Als Rotationskörper wird in der Geometrie ein Körper bezeichnet, der durch die Rotation einer Kurve um eine Achse entsteht. Dabei müssen Kurve und Rotationsachse in derselben Ebene liegen. Weitere Informationen findest du im Artikel zum Rotationskörper.
Um Mantelfläche und Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen, benötigt man nur die Funktionsvorschrift der Kurve.
Bekannte Rotationskörper
Körper
Erzeugende Kurve und Rotationsachse
Kugel mit Radius %%r%%
%%x^2+ y^2= r^2\;\text{bzw.}\; y=\sqrt{ r^2- x^2}%% und Rotation um die %%x%%-Achse
oder %%x=\sqrt{ r^2- y^2}%% und Rotation um die %%y%%-Achse.
Offener Zylinder mit Radius %%r%% und Höhe %%h%%
%%y= r,\; D=\lbrack0; h\rbrack%% (Definitionsbereich zwischen %%0%% und %%h%%) und Rotation um %%x%%-Achse.
%%x= r,\; W=\lbrack0; h\rbrack%% (Wertebereich zwischen %%0%% und %%h%%) und Rotation um %%y%%-Achse.
Offener Kegel mit Radius %%r%% und Höhe %%h%%
%%y=-\frac{ r}{ h} x+ r,\; D=\lbrack0; h\rbrack%% und Rotation um die %%x%%-Achse.
%%x=-\frac{ r}{ h} y+ r,\; D=\lbrack0; r\rbrack%% und Rotation um die %%y%%-Achse.
Grundsätzlich kann man aber alle Kurven um eine Achse rotieren lassen.
Sieht die Kurve einer Funktion in der Ebene so aus,
dann sieht der Rotationskörper (bei Rotation um die x-Achse der Ebene von oben) so aus:
Folgt man mit den Augen einer der ungefähr horizontal verlaufenden Linien, so kann man die Ausgangsfunktion wiedererkennen, die zuerst stark steigt und dann langsam abfällt.
Auch die Zeichengrenzen der Kurve sind bei 0 und 50 erhalten geblieben.
Rechnen mit Rotationskörpern
Im Folgenden findest du die Formeln zur Berechnung des Volumens und der Mantelfläche von Rotationskörpern. Betrachte auch das Beispiel zur Berechnung der Integrale.
Volumen
Hierbei musst du unterscheiden, ob die Rotation um die %%x%%-Achse oder die %%y%%-Achse stattfindet.
Rotation um die x-Achse
Für das Volumen eines Rotationskörpers, der um die %%x%%-Achse rotiert, lautet die Formel $$V=\pi\cdot\int_ a^ b\left( f\left( x\right)\right)^2\operatorname{d}x$$
%%a%% und %%b%% geben die Grenzen des Definitionsbereichs an und %%f\left( x\right)%% ist die Funktion der rotierenden Kurve, die die %%x%%-Achse nicht schneiden darf.
Rotation um die y-Achse
Für die Volumenberechnung bei einer Rotation um die %%y%%-Achse wird die
Umkehrfunktion benötigt. Diese existiert, wenn die Funktion %%f\left( x\right)%% stetig und streng monoton ist. Die Formel lautet
%%\displaystyle V=\pi\cdot\int_{\min\left\{ f\left( a\right); f\left( b\right)\right\}}^{\max\left\{ f\left( a\right); f\left( b\right)\right\}}\left( f^{-1}\left( y\right)\right)^2\operatorname{d} y%%,
beziehungsweise $$V=\pi\cdot\int_ a^ b x^2\cdot\left| f'\left( x\right)\right|\operatorname{d} x$$
%%a%% und %%b%% geben die Grenzen des Definitionsbereichs an, %%f(a)%% und %%f(b)%% die Grenzen des Wertebereichs.
Beispiel:
Der Graph der Funktion %%f\left( x\right)= x^2+1,\;\;\;{ D}_ f=\left[-1;2\right]%% rotiere um die %%x%%-Achse. Bestimme das Volumen des entstehenden Körpers.
Lösung
$$V=\pi\cdot\int_ a^ b\left( f\left( x\right)\right)^2\operatorname{d} x$$
Alle Angaben in die Volumenformel einsetzen.
%%\begin{align}V &=\pi\cdot\int_{-1}^2\left( x^2+1\right)^2\operatorname{d} x\\ &=\pi\cdot\int_{-1}^2 x^4+2 x^2+1\operatorname{d} x\end{align}%%
%%\begin{align}V &=\pi \cdot \left[\frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3} x^3 + x\right]_{-1}^2\\ &=\pi \cdot \left[\frac{1}{5} \cdot 2^5 + \frac{2}{3} 2^3 + 2 - \\ \left( \frac{1}{5} \cdot (-1)^5 + \frac{2}{3} (-1)^3 -1\right) \right]\\ &=\pi \cdot \left[ \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2 - \left( -\frac{1}{5} - \frac{2}{3} -1\right)\right]\\ &=\frac{78}{5} \pi \end{align}%%
Mantelfläche
Auch für die Mantelfläche ergeben sich unterschiedliche Formeln für die Rotation, um die %%x%%- und %%y%%-Achse.
Rotation um x-Achse
Die Formel für die Mantelfläche M eines Körpers bei Rotation um die %%x%%-Achse lautet
$$M=2\pi\cdot\int_a^bf\left(x\right)\sqrt{1+\left(f'\left(x\right)\right)^2}\operatorname{d}x$$
Rotation um y-Achse
Für die Rotation um die %%y%%-Achse lautet die Formel der Mantelfläche M
$$M=2\pi\cdot\int_{min\left\{f\left(a\right);f\left(b\right)\right\}}^{max\left\{f\left(a\right);f\left(b\right)\right\}}f^{-1}\left(y\right)\sqrt{1+\left(\left(f^{-1}\left(y\right)\right)'\right)^2}\operatorname{d}y$$
Auch hier muss die Umkehrfunktion existieren. %%a%% und %%b%% sind wieder die Grenzen des Definitionsbereiches.
