Aufgaben

Löse die Klammer auf und vereinfache soweit wie möglich.

%%3u+\left[4-\left(2u-1\right)+8u\right]+7%%

%%3u+\left[4-\left(2u-1\right)+8u\right]+7=%%

Die innere Klammer ( ) auflösen.

%%3u+\left[4-2u+1+8u\right]+7=%%

In der Klammer gleiche Variablen zusammenfassen.

%%3u+\left[5+6u\right]+7=%%

Die Klammer [ ] auflösen.

%%3u+5+6u+7=%%

Gleiche Variablen zusammenfassen.

%%9u+12=%%

Der Faktor 3 lässt sich ausklammern .

%%=3\cdot\left(3u+4\right)%%

 

%%6x-\left[9y-\left(2x+4z\right)-\left(2x+3y-8z\right)\right]%%

%%6x-\left[9y-\left(2x+4z\right)-\left(2x+3y-8z\right)\right]=%%

Die beiden inneren Klammern ( ) auflösen.

%%6x-\left[9y-2x-4z-2x-3y+8z\right]=%%

In den Klammer [ ] gleiche Variablen zusammenfassen.

%%6x-\left[6y-4x+4z\right]=%%

Die Klammer [ ] auflösen.

%%6x-6y+4x-4z=%%

Gleiche Variablen zusammenfassen.

%%=10x-6y-4z=%%

Der Faktor 2 lässt sich ausklammern .

%%=2\cdot\left(5x-3y-2z\right)%%

 

%%37s-\left[2s-\left(25s+12t\right)+\left(37t-15s\right)\right]%%

%%37s-\left[2s-\left(25s+12t\right)+\left(37t-15s\right)\right]=%%

Die innere Klammer ( ) auflösen.

%%37s-\left[2s-25s-12t+37t-15s\right]=%%

In den Klammer [ ] gleiche Variablen zusammenfassen.

%%37s-\left[-38s+25t\right]=%%

Die Klammer [ ] auflösen.

%%37s+38s-25t=%%

Gleiche Variablen zusammenfassen.

%%75s-25t=%%

Der Faktor 25 lässt sich ausklammern .

%%=25\cdot(3s-t)%%

 

%%8\frac12x-\left[\left(3\frac13y-2z\right)-4x\right]-\left[4x-\left(3x-z\right)\right]%%

%%8\frac12x-\left[\left(3\frac13y-2z\right)-4x\right]-\left[4x-\left(3x-z\right)\right]=%%

%%\frac{17}2x-\left[\left(\frac{10}3y-2z\right)-4x\right]-\left[4x-\left(3x-z\right)\right]=%%

Die innere Klammern ( ) auflösen.

%%\frac{17}2x-\left[\frac{10}3y-2z-4x\right]-\left[4x-3x+z\right]=%%

Die Klammern [ ] auflösen.

%%\frac{17}2x-\frac{10}3y+2z+4x-4x+3x-z=%%

Die Variablen sortieren. +4x/-4x fällt weck.

%%\frac{17}2x+3x-\frac{10}3y+2z-z=%%

Der Hauptnenner muss für die Variable x gebildet werden (2).

%%\frac{17}2x+\frac62x-\frac{10}3y+2z-z=%%

Gleiche Variablen zusammenfassen.

%%\frac{23}2x-\frac{10}3y+z%%

 

%%\left(u+2v-3w\right)-\left[4v-\left(3u+2v-3w\right)\right]%%

%%\left(u+2v-3w\right)-\left[4v-\left(3u+2v-3w\right)\right]=%%

Die vordere Klammer ( ) und die innere Klammer ( ) auflösen.

%%u+2v-3w-\left[4v-3u-2v+3w\right]=%%

Die Klammer [ ] auflösen.

%%u+2v-3w-4v+3u+2v-3w=%%

Gleiche Variablen zusammenfassen.

%%4u-6w=%%

Der Faktor 2 lässt sich ausklammern .

