Aufgaben zu Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

1
Berechne jeweils:
1. $5^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $5^{3}$
  $= 5 \cdot 5 \cdot 5$
  $= 125$
  Die gesuchte Lösung ist $125$ .
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  Ein häufiger Fehler ist es, $5 \cdot 3$ zu rechnen. So ist die Potenz nicht definiert.
2. $- 5^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $- 5^{3}$
  $= - (5 \cdot 5 \cdot 5)$
  $= - 125$
  Die gesuchte Lösung ist $- 125$ .
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  Ein häufiger Fehler ist es, $5 \cdot 3$ zu rechnen. So ist die Potenz nicht definiert. Achte darauf, das Minuszeichen mit in der Lösung anzugeben.
3. ${(- 5)}^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  ${(- 5)}^{3}$
  $= (- 5) \cdot (- 5) \cdot (- 5)$
  $= - 125$
  Die gesuchte Lösung ist $- 125$ .
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  Schreibe die Potenz aus. Achte darauf, die Vorzeichen richtig zusammenzufassen.
4. $5^{- 3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $5^{- 3}$
  $= {(\frac{1}{5})}^{3}$
  $= \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$
  $= \frac{1}{125}$
  Die gesuchte Lösung ist $\frac{1}{125}$ .
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5. $- 5^{- 3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $- 5^{- 3}$
  $= - {(\frac{1}{5})}^{3}$
  $= - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$
  $= - \frac{1}{125}$
  Die gesuchte Lösung ist $- \frac{1}{125}$ .
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  Wandle zuerst den negativen Exponenten um. Das Potenzgesetz $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$ gilt hierbei.
6. ${(- 5)}^{- 3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  ${(- 5)}^{- 3}$
  $= {(- \frac{1}{5})}^{3}$
  $= (- \frac{1}{5}) \cdot (- \frac{1}{5}) \cdot (- \frac{1}{5})$
  $= - \frac{1}{125}$
  Die gesuchte Lösung ist $- \frac{1}{125}$ .
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  Wandle zuerst den negativen Exponenten um. Das Potenzgesetz $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$ gilt hierbei.
7. ${(\frac{1}{2})}^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  ${(\frac{1}{2})}^{2}$
  $= \frac{1^{2}}{2^{2}}$
  $= \frac{1}{4}$
  Die gesuchte Lösung ist $\frac{1}{4}$ .
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  Die Potenz ${(\frac{1}{2})}^{2}$ bedeutet $(\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2})$ .
2
Umgang mit Potenzen
1. Klicke die richtige Lösung an!
  ${(\frac{5}{3})}^{- 1} = 0,6$
  ${(\frac{5}{3})}^{- 1} = - \frac{5}{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  ${(\frac{5}{3})}^{- 1}$ $=$
  ↓
  Für negative Exponenten gilt: $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$
  ${(\frac{5}{3})}^{- 1}$ $=$ $\frac{1}{(\frac{5}{3})}$
  ↓
  Löse den Doppelbruch auf.
  $=$ $\frac{3}{5}$
  ↓
  Umrechnen in Dezimalzahlen.
  $=$ $0,6$
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2. Gib die Basis des Terms ${(x + 2)}^{4}$ an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $(x + 2)^{4}$
  Der Exponent ist $4$ . Die Basis ist demnach $(x + 2)$ .
  $x + 2$
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3. Was stimmt?
  ${(\frac{1}{3})}^{- 2} = 9$
  ${(\frac{1}{3})}^{- 2} = \frac{1}{9}$
  ${(\frac{1}{3})}^{- 2} = - \frac{1}{9}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  ${(\frac{1}{3})}^{- 2}$ $=$
  ↓
  Für negative Exponenten gilt: $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$
  $=$ $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2}}$
  ↓
  Berechne das Quadrat.
  $=$ $\frac{1}{\frac{1}{9}}$
  ↓
  Beseitige den Doppelbruch.
  $=$ $9$
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3
Ist das Ergebnis positiv oder negativ? Begründe deine Antwort.
${(- 18)}^{37} \cdot 2^{17} \cdot {(- 100)}^{18} \cdot {(- 3)}^{5}$
Das Ergebnis ist positiv.
Das Ergebnis ist negativ.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation
Wir bestimmen das Vorzeichen jedes einzelnen Faktors. Potenzen von positiven Zahlen sind immer positiv (+). Für negative Zahlen sind ungerade Potenzen negativ (-) und gerade Potenzen positiv (+):
$\underline{\underset{⏟}{(- 18)^{37}}} \cdot \underset{+}{\underset{⏟}{2^{17}}} \cdot \underset{+}{\underset{⏟}{(- 100)^{18}}} \cdot \underline{\underset{⏟}{(- 3)^{5}}} = +$
Das Ergebnis ist also positiv.
4
Berechne den Wert folgender Terme.
1. $2^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $2^{3}$ $=$ $2 \cdot 2 \cdot 2$
  ↓
  Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
  $2 \cdot 2 \cdot 2$ $=$ $8$
  Die Lösung ist $8$ .
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  Die Potenz $2^{3}$ ist ausgeschrieben $2 \cdot 2 \cdot 2$ .
2. $(- 2)^{4}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  ${(- 2)}^{4}$ $=$ $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$
  ↓
  Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
  $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$ $=$ $16$
  Die Lösung ist $16$ .
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  Die Potenz $(- 2)^{4}$ ist ausgeschrieben $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$ .
3. ${(\frac{1}{2})}^{4}$
  Einen Bruch kannst du mithilfe "/" in das Eingabefeld eingeben. Zum Beispiel schreibt man $\frac{1}{3}$ als "1/3".
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  ${(\frac{1}{2})}^{4}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$
  ↓
  Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
  $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ $=$ $\frac{1}{16}$
  Die Lösung ist $\frac{1}{16}$ .
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  Die Potenz ${(\frac{1}{2})}^{4}$ ist ausgeschrieben $(\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2})$ .
4. $1^{1001}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  $1^{1001}$ $=$ $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot . . . . . . . \cdot 1$
  ↓
  Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
  $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot . . . . . . . \cdot 1$ $=$ $1$
  Die Lösung ist $1$ .
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  Die Potenz $1^{1001}$ ist ausgeschrieben $\underset{1001 mal}{\underset{⏟}{1 \cdot . . . \cdot 1}}$ .
5. $(- 1)^{1001}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
  ${(- 1)}^{1001}$ $=$ $(- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) . . . . \cdot (- 1)$
  ↓
  Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
  $(- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) . . . . \cdot (- 1)$ $=$ $- 1$
  Die Lösung ist $(- 1)$ . Bei geradem Exponent wäre die Lösung positiv.
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  Die Potenz $(- 1)^{1001}$ ist ausgeschrieben $\underset{1001 mal}{\underset{⏟}{(- 1) \cdot . . . \cdot (- 1)}}$ .
5
Ermittle, ob der Betrag des Terms größer oder kleiner als 1 ist.
${(2 - 1,5)}^{(- 2)}$
Der Betrag des Terms ist kleiner als 1.
Der Betrag des Terms ist größer als 1.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit ganzzahligen Exponenten
Wandle zunächst den negativen Exponenten in einen positiven Exponenten, indem Du den Kehrwert der Basis bildest:
${0,5}^{- 2} = \frac{1}{{0,5}^{2}}$
Schreibe den Nenner (0,5) als Bruch und berechnen den Wert des Nenners
$\frac{1}{{0,5}^{2}} = \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$
Der Betrag des Terms ist also größer als 1. Das passiert, wenn der Nenner kleiner als 1 ist, wie in diesem Fall $\frac{1}{4} < 1.$
Berechne zunächst den Wert der Basis: $2 - 1,5 = 0,5$
und überlege, wie sich der Wert der Basis bei negativen Exponenten und wie bei positiven Exponenten auf das Ergebnis auswirkt.
6
Ermittle den Betrag des folgenden Terms. Ist der Betrag des Terms größer oder kleiner als 1?
${(\frac{3}{2})}^{- 3}$
Der Term ist kleiner als 1.
Der Term ist größer als 1.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit ganzzahligen Exponenten
${(\frac{3}{2})}^{- 3} = {(\frac{1}{\frac{3}{2}})}^{3} = {(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27} < 1$
Der Betrag der neuen Basis $\frac{2}{3}$ ist kleiner als 1. Diese Zahl wird mit sich selbst multipliziert, wodurch sie immer kleiner wird und damit auch kleiner als 1 bleibt.
Wandle den negativen Exponenten in einen positiven um, indem du den Kehrwert der Basis bildest.
${(\frac{3}{2})}^{- 3} = {(\frac{1}{\frac{3}{2}})}^{3}$
Überlege nun, wie der Wert der neuen Basis
$(\frac{1}{\frac{3}{2}}) = {\frac{2}{3}}^{}$
mit dem Betrag des Terms zusammenhängt.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

