Aufgaben zum Ausklammern

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Wo wurde richtig ausgeklammert?
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Zu text-exercise-group 54417:
mariefreyberg 2018-05-17 06:38:27+0200
hat nichts mit termen zu tun
Nish 2018-05-17 16:14:40+0200
Hallo Marie,

warum hat es deiner Meinung nach nichts mit Termen zu tun? Es geht hier ja darum, Terme (schon eine Zahl bzw. eine Variable selbst ist ein Term) umzuformen, hier besonders das Ausklammern von Termen.

Wenn es deinerseits noch Unklarheiten/Fragen gibt, schreib mir gerne hier oder eine Mail an nishanth@serlo.org.

LG,
Nish
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68⋅5+5⋅3868\cdot 5+5\cdot 38
5⋅(68+38)5\cdot(68+38)
7771077710
(5⋅68)+38(5\cdot 68)+38
28492849

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

68⋅5+5⋅3868\cdot 5+5\cdot 38
Hier siehst du, dass 55 ein gemeinsamer Faktor der beiden Summanden ist. Klammere diesen aus.
5⋅(68+38)5\cdot(68+38)
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

487⋅16+5⋅8487\cdot 16+5\cdot 8
Finde einen Faktor, den beide Summanden gemeinsam haben. Das ist für 88 der Fall.
487⋅2⋅8+5⋅8487\cdot 2\cdot 8+5\cdot 8
Klammere jetzt den gemeinsamen Faktor aus.
8⋅(487⋅2+5)8\cdot (487\cdot 2+5)
Rechne nun noch den linken Summanden in der Klammer aus.
8⋅(974+5)8\cdot (974+5)
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24+40+11+3324+40+11+33
8⋅(3+5)+11⋅(1+3)8\cdot(3+5)+ 11\cdot (1+3)
43+43+289+3843+43+289+38
4⋅(20+10)+3⋅(4+12)4\cdot(20+10)+3\cdot(4+12)
120120

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

24+40+11+3324+40+11+33
Untersuche die Summanden auf gemeinsame Teiler:
2424 und 4040 sind durch 88 teilbar,
1111 und 3333 sind durch 1111 teilbar.
8⋅3+8⋅5+11⋅1+11⋅38\cdot 3+8\cdot 5+11\cdot 1+11\cdot 3
Jetzt kannst du ausklammern. Achte dabei darauf welche Summen gleiche Faktoren haben.
8⋅(3+5)+11⋅(1+3)8\cdot(3+5)+11\cdot(1+3)
Das ist das Ergebnis bei dem du am meisten ausklammern kannst. Ein alternatives Ergebnis bei dem man nur bei zwei Summanden etwas ausklammern kann wäre:
24+40+11+3324+40+11+33
Finde gemeinsame Teiler für die Summanden: Sowohl 2424 als auch 3333 sind durch 33 teilbar.
8⋅3+40+11+11⋅38\cdot 3+40+11+11\cdot 3
Jetzt kannst du den ersten und den letzten Summanden zusammen nehmen und die 33 ausklammern
3⋅(8+11)+40+113\cdot(8+11)+40+11
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

26+16+39+4426+16+39+44
Untersuche die Summanden auf gemeinsame Teiler:
26und 39 sind durch 13
teilbar,
16und 44 sind durch 4 teilbar.
13⋅2+4⋅4+13⋅3+4⋅1113\cdot2+4\cdot4+13\cdot3+4\cdot11
Jetzt kannst du ausklammern. Achte dabei darauf welche Summen gleiche Faktoren haben.
13⋅(2+3)+4⋅(4+11)13\cdot(2+3)+4\cdot(4+11)
Ein alternatives Ergebnis wäre:
26+16+39+4426+16+39+44
26, 16 und 44 sind durch 2 teilbar.
2⋅13+2⋅8+39+2⋅222\cdot13+2\cdot8+39+2\cdot22
Jetzt kannst du ausklammern.
2⋅(13+8+22)+392\cdot(13+8+22)+39
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