%%=2\cdot\left(2u-3w\right)%%

 

%%\left(x-11\right)-\left[x-\left(5x-7\right)\right]-\left[2+\left(4-3x\right)\right]%%

%%\left(x-11\right)-\left[x-\left(5x-7\right)\right]-\left[2+\left(4-3x\right)\right]=%%

Die vordere Klammer ( ) und die inneren Klammern ( ) auflösen.

%%x-11-\left[x-5x+7\right]-\left[2+4-3x\right]=%%

In den Klammer [ ] gleiche Variablen zusammenfassen.

%%x-11-\left[-4x+7\right]-\left[6-3x\right]=%%

Die Klammer [ ] auflösen.

%%x-11+4x-7-6+3x=%%

Gleiche Variablen zusammenfassen.

%%8x-24=%%

Der Faktor 8 lässt sich ausklammern .

%%=8\cdot\left(x-3\right)%%

 

Multipliziere und fasse zusammen.

%%-3m\cdot\left(m-n+20\right)-4m\cdot\left(2m+8n-3\right)%%

%%\frac12\cdot\left(2x-4\right)-5\cdot\left(2x+8\right)+\frac14\cdot\left(12x-4\right)%%

%%\left(x+2y\right)\cdot\left(3a+b+2c\right)%%

%%\left(x+2y\right)\cdot\left(3a+b+2c\right)=%%

%%=3\mathrm{ax}+\mathrm{bx}+2\mathrm{cx}+6\mathrm{ay}+2\mathrm{by}+4\mathrm{cy}=%%

Alphabetisch sortieren.

%%=3\mathrm{ax}+6\mathrm{ay}+\mathrm{bx}+2\mathrm{by}+2\mathrm{cx}+4\mathrm{cy}%%

 

%%\left(4x-3y\right)\cdot\left(y+x\right)+\left(8x+2y\right)\cdot\left(3x+4y\right)%%

%%\left(4x-3y\right)\cdot\left(y+x\right)+\left(8x+2y\right)\cdot\left(3x+4y\right)=%%

%%=4\mathrm{xy}+4x^2-3y^2-3\mathrm{xy}+24x^2+32\mathrm{xy}+6\mathrm{xy}+8y^2=%%

Alphabetisch sortieren.

%%=4x^2+24x^2+4\mathrm{xy}-3\mathrm{xy}+32\mathrm{xy}+6\mathrm{xy}-3y^2+8y^2=%%

Gleiche Variabeln zusammenfassen.

%%=28x^2+39\mathrm{xy}+5y^2%%

 

%%\left(4x+2y\right)\cdot\left(x-y\right)-2\cdot\left(x+y\right)\cdot\left(x-y\right)%%

%%\left(4x+2y\right)\cdot\left(x-y\right)-2\cdot\left(x+y\right)\cdot\left(x-y\right)=%%

[ ] setzen wegen -2( )( )

%%=\left(4x+2y\right)\cdot\left(x-y\right)-2\cdot\left[\underset{3.\;\mathrm{bin}\;\mathrm{Formel}}{\underset︸{\left(x+y\right)\cdot\left(x-y\right)}}\right]=%%

Die ersten beiden Klammern ausmultiplizieren . Die 3. Binomische Formel anwenden.

%%=4x^2-4\mathrm{xy}+2\mathrm{xy}-2y^2-2\cdot\left[x^2-y^2\right]=%%

Die Klammer [ ] auflösen.

%%=4x^2-4\mathrm{xy}+2\mathrm{xy}-2y^2-2x^2+2y^2=%%

Gleiche Variabeln zusammenfassen.

%%=2x^2-2\mathrm{xy}%%

 

Vereinfache die folgenden Terme.

