereignisses verlangt wird, soll man für das betreffende Ereignis eine Wortformulierung finden, die den Inhalt des Ereignisses wiedergibt. Im obigen Beispiel lauten die Interpretationen

A: "Die Augenzahl ist gerade" bzw.

B: "Die Augenzahl ist größer als 3".

Ereignisraum

Die Menge aller Ereignisse bildet den Ereignisraum des Zufallsexperiments. Er ist die Menge aller möglichen Teilmengen des Ergebnisraums $\sf \Omega$. Der Ereignisraum ist also nichts anderes als die Potenzmenge der Ergebnismenge $\sf \Omega$ und wird daher oft mit $\sf \mathcal P(\Omega)$ bezeichnet.

Wenn die Mächtigkeit $\sf \left|\Omega\right|=n$ ist, so ist die Mächtigkeit der Potenzmenge $\sf |\mathcal P(\Omega)|=2^n$.

Mit anderen Worten: Wenn der Ergebnisraum $\sf \Omega$ aus $\sf n$ Elementen besteht, so gibt es $\sf 2^n$ verschiedene Ereignisse.

Beispiel

In einer Urne befinden sich eine rote, eine gelbe und eine blaue Kugel. Man zieht eine Kugel aus der Urne. Der Ergebnisraum ist dann gegeben durch: $\sf \Omega=\left\{r;g;b\right\}$.

Die Menge aller Ereignisse ist dann: $\sf \mathcal P(\Omega) = \left\{\varnothing;\left\{r\right\};\left\{g\right\};\left\{b\right\};\left\{r;g\right\};\left\{r;b\right\};\left\{g;b\right\};\left\{r;g;b\right\}\right\}$.

Das Ereignis $\sf \left\{g;b\right\}$ beschreibt "Die Farbe der Kugel ist entweder gelb oder blau".

Es gibt drei mögliche Farben für die gezogene Kugel. Der Ereignisraum enthält also $\sf 2^3=8$ Elemente.

Spezielle Ereignisse

Zu jedem Zufallsexperiment gibt es stets mindestens zwei Ereignisse: die leere Menge $\sf \varnothing$ (diese ist die Menge, die kein Element enthält), und die gesamte Menge $\sf \Omega$.

Das Ereignis $\sf A=\varnothing$ nennt man das unmögliche Ereignis, denn es tritt niemals ein (da dieses Ereignis kein Element enthält, und das Ergebnis eines Zufallsexperiments immer ein Element der Ergebnismenge sein muss).

Das Ereignis $\sf A=\Omega$ nennt man das sichere Ereignis, denn es tritt immer ("mit Sicherheit") ein.

Ereignisse, die nur ein einziges Element enthalten (im obigen Beispiel also die Ereignisse $\sf \{1\};\{2\};…;\{6\}$ ), nennt man Elementarereignisse

Bildung weiterer Ereignisse aus gegebenen Ereignissen

"A und B" (= "A und zugleich B")

Bleiben wir am Beispiel vom Werfen eines Würfels. Wenn beide Ereignisse

$\sf A$: "Die Augenzahl ist gerade", und $\sf B$: "Die Augenzahl ist größer als 3"

eintreten, muss die gewürfelte Augenzahl gerade und gleichzeitig größer als 3 sein. Die einzigen beiden Zahlen, die diese Bedingungen erfüllen sind 4 und 6.

Aus den Mengenschreibweisen $\sf A = \left\{2;4;6\right\}$ und $\sf B =\left\{4;5;6\right\}$ können wir die Schnittmenge sofort ablesen. Die einzigen Elemente, die in beiden Mengen vorkommen sind (wieder) 4 und 6.

Das Ereignis

$\sf C$: "Die Augenzahl ist ungerade",

ist mit dem Ereignis $\sf A$ unvereinbar. Keine Zahl kann gleichzeitig gerade und ungerade sein. Die Mengenschreibweise von $\sf C$ ist: $\sf C = \left\{1;3;5\right\}$. Wir können auch hier sehen, dass $\sf A$ und $\sf C$ kein gemeinsames Element enthalten.

"A oder B" (= "A oder auch B")

Bleiben wir bei unseren bekannten Ereignissen $\sf A$ und $\sf B$ so ist das Ereignis A oder B: "Die Augenzahl ist gerade oder größer als 3". In Mengenschreibweise ist dieses Ereignis

"Nicht A" (= Gegenereignis zu A)

Bei unserem Würfelwurf wäre $\sf \neg A =$ "Die Augenzahl ist nicht gerade" $\sf = C$.