77+15+24+2877+15+24+28
Untersuche die Summanden auf gemeinsame Teiler:
77 und 28 sind durch 7
teilbar,
15 und 24 sind durch 3 teilbar.
7⋅11+3⋅5+3⋅8+7⋅47\cdot11+3\cdot5+3\cdot8+7\cdot4
Jetzt kannst du ausklammern. Achte dabei darauf welche Summen gleiche Faktoren haben.
7⋅(11+4)+3⋅(5+8)7\cdot(11+4)+3\cdot(5+8)
Das ist das Ergebnis bei dem du am meisten ausklammern kannst. Ein alternatives Ergebnis bei dem man nur bei zwei Summanden etwas ausklammern kann wäre:
77+15+24+2877+15+24+28
Finde gemeinsame Teiler für die Summanden: Sowohl 24 als auch 28 sind durch 4 teilbar.
77+15+4⋅6+4⋅777+15+4\cdot6+4\cdot7
Jetzt kannst du die letzten beiden Summanden nehmen und 4 ausklammern.
77+15+4⋅(6+7)77+15+4\cdot(6+7)
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36+9+72−1836+9+72-18
9⋅(4+1+8−2)9\cdot (4+1+8-2)
135135
Berechne geschickt durch Ausklammern:
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3+25+5⋅953+25+5\cdot 95

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

Schau nach, ob die Zahlen aus einem gemeinsamen Teiler bestehen. 55 und 1010 lassen sich z.B. beide durch die Zahl 5 teilen.
5:5=15 : 5 = 1
10:5=210 : 5 = 2
Falls das der Fall ist, kannst du ausklammern (genauere Lösung: siehe unten).



3+25+5⋅953+25+5\cdot 95
Überprüfe, ob die Summanden einen gemeinsamen Teiler haben. Du siehst, dass das lediglich bei den rechten beiden Summanden der Fall ist.
3+5⋅5+5⋅953+5\cdot 5+5\cdot 95
Klammere den Faktor 5 aus den beiden letzten Summanden aus.
3+5⋅(5+95)3+5\cdot(5+95)
Rechne nun die Summe in der Klammer aus.
3+5⋅1003+5\cdot 100
Beachte nun die Regel Punkt vor Strich.
3+5003+500
Führe nun noch die letzte Addition aus.
503503

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

Schau nach, ob die Zahlen aus einem gemeinsamen Teiler bestehen. 55 und 1010 lassen sich z.B. beide durch die Zahl 5 teilen.
5:5=15 : 5 = 1
10:5=210 : 5 = 2
Falls das der Fall ist, kannst du ausklammern (genauere Lösung: siehe unten).



7⋅52+7⋅617\cdot 52+7\cdot 61
Finde einen gemeinsamen Teiler.
7⋅(52+61)7\cdot(52+61)
Rechne die Summe in der Klammer aus.
7⋅1137\cdot 113
Berechne das Produkt. Überlege dir ob Rechnungen wie 5⋅113+2⋅1135\cdot 113+2\cdot 113 oder 10⋅113−3⋅11310\cdot 113-3\cdot 113 vereinfachen.
791791

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8⋅6+11⋅88\cdot6+11\cdot 8

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

Schau nach, ob die Zahlen aus einem gemeinsamen Teiler bestehen. 55 und 1010 lassen sich z.B. beide durch die Zahl 5 teilen.
5:5=15 : 5 = 1
10:5=210 : 5 = 2
Falls das der Fall ist, kannst du ausklammern (genauere Lösung: siehe unten).



8⋅6+11⋅88\cdot6+11\cdot 8
Finde einen gemeinsamen Teiler.
=8⋅(6+11)=8\cdot(6+11)
Rechne nun die Summe in der Klammer aus.
=8⋅17=8\cdot17
Berechne nun das Produkt.
=136=136

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99+11⋅12399+11\cdot 123

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

Schau nach, ob die Zahlen aus einem gemeinsamen Teiler bestehen. 55 und 1010 lassen sich z.B. beide durch die Zahl 5 teilen.
5:5=15 : 5 = 1
10:5=210 : 5 = 2
Falls das der Fall ist, kannst du ausklammern (genauere Lösung: siehe unten).



99+11⋅12399+11\cdot 123
Finde einen gemeinsamen Teiler.
11⋅(9+123)11\cdot (9+123)
Rechne jetzt die Summe in der Klammer aus.
11⋅13211\cdot 132
Multipliziere die beiden Faktoren miteinander. Führe dazu eine kleine Zwischenrechnung durch: (10+1)⋅132(10+1)\cdot 132.
10⋅132⏟=1320+132\underbrace{10\cdot 132}_{=1320}+132
Berechne nun mit der Regel Punkt vor Strich das Ergebnis.
14521452

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7⋅12+2⋅7⋅47\cdot12+2\cdot7\cdot4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

Schau nach, ob die Zahlen aus einem gemeinsamen Teiler bestehen. 55 und 1010 lassen sich z.B. beide durch die Zahl 5 teilen.
5:5=15 : 5 = 1
10:5=210 : 5 = 2
Falls das der Fall ist, kannst du ausklammern (genauere Lösung: siehe unten).