%%18a-3x+6a-3\cdot\left(x+a\right)-5\cdot\left(a-2x\right)%%

%%6,5x^2-\left[5x-x\cdot\left(3-4x\right)+2\right]\cdot\left(-0,5\right)%%

%%6,5x^2-\left[5x-x\cdot\left(3-4x\right)+2\right]\cdot\left(-0,5\right)=%%

%%=6,5x^2-\left[5x-3x+4x^2+2\right]\cdot\left(-0,5\right)=%%

%%=6,5x^2-\left[-2,5x+1,5x-2x^2-1\right]=%%

%%=6,5x^2+2,5x-1,5x+2x^2+1=%%

Gleiche Variabeln zusammenfassen.

%%=8,5x^2+x+1%%

 

%%x-5x\cdot\left(x^2-3x\right)\cdot\left(-4\right)-5x^2%%

%%x-5x\cdot\left(x^2-3x\right)\cdot\left(-4\right)-5x^2=%%

%%5x%% in die Klammer multiplizieren .

%%=x-\left(5x^3-15x^2\right)\cdot\left(-4\right)-5x^2=%%

%%-4%% in die Klammer multiplizieren .

%%=x-\left(-20x^3+60x^2\right)-5x^2=%%

%%=x+20x^3-60x^2-5x^2=%%

Gleiche Variabeln zusammenfassen.

%%=20x^3-65x^2+x%%

 

%%\left(2-3x\right)\cdot x-x\cdot\left(-14\right)%%

%%1,05\cdot\left(x+x\cdot1,05\right)+1,05^2\cdot x%%

%%1,05\cdot\left(x+x\cdot1,05\right)+1,05^2\cdot x=%%

 

%%=1,05\cdot\left(2,05x\right)+1,05^2\cdot x=%%

 

%%=2,1525x+1,1025x=%%

 

%%=3,255x%%

 

%%-\frac{a^2}2-\left(\frac32a\right)^2+\frac14\cdot\left(2-2a^2\right)%%

%%-\frac{a^2}2-\left(\frac32a\right)^2+\frac14\cdot\left(2-2a^2\right)=%%

%%=-\frac{a^2}2-\frac94a^2+\frac24-\frac24a^2=%%

Der Hauptnenner (4) muss gebildet werden. Alle Brüche auf den Hauptnenner erweitern.

%%=-\frac{2a^2}4-\frac94a^2+\frac24-\frac24a^2=%%

 

%%=-\frac24a^2-\frac94a^2-\frac24a^2+\frac12=%%

Gleiche Variabeln zusammenfassen.

%%=-\frac{13}4a^2+\frac12%%

 

%%\frac12\cdot\left(2x-2\right)-\frac38\cdot\left(4x-4\right)%%

%%\frac12\cdot\left(2x-2\right)-\frac38\cdot\left(4x-4\right)=%%

%%=x-1-\frac38\cdot4x+\frac38\cdot4=%%

 

%%=x-1-\frac32\cdot x+\frac32=%%

 

%%=\frac22x-\frac32\cdot x-\frac22+\frac32=%%

Gleiche Variabeln zusammenfassen.

%%=-\frac12x+\frac12%%

Weitere mögliche Umformungen:

Den Faktor %%\frac{1}{2}%% kann man nun noch ausklammern, wenn man dies will (zum Beispiel dann, wenn man möglichst wenig Brüche dastehen haben möchte):

%%-\frac12x+\frac12%% %%=\frac12\cdot\left(-x+1\right)%%

 

Diesen Tem kann man dann auch mit einem gemeinsamen Bruchstrich schreiben, wenn man das lieber so möchte oder es für eine Aufgabe, in der mit dem Term noch weitergerechnet wird, günstiger ist:

%%\frac12\cdot\left(-x+1\right)=\frac{-x+1}2%%

%%{\mathrm{xk}}_1-{\mathrm{xk}}_2+k_1-k_2%%

%%{\mathrm{xk}}_1-{\mathrm{xk}}_2+k_1-k_2=%%

%%=\underset{k_1-k_2\;\mathrm{ausklammern}}{\underset︸{x\cdot\left(k_1-k_2\right)+\left(k_1-k_2\right)\cdot1}}=%%

%%k_1-k_2%% ausklammern .

