3Einführung der quadratischen Ergänzung an einem Beispiel

Womit wird etwas gemacht?

Was wurde gemacht?

Sortieren:

Vorne der $x^2$-Term, dann der $x$-Term und dann die Konstante.

Hier: $2x^2$ nach vorne bringen.

$12x+17+\boxed{2x^2}$

$=2x^2+12x+17$

Ausklammern:

Den Koeffizienten des quadratischen Terms bei den "x-Termen" ausklammern (Faktorisieren).

Hier: $a=2$ bei den $x$-Termen ausklammern.

$=\boxed2x^2+12x+17$

$=2(x^2+6x)+17$

Ergänzen:

Nun wollen wir eine binomische Formel erzeugen. Dafür fehlt noch der zweite Quadratterm. Halbiere den Vorfaktor des Terms mit $x$ und quadriere ihn. Das ist der benötigte Quadratterm. Addiere diesen Term, um die binomische Formel zu vervollständigen, und subtrahiere ihn direkt nochmal, um die Gleichung nicht zu verändern.

Hier: Ergänzen mit $z^2=(\frac62)^2=3^2=9$

$=2(x^2+2\cdot\boxed3\cdot x)+17$

$=2(x^2+6x\boxed{+9-9})+17$

ändert nichts an der Gleichung da

$\boxed{+9-9}=0$

Zusammenfassen:

Mithilfe der binomischen Formeln.

Hier: Der Term $x^2+6x+9$ ist eine aufgelöste erste binomische Formel.

$=2(\boxed{x^2+6x+9}-9)+17$

$=2((x+3)^2-9)+17$

Klammer ausmultiplizieren

Hier: In der Klammer stehen die beiden Summanden $(x+3)^2$ und $(-9)$.

$=\boxed2((x+3)^2-\boxed9)+17$

$=2(x+3)^2-18+17$

Rechte Summe ausrechnen

$=2(x+3)^2\boxed{-18+17}$

$=2(x+3)^2-1$