${(\frac{5}{3})}^{- 1}$	$=$
	↓	Für negative Exponenten gilt: $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$
${(\frac{5}{3})}^{- 1}$	$=$	$\frac{1}{(\frac{5}{3})}$
	↓	Löse den Doppelbruch auf.
	$=$	$\frac{3}{5}$
	↓	Umrechnen in Dezimalzahlen.
	$=$	$0,6$

${(\frac{1}{3})}^{- 2}$	$=$
	↓	Für negative Exponenten gilt: $a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$
	$=$	$\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2}}$
	↓	Berechne das Quadrat.
	$=$	$\frac{1}{\frac{1}{9}}$
	↓	Beseitige den Doppelbruch.
	$=$	$9$

$2^{3}$	$=$	$2 \cdot 2 \cdot 2$
	↓	Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$2 \cdot 2 \cdot 2$	$=$	$8$

${(- 2)}^{4}$	$=$	$(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$
	↓	Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$	$=$	$16$

${(\frac{1}{2})}^{4}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$
	↓	Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$	$=$	$\frac{1}{16}$

$1^{1001}$	$=$	$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot . . . . . . . \cdot 1$
	↓	Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot . . . . . . . \cdot 1$	$=$	$1$

${(- 1)}^{1001}$	$=$	$(- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) . . . . \cdot (- 1)$
	↓	Stelle die Potenz als ein Produkt dar.
$(- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) . . . . \cdot (- 1)$	$=$	$- 1$

Aufgaben zu Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

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