%%=\left(k_1-k_2\right)\cdot\left(x+1\right)=%%

Sortieren.

%%=\left(x+1\right)\cdot\left(k_1-k_2\right)%%

 

%%\frac12\cdot\left(x-2\right)-\frac32x+\frac34%%

%%\frac12\cdot\left(x-2\right)-\frac32x+\frac34=%%

%%=\frac12x-1-\frac32x+\frac34=%%

Nach Variabeln sortieren.

%%=\frac12x-\frac32x-1+\frac34=%%

Die Vorderen Variabeln lassen sich zusammenfassen-

Hinten muss der Hauptnenner (4) gebildet werden.

%%=-\frac22x-\frac44+\frac34=%%

Gleiche Variabeln zusammenfassen.

%%=-x-\frac14%%

 

%%\frac{3x-6}3-2\cdot\frac{5x-10}5%%

%%\frac{3x-6}3-2\cdot\frac{5x-10}5=%%

2 in den zweiten Bruch hineinmultiplizieren.

%%=\frac{3x-6}3-\frac{10x-20}5=%%

Der Hauptnenner (4) muss gebildet werden. Alle  Brüche auf den Hauptnenner erweitern.

%%=\frac{5\cdot\left(3x-6\right)}{5\cdot3}-\frac{3\cdot\left(10x-20\right)}{3\cdot5}=%%

 

%%=\frac{15x-30}{15}-\frac{30x-60}{15}=%%

 

%%=\frac{15x-30-\left(30x-60\right)}{15}=%%

 

%%=\frac{15x-30-30x+60}{15}=%%

Im Zähler gleiche Variabel zusammenfassen.

%%=\frac{-15x+30}{15}=%%

15 lässt sich im Zähler ausklammern .

%%=\frac{15\cdot\left(-x+2\right)}{15}=%%

Mit 15 kürzen .

%%=-x+2%%

 

%%-\frac{2x-7}2+\frac{5-4x}5%%

%%-\frac{2x-7}2+\frac{5-4x}5=%%

Der Hauptnenner (4) muss gebildet werden. Alle  Brüche auf den Hauptnenner erweitern.

%%=-\frac{5\cdot\left(2x-7\right)}{5\cdot2}+\frac{2\cdot\left(5-4x\right)}{2\cdot5}=%%

Zähler und Nenner der Brüche ausmultiplizieren.

%%=-\frac{10x-35}{10}+\frac{10-8x}{10}=%%

Zu einem Bruch zusammenfassen.

%%=\frac{-\left(10x-35\right)+10-8x}{10}=%%

Die Klammer auflösen.

%%=\frac{-10x+35+10-8x}{10}=%%

Gleiche Variabeln zusammenfassen.

%%=\frac{-18x+45}{10}=%%

Im Zähler lässt sich 9 ausklammern .

%%=\frac{9\cdot\left(-2x+5\right)}{10}=%%

Die 9 lässt sich vor den Bruch ziehen.

%%=9\cdot\frac{-2x+5}{10}=%%

Der Bruch wird wieder geteilt.

%%=9\cdot\left(\frac5{10}-\frac{2x}{10}\right)=%%

Die Brüche lassen sich mit 5 bzw 2 kürzen .

%%=9\cdot\left(\frac12-\frac15x\right)%%

 

%%\frac{8x-2}2-\frac38\cdot\left(4x-4\right)%%

%%\frac{8x-2}2-\frac38\cdot\left(4x-4\right)=%%

Den Bruch mit der Klammer multipliziern.

%%=\frac{8x-2}2-\frac{12x-12}8=%%

Im Zähler des zweiten Bruches lässt sich 4 ausklammern .

%%=\frac{8x-2}2-\frac{4\cdot\left(3x-3\right)}8=%%

Der zweite Bruch lässt sich mit 4 kürzen .

%%=\frac{8x-2}2-\frac{3x-3}2=%%

Die beiden Brüche zusammenschreiben.

