Ereignis

Eine beliebige Teilmenge des Ergebnisraumes Ω\mathrm\Omega wird in der Stochastik als Ereignis bezeichnet.

Man sagt, ein Ereignis "tritt ein", wenn das Ergebnis eines Zufallsexperimentes ein Element dieses Ereignisses ist. Manchmal können auch mehrere Ereignisse gleichzeitig eintreten.

Betrachtet wird das Zufallsexperiment "Werfen eines Würfels" mit dem Ergebnisraum Ω={1;2;3;4;5;6}\Omega=\left\{1;2;3;4;5;6\right\} .

Ereignisse sind zum Beispiel:

A: "Die Augenzahl ist gerade", in Mengenschreibweise: A={2;4;6}.\mathrm A=\left\{2;4;6\right\}.

B: "Die Augenzahl ist größer als 3". In diesem Fall wäre B={4;5;6}.\mathrm B=\left\{4;5;6\right\}.

Wenn nun z. B. eine 2 gewürfelt wird, ist A eingetreten, nicht aber B. Wenn eine 6 gewürfelt wird, sind sowohl A als auch B eingetreten.

 

Nicht jedes Ereignis muss eine "sinnvolle" Interpretation (wie "Augenzahl gerade" oder "Augenzahl größer als 3") haben. Jede beliebige Teilmenge von Ω\mathrm\Omega ist ein Ereignis, ob man ihm nun einen "Sinn" zuschreiben kann oder nicht.

 

Darstellung in aufzählender Mengenschreibweise

Ein Ereignis kann man in der Form angeben, dass man einfach in Mengenklammern geschrieben die einzelnen Elemente aufzählt: Im obigen Beispiel ist das die Darstellung A={2;4;6}A=\left\{2;4;6\right\} bzw. B={4;5;6}\mathrm B=\left\{4;5;6\right\} .

 

Interpretation eines Ereignisses

Wenn in einer Aufgabe die "Interpretation" eines Ereignisses verlangt wird, soll man für das betreffende Ereignis eine Wortformulierung finden, die den Inhalt des Ereignisses wiedergibt. Im obigen Beispiel lauten die Interpretationen

A: "Die Augenzahl ist gerade" bzw.

B: "Die Augenzahl ist größer als 3".

Ereignisraum

Die Menge aller Ereignisse bildet den Ereignisraum des Zufallsexperiments. Er ist die Menge aller möglichen Teilmengen des Ergebnisraums Ω\Omega.

Der Ereignisraum ist also nichts anderes als die Potenzmenge der Ergebnismenge Ω\Omega und wird daher oft mit P(Ω)\mathcal P(\Omega) bezeichnet.

Wenn die Mächtigkeit Ω=n\left|\Omega\right|=n ist, so ist die Mächtigkeit der Potenzmenge P(Ω)=2n|\mathcal P(\Omega)|=2^n.

Mit anderen Worten: Wenn der Ergebnisraum Ω\Omega aus nn Elementen besteht, so gibt es 2n2^n verschiedene Ereignisse.

Beispiel

In einer Urne befinden sich eine rote, eine gelbe und eine blaue Kugel.

Man zieht eine Kugel aus der Urne. Der Ergebnisraum ist dann gegeben durch: Ω={r;g;b}\Omega=\left\{r;g;b\right\}. Ω\Omega enthält 3 Elemente, also Ω=3|\Omega|=3

Die Menge aller Ereignisse ist dann:

Beispielweise das Ereignis {g;b}\left\{g;b\right\} beschreibt "Die Farbe der Kugel ist entweder gelb oder blau".

Es gibt drei mögliche Farben für die gezogene Kugel. Der Ereignisraum enthält also P(Ω)=23=8|\mathcal P(\Omega)|=2^3=8 Elemente.

Spezielle Ereignisse

Zu jedem Zufallsexperiment gibt es stets mindestens zwei Ereignisse:

  1. die leere Menge \varnothing (diese ist die Menge, die kein Element enthält),

  2. und die gesamte Menge Ω\Omega (also das Ereignis, das alle Elemente des Ergebnisraums enthält).

Das Ereignis A=A=\varnothing nennt man das unmögliche Ereignis, denn es tritt niemals ein (da dieses Ereignis kein Element enthält, und das Ergebnis eines Zufallsexperiments immer ein Element der Ergebnismenge sein muss).

Das Ereignis A=ΩA=\Omega nennt man das sichere Ereignis, denn es tritt immer ("mit Sicherheit") ein.

Ereignisse, die nur ein einziges Element enthalten (im obigen Beispiel also die Ereignisse {1};{2};;{6}\{1\};\{2\};…;\{6\} ), nennt man Elementarereignisse

Bildung weiterer Ereignisse aus gegebenen Ereignissen

"A und B" (= "A und zugleich B" tritt ein)

Bildet man die Schnittmenge der beiden Ereignisse A und B, also das Ereignis E=ABE=A\cap B, so erhält man dasjenige Ereignis, das genau dann eintritt, wenn sowohl A als auch B eintreten.

Sonderfall: Unvereinbare Ereignisse

Zwei Ereignisse heißen unvereinbar (disjunkt), wenn AB=A\cap B=\varnothing ist. Es gibt dann kein Element, dass sowohl in AA also auch in BB vorkommt.

Bleiben wir am Beispiel vom Werfen eines Würfels. Wenn beide Ereignisse

AA: "Die Augenzahl ist gerade", und

BB: "Die Augenzahl ist größer als 3"

eintreten, muss die gewürfelte Augenzahl gerade und gleichzeitig größer als 3 sein. Die einzigen beiden Zahlen, die diese Bedingungen erfüllen sind 4 und 6.

Aus den Mengenschreibweisen A={2;4;6}A = \left\{2;4;6\right\} und B={4;5;6}B =\left\{4;5;6\right\} können wir die Schnittmenge ablesen. Die einzigen Elemente, die in beiden Mengen vorkommen sind (wieder) 4 und 6, also

Das Ereignis

CC: "Die Augenzahl ist ungerade",

ist mit dem Ereignis AA unvereinbar. Keine Zahl kann gleichzeitig gerade und ungerade sein. Die Mengenschreibweise von CC ist: C={1;3;5}C = \left\{1;3;5\right\}. Wir können auch hier sehen, dass AA und CC kein gemeinsames Element enthalten und somit

"A oder B" (= "A oder auch B" treten ein)

Bildet man die Vereinigungsmenge der beiden Ereignisse A und B, also das Ereignis E=ABE=A\cup B, so erhält man das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn A oder B (oder beide) eintreten.

(Das "oder" ist also nicht als "entweder - oder" zu verstehen.)

Man bezeichnet dieses Ereignis daher auch als das Ereignis "A oder B" (genauer oder besser: "A oder auch B").

Bleiben wir bei unseren bekannten Ereignissen AA und BB so ist das Ereignis A oder B: "Die Augenzahl ist gerade oder größer als 3". In Mengenschreibweise ist dieses Ereignis

"Nicht A" (= Gegenereignis zu A)

Das Gegenereignis von A besteht aus all den Elementen des Ergebnisraumes Ω\Omega, die nicht in A sind.

Dieses Gegenereignis wird oft mit ¬A\neg A (gelesen "nicht A") bezeichnet.

Bei unserem Würfelwurf wäre¬A\neg A "Die Augenzahl ist nicht gerade" und damit CC (¬A=C\neg A=C).

Übungsaufgaben

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