7⋅12+2⋅7⋅47\cdot12+2\cdot7\cdot4
Finde einen gemeinsamen Teiler für die beiden Summanden: Hier ist es die Zahl 7.
Klammere die 7 aus jedem der beiden Summanden aus.
7⋅(12+2 ⋅4)7\cdot(12+2\ \cdot4)
Berechne die Summe in der Klammer.
Beachte dabei natürlich die Regel "Punkt vor Strich", und berechne erst 2⋅42\cdot4,
7⋅(12+8)7\cdot(12+8)
und erst danach die Summe von 12 und 8.
7⋅207\cdot20
Rechne das Produkt schriftlich aus.
140140

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(9⋅7+45)+(8⋅3+64)(9\cdot7+45)+(8\cdot3+64)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

Schau nach, ob die Zahlen aus einem gemeinsamen Teiler bestehen. 55 und 1010 lassen sich z.B. beide durch die Zahl 5 teilen.
5:5=15 : 5 = 1
10:5=210 : 5 = 2
Falls das der Fall ist, kannst du ausklammern (genauere Lösung: siehe unten).



(9⋅7+45)+(8⋅3+64)(9\cdot7+45)+(8\cdot3+64)
Suche zunächst nach einem gemeinsamen Teiler für die linke Summe.
9⋅(7+5)+(8⋅3+64)9\cdot(7+5)+(8\cdot3+64)
Wiederhole die Überlegung für die rechte Summe.
9⋅(7+5)+8⋅(3+8)9\cdot(7+5)+8\cdot(3+8)
Rechne nun die beiden Summen in den Klammern aus.
9⋅12+8⋅11=108+88=1969\cdot12+8\cdot11=108+88=196


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4⋅17+13⋅44\cdot17+13\cdot4

Klammere aus.

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%%x^3-7x^2%%

%%a^2-a+\mathrm{ab}%%

%%6\mathrm{uv}-24\mathrm{uv}^2%%

%%x^2-2x%%

%%14\mathrm{rs}^2-7r^2s+35r^2s^2t%%

%%24p^3q-16\mathrm{pq}^2%%

%%4x^2y+2\mathrm{xy}-4\mathrm{xy}^2%%

%%2x-2y%%

%%-5\mathrm{xu}+15\mathrm{xv}-10\mathrm{xz}%%

%%26\mathrm{xy}-13\mathrm{xz}%%

%%7x-7y+7z%%

Der Term −12a2−a+2ab-\frac12a^2-a+2\mathrm{ab} soll als Produkt geschrieben werden. Wurde jeweils richtig oder falsch faktorisiert?
  1. −12a(a+2−4ab)-\frac{1}{2}a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)
  2. a(−12a+2b)a\left(-\frac12a+2b\right)
  3. 2(−14a−12+b)⋅a2\left(-\frac14a-\frac12+b\right)\cdot a
  4. a(a−2b)⋅(−12)a\left(a-2b\right)\cdot\left(-\frac12\right)
  5. 0,5a(−a−12+ab)0,5a\left(-a-\frac12+\mathrm{ab}\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern

1.

−12a(a+2−4ab)-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right)
Falsch, da:
Klammere zuerst den Faktor −12a-\frac12a aus.
−12a2−a+2ab-\frac{1}{2}a^2-a+2\mathrm{ab}==−12a(−12a2−12a−a−12a+2ab−12a)-\frac12a\left(\dfrac{-{\frac12}a^2}{-{\frac12}a}-\dfrac a{-{\frac12}a}+\dfrac{2ab}{-{\frac12}a}\right)
↓
Kürze die Brüche
==−12a(a−1−12+2b−12)-\frac12a\left(a-\dfrac1{-\frac12}+\dfrac{2b}{-\frac12}\right)
↓
Vereinfache die Brüche weiter
==−12a(a−(−2)+(−4b))-\frac12a\left(a-\left(-2\right)+\left(-4b\right)\right)
↓
Löse die Klammern auf
==−12a(a+2−4b)-\frac12a\left(a+2-4b\right)
Das Ergebnis ist ungleich −12a(a+2−4ab)-\frac12a\left(a+2-4\mathrm{ab}\right).