%%=\frac{8x-2-\left(3x-3\right)}2=%%

Die Klammer im Zähler auflösen .

%%=\frac{8x-2-3x+3}2=%%

Gleiche Variabeln im Zähler zusammenfassen.

%%=\frac{5x+1}2=%%

%%\frac12%% lässt sich ausklammern .

%%=\frac12\cdot\left(5x+1\right)%%

 

%%\frac13\cdot\left(-2x+4\right)-\frac{4x-2}3%%

%%\frac13\cdot\left(-2x+4\right)-\frac{4x-2}3=%%

Den Bruch mit der Klammer multipliziern.

%%=\frac{-2x+4}3-\frac{4x-2}3=%%

Die beiden Brüche zusammenschreiben.

%%=\frac{-2x+4-\left(4x-2\right)}3=%%

Die Klammer im Zähler auflösen .

%%=\frac{-2x+4-4x+2}3=%%

Gleiche Variabeln im Zähler zusammenfassen.

%%=\frac{-6x+6}3=%%

Im Zähler lässt sich 3 ausklammern .

%%=\frac{3\cdot\left(-2x+2\right)}3=%%

Den Bruch lässt sich mit 3 kürzen .

%%=-2x+2%%

 

%%\left(-x+2\right)\cdot\left(x-3\right)-\left(2-\frac12x\right)\cdot\left(x-3\right)%%

%%\left(-x+2\right)\cdot\left(x-3\right)-\left(2-\frac12x\right)\cdot\left(x-3\right)=%%

Die Klammern ausmultiplizieren.

%%=-x^2+3x+2x-6-\left[2x-6-\frac12x^2+\frac32x\right]=%%

Die Klammer auflösen

%%=-x^2+5x-6-2x+6+\frac12x^2-\frac32x=%%

Gleiche Variabeln zusammenfassen.

%%=-x^2+\frac12x^2+3x-\frac32x=%%

Gleiche Variabeln zusammenfassen.

%%=-\frac12x^2+\frac32x%%

 

%%6\mathrm{ax}-3\mathrm{ay}+4\mathrm{bx}-2\mathrm{by}%%

%%6\mathrm{ax}-3\mathrm{ay}+4\mathrm{bx}-2\mathrm{by}=%%

Aus den beiden ersten Elementen lässt sich 3a ausklammern , aus den beiden letzten 2b

%%=3a\cdot\left(2x-y\right)+2b\cdot\left(2x-y\right)=%%

3a und 2b nach hinten ziehen.

%%=\left(2x-y\right)\cdot\left(3a+2b\right)=%%

Nach Variabeln sortieren.

%%=\left(3a+2b\right)\cdot\left(2x-y\right)%%

 

%%30\mathrm{sx}-5\mathrm{kx}-6\mathrm{sy}+\mathrm{ky}%%

%%30\mathrm{sx}-5\mathrm{kx}-6\mathrm{sy}+\mathrm{ky}=%%

Nach Variabeln sortieren.

%%=30\mathrm{sx}-6\mathrm{sy}-5\mathrm{kx}+\mathrm{ky}=%%

Aus den ersten beiden Elementen lässt sich 6s [ausklammern[/wiki, aus den letzten beiden k.

%%=6s\cdot\left(5x-y\right)-k\cdot\left(5x-y\right)=%%

%%\left(5x-y\right)%% [wiki=130]ausklammern](/1677) .

