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Rotationskörper berechnen mittels Integration

Als Rotationskörper wird in der Geometrie ein Körper bezeichnet, der durch die Rotation einer Kurve um eine Achse entsteht. Dabei müssen Kurve und Rotationsachse in derselben Ebene liegen. Weitere Informationen findest du im Artikel zum Rotationskörper.

Um Mantelfläche und Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen, benötigt man nur die Funktionsvorschrift der Kurve.  

Bekannte Rotationskörper

Körper

Erzeugende Kurve und Rotationsachse

Kugel mit Radius rr

x2+y2=r2  bzw.  y=r2x2x^2+ y^2= r^2\;\text{bzw.}\; y=\sqrt{ r^2- x^2} und Rotation um die xx-Achse

oder x=r2y2x=\sqrt{ r^2- y^2} und Rotation um die yy-Achse.

Offener Zylinder mit Radius rr und Höhe hh

y=r,  D=[0;h]y= r,\; D=\lbrack0; h\rbrack (Definitionsbereich zwischen 00 und hh) und Rotation um xx-Achse.

x=r,  W=[0;h]x= r,\; W=\lbrack0; h\rbrack (Wertebereich zwischen 00 und hh) und Rotation um yy-Achse.

Offener Zylinder mit Radius rr und Höhe hh

y=r,  D=[0;h]y= r,\; D=\lbrack0; h\rbrack (Definitionsbereich zwischen 00 und hh) und Rotation um xx-Achse.

x=r,  W=[0;h]x= r,\; W=\lbrack0; h\rbrack (Wertebereich zwischen 00 und hh) und Rotation um yy-Achse.

Offener Kegel mit Radius rr und Höhe hh

y=rhx+r,  D=[0;h]y=-\frac{ r}{ h} x+ r,\; D=\lbrack0; h\rbrack und Rotation um die xx-Achse.

x=rhy+r,  D=[0;r]x=-\frac{ r}{ h} y+ r,\; D=\lbrack0; r\rbrack und Rotation um die yy-Achse.

Grundsätzlich kann man aber alle Kurven um eine Achse rotieren lassen.

Rechnen mit Rotationskörpern

Im Folgenden findest du die Formeln zur Berechnung des Volumens und der Mantelfläche von Rotationskörpern. Betrachte auch das Beispiel zur Berechnung der Integrale.

Volumen

Hierbei musst du unterscheiden, ob die Rotation um die xx-Achse oder die yy-Achse stattfindet.

Rotation um die x-Achse

 

Für das Volumen eines Rotationskörpers, der um die xx-Achse rotiert, lautet die Formel 

aa und bb geben die Grenzen des Definitionsbereichs an und f(x)f\left( x\right) ist die Funktion der rotierenden Kurve, die die xx-Achse nicht schneiden darf.

Rotation um die y-Achse

Für die Volumenberechnung bei einer Rotation um die yy-Achse wird die

Umkehrfunktion benötigt. Diese existiert, wenn die Funktion f(x)f\left( x\right) stetig und streng monoton ist.  Die Formel lautet

 

beziehungsweise

aa und bb geben die Grenzen des Definitionsbereichs an, f(a)f(a) und f(b)f(b) die Grenzen des Wertebereichs.

BeispielBerechnen des Rotationsvolumens
Eingeschränkter Parabel Graph

Der Graph der Funktion f(x)=x2+1,      Df=[1;2]f\left( x\right)= x^2+1,\;\;\;{ D}_ f=\left[-1;2\right] rotiere um die xx-Achse. Bestimme das Volumen des entstehenden Körpers.

Lösung

V\displaystyle V==πab(f(x))2dx\displaystyle \pi\cdot\int_a^b\left(f\left(x\right)\right)^2dx

Alle Angaben in die Volumenformel einsetzen.

==π12(x2+1)2dx\displaystyle \pi\cdot\int_{-1}^2\left(x^2+1\right)^2dx
==π12x4+2x2+1dx\displaystyle \pi\cdot\int_{-1}^2 x^4+2 x^2+1\operatorname{d} x
==π[15x5+23x3+x]12\displaystyle \pi \cdot \left[\frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3} x^3 + x\right]_{-1}^2
==π[1525+2323+2(15(1)5+23(1)31)]\displaystyle \pi \cdot \left[\frac{1}{5} \cdot 2^5 + \frac{2}{3} 2^3 + 2 - \left( \frac{1}{5} \cdot (-1)^5 + \frac{2}{3} (-1)^3 -1\right) \right]
==π[325+163+2(15231)]\displaystyle \pi \cdot \left[ \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2 - \left( -\frac{1}{5} - \frac{2}{3} -1\right)\right]
==785π\displaystyle \frac{78}{5} \pi

Mantelfläche

Auch für die Mantelfläche ergeben sich unterschiedliche Formeln für die Rotation, um die xx- und yy-Achse.

Rotation um xx-Achse

Die Formel für die Mantelfläche M eines Körpers bei Rotation um die xx-Achse lautet

    

 

Rotation um yy-Achse

Für die Rotation um die yy-Achse lautet die Formel der Mantelfläche M

    

Auch hier muss die Umkehrfunktion existieren. aa und bb sind wieder die Grenzen des Definitionsbereiches.

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