2.

a(−12a+2b)a\left(-\frac12a+2b\right)
Falsch, da:
Klammere aa aus:
−12a2−a+2ab-\frac12a^2-a+2{ab}==a(−12a−1+2b)a(-\frac12a-1+2b)
Das ist ungleich a(−12a+2b)a\left(-\frac12a+2b\right).

3.

2(−14a−12+b)⋅a2\left(-\frac14a-\frac12+b\right)\cdot a
Richtig, da:
Klammere den Faktor 2a2a aus.
−12a2−a+2ab-\frac12a^2-a+2\mathrm{ab}==2a(−12a22a−a2a+2ab2a)2a\left(\dfrac{-{\frac12}a^2}{2a}-\dfrac a{2a}+\dfrac{2ab}{2a}\right)
↓
Kürze die Brüche
==2a(−14a−12+b)2a\left(-\frac14a-\frac12+b\right)
Ist gleich 2(−14a−12+b)a2\left(-\frac14a-\frac12+b\right)a.

4.

a(a−2b)⋅(−12)a\left(a-2b\right)\cdot\left(-\frac12\right)
Falsch, da:
Klammere den Faktor aa aus.
−12a2−a+2ab-\frac12a^2-a+2ab==a(−12a−1+2b)a\left({\textstyle-}\frac12{\textstyle a}-{\textstyle1}+\textstyle2\textstyle b\right)
↓
Klammere den Faktor −12-\frac12 aus.
==a(−12a−12−1−12+2b−12)⋅(−12)a\left(\dfrac{-{\frac12}a}{-\frac12}-\dfrac1{-\frac12}+\dfrac{2b}{-\frac12}\right)\cdot\left(-\frac12\right)
↓
Vereinfache die Brüche
==−12a(a+2−4b)-\frac12a(a+2-4b)
Das ist nicht a(a−2b)⋅(−12)a\left(a-2b\right)\cdot\left(-\frac12\right)

5.

0,5a(−a−12+ab)0,5a\left(-a-\frac12+\mathrm{ab}\right)
Falsch, da:
Klammere den Faktor 12a\frac12a aus.
−12a2−a+2ab-\frac12a^2-a+2\mathrm{ab}==12a(−12a212a−a12a+2ab12a)\frac12a\left(\dfrac{-{\frac12}a^2}{{\frac12}a}-\dfrac a{{\frac12}a}+\dfrac{2ab}{{\frac12}a}\right)
==12a(−a−2+4b)\frac12a\left(-a-2+4b\right)
Das ist ungleich 0,5a(−a−12+ab)0{,}5a\left(-a-\frac12+\mathrm{ab}\right).
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Beschreibe mit Worten, welche Fehler jeweils gemacht wurden.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammern ausmultiplizieren

aa wurde durch xx und bb durch yy ersetzt und aus einem Produkt kann durch Ausklammern kein Term mit einer Summe entstehen.
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−12xy2−xy+2x2y=−xy(12y−2x)-\frac12 xy^2-xy+2x^2y=-xy\left(\frac12y-2x\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Klammer ausmultiplizieren

In der Klammer wurde +1+1 vergessen, was beim ausmultiplizieren −xy-xy ergibt.
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Durch geschicktes Ausklammern Brüche vermeiden! Klammere so aus, dass in der Klammer keine Brüche mehr stehen.

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%%\frac34\mathrm{bx}-\frac34\mathrm{by}+\frac34\mathrm{bz}%%

%%\frac12\mathrm{xu}-\frac18\mathrm{xv}+\frac34\mathrm{xz}%%

Ausklammern

%%\frac12\mathrm{xu}-\frac18\mathrm{xv}+\frac34\mathrm{xz}%%

Du kannst %%x%% ausgeklammern, da es in allen drei Summanden vorkommt. Wenn du alle Brüche auf den Hauptnenner erweiterst, erkennst du, dass du gleichzeitig einen Bruch mit ausklammern kannst.

%%=\frac48\mathrm{xu}-\frac18\mathrm{xv}+\frac68\mathrm{xz}%%

Klammere den Faktor %%\frac18x%% aus.

%%=\frac18x\cdot\left(4u-v+6z\right)%%

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%%\dfrac23a-\dfrac56b%%

Was fehlt in der Klammer?