%%=\left(5x-y\right)\cdot\left(6s-k\right)%%

 

Vereinfache
ax+xa+xa+2xa-x+x-a+x-a+2x

Terme umformen

ax+xa+xa+2x=a-x+x-a+x-a+2x=
nach Variablen sortieren.
=aaax+x+x+2x==a-a-a-x+x+x+2x=
=a+3x=-a+3x


2xyy+a+2y+y22xy-y+a+2y+y^2

Terme umformen

2xyy+a+2y+y2=2xy-y+a+2y+y^2=
nach Variablen sortieren.
=y2y+2y+2xy+a=y^2-y+2y+2xy+a
Addition
        y2+y+2xy+a\;\;\Rightarrow\;\;y^2+y+2xy+a


14a(7+2a)-14a-(-7+2a)

Terme umformen

14a(7+2a)=-14a-(-7+2a)=
=14a+72a=-14a+7-2a
        16a+7\;\;\Rightarrow\;\;-16a+7


14a(72a)-14a-(7-2a)

Terme umformen

14a(72a)=-14a-(7-2a)=
14a7+2a-14a-7+2a
Addition
        12a7\;\;\Rightarrow\;\;-12a-7


2x(3x+1)2x(3x+1)

Terme umformen

2x(3x+1)=2x(3x+1)=
=6x2+2x=6x^2+2x


(1)(x3)2(-1)\left(x^3\right)^2

Terme umformen

(1)(x3)2=(-1)\left(x^3\right)^2=
=(1)(x6)==\left(-1\right)\left(x^6\right)=
=x6=-x^6



Terme umformen

(x3)2=\left(-x^3\right)^2=
Potenzgesetze anwenden.
=x6=x^6


(3x1)(5x22x)\left(3x-1\right)\left(5x^2-2x\right)

Terme umformen

(3x1)(5x22x)=\left(3x-1\right)\left(5x^2-2x\right)=
=15x36x25x2+2x==15x^3-6x^2-5x^2+2x=
=15x311x2+2x=15x^3-11x^2+2x


(uvw2)(uw+v2)\left(uv-w^2\right)\left(uw+v^2\right)

Terme umformen

(uvw2)(uw+v2)=\left(uv-w^2\right)\left(uw+v^2\right)=
=u2vw+uv3uw3w2v2=u^2vw+uv^3-uw^3-w^2v^2


(x+1)(x2)(x+3)(x+1)(x-2)(x+3)

Terme umformen

(x+1)(x2)(x+3)=(x+1)(x-2)(x+3)=
=(x22x+x2)(x+3)==(x^2-2x+x-2)(x+3)=
Subtraktion in der ersten Klammer.
=(x2x2)(x+3)==\left(x^2-x-2\right)\left(x+3\right)=
=x3x22x+3x23x6==x^3-x^2-2x+3x^2-3x-6=
nach Potenz sortieren
=x3x2+3x22x3x6=x^3-x^2+3x^2-2x-3x-6
=x3+2x25x6=x^3+2x^2-5x-6


7x2[xx(3x+1)]7x^2-\left[x-x\left(3x+1\right)\right]

Terme umformen

7x2[xx(3x+1)]=7x^2-\left[x-x\left(3x+1\right)\right]=
=7x2(x3x2x)==7x^2-\left(x-3x^2-x\right)=
=7x2(3x2)==7x^2-\left(-3x^2\right)=
=7x2+3x2==7x^2+3x^2=
Addition
=10x2=10x^2


(3a+b)2\left(3a+b\right)^2

Terme umformen

(23a)2=\left(\frac23-a\right)^2=
=4943a+a2=\frac49-\frac43a+a^2


x(x1)(x+3)x2(1+x)x\left(x-1\right)\left(x+3\right)-x^2\left(1+x\right)

Terme umformen

x(x1)(x+3)x2(1+x)=x\left(x-1\right)\left(x+3\right)-x^2\left(1+x\right)=
=(x2x)(x+3)x2x3==\left(x^2-x\right)\left(x+3\right)-x^2-x^3=
=x3+3x2x23xx2x3==x^3+3x^2-x^2-3x-x^2-x^3=
Nach Potenz sortieren.
=x3x3+3x2x2x23x==x^3-x^3+3x^2-x^2-x^2-3x=
=x23x=x^2-3x


Vereinfache den Term soweit wie möglich.
2x(12x3+8)\displaystyle 2x-\left(\frac{1}{2}x\cdot3+8\right)
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