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%%-7x+14\mathrm{xy}=-7x\left(.\;.\;.\right)%%

%%\mathrm{ax}^2-6x^3=x^2\cdot\left(.\;.\;.\right)%%

%%\frac53a+5a^2-\frac{10}3a^3=5a\cdot\left(.\;.\;.\right)%%

%%\frac53a+5a^2-\frac{10}3a^3=5a\cdot\left(.\;.\;.\right)%%

 

%%\frac53a+5a^2-\frac{10}3a^3=%%

 

%%=\frac13\cdot5a+5a\cdot a-\frac23\cdot5a\cdot a^2=%%

 

%%=5a\cdot\frac13+5a\cdot a-5a\cdot\frac23a^2=%%

Der Faktor 5a wird ausgeklammert .

%%=5a\cdot\left(\frac13+a-\frac23a^2\right)%%

 

%%\Rightarrow\left(.\;.\;.\right)=\frac13+a-\frac23a^2%%

 

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%%1,5a-2,5\mathrm{ab}+0,5a^2=0,5a\cdot\left(.\;.\;.\right)%%

Klammere den Ausdruck in der Klammer aus.

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%%\left(-1\right)%% aus: %%a+b%%

%%\left(-1\right)%% aus:  %%b-a%%

%%\left(-1\right)%% aus: %%-a-b-1%%

%%\left(-1\right)%% aus: %%a-b-1%%

%%\left(-\mathrm{ab}^2\right)\;\;%% aus %%-\mathrm{ab}^4+a^2b^3-a^3b^2%%

Ausklammern

%%-{ab}^4+a^2b^3-a^3b^2%%

suche den Faktor %%(-ab^2)%% in jedem Summanden

%%\color{red}{-{ab}^2}\cdot b^2- a\cdot(\color{red}{-{ab}^2})\cdot b+a^2\cdot(\color{red}{-{ab}^2})%%

Klammere %%\left(-{ab}^2\right) %% aus.

%%=(-{ab}^2)\cdot\left(b^2-{ab}+a^2\right)%%

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%%\left(-2\mathrm{ab}\right)\;\;%% aus %%2\mathrm{ab}^2-4a^2b%%

%%\left(\frac12x^2y\right)\;\;%% aus %%\frac12x^4y-\frac52x^3y-x^2y^3%%

Auch Klammern kann man ausklammern! Faktorisiere den Term.

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%%m(r-s)-n(s-r)%%

%%4a(2x+3y)+2b(2x+3y)%%

%%s(a+x)+b(a+x)%%

%%-y(x+a)+v(x+a)%%

%%8\cdot\left(a+b\right)+\left(a+b\right)%%

Terme faktorisieren

%%8\cdot\left(a+b\right)+\left(a+b\right)%%

Verwende %%\left(a+b\right)=1\cdot\left(a+b\right)%%.

%%=8\cdot\left(a+b\right)+1\cdot\left(a+b\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(a+b\right)%% aus.

%%=\left(a+b\right)\cdot\left(8+1\right)%%

Fasse zusammen.

%%=9\cdot\left(a+b\right)%%

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%%x\cdot\left(u-v\right)-y\cdot\left(u-v\right)%%

%%a\cdot\left(3m-n\right)-b\cdot\left(3m-n\right)%%

%%x\cdot\left(3-r\right)-\left(3-r\right)%%

%%5u\cdot\left(a-2b\right)+v\cdot\left(a-2b\right)%%

%%2x\cdot\left(3u+v\right)-\left(3u+v\right)%%

Terme faktorisieren

%%2x\cdot\left(3u+v\right)-\left(3u+v\right)%%

Verwende %%\left(3u+v\right)=1\cdot\left(3u+v\right)%%

%%=2x\cdot\left(3u+v\right)-1\cdot\left(3u+v\right)%%

Klammere den Faktor %%\left(3u+v\right)%% aus.

%%=\left(3u+v\right)\cdot\left(2x-1\right)%%

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Faktorisiere die folgenden Terme.

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%%\mathrm{av}+\mathrm{au}+v+u%%

Lösung in Arbeit (es fehlen noch Überschrift am Anfang, Satz am Anfang und ggf. Verlinkungen zu Begriffen/Methoden)

  %%av+au+v+u%%

 

%%=a(v+u)+v+u =a(v+u)+1(v+u) =(1+a)(u+v)%%

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