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Wachstumsprozesse - eine Übersicht

In diesem Artikel werden die unterschiedlichen Wachstumsarten vorgestellt und miteinander verglichen:

  1. lineares Wachstum

  2. exponentielles Wachstum

  3. beschränktes Wachstum

  4. logistisches Wachstum

Was heißt Wachstum?

In der Mathematik versteht man unter Wachstum nicht nur die Zunahme, sondern auch die Abnahme, Schrumpfung oder Zerfall eines Bestandes im Zeitverlauf.

  • Zunahme: z.B. Wachstum einer Pflanze H(t)H(t) ist die Höhe in cm\mathrm{cm}

  • Abnahme: z.B. radioaktiver Zerfall N(t)N(t) ist die Anzahl der noch nicht zerfallenen radioaktiven Atomkerne

Hat ein Bestand zur Zeit t1t_1 den Wert B1B_1 und zur Zeit t2t_2 den Wert B2B_2, dann können folgende Wachstumsarten unterschieden werden:

Vergleich der Messwerte

Wachstumsart

B2>B1B_2>B_1

positives Wachstum (Zunahme)

B2=B1B_2=B_1

Nullwachstum (konstante Funktion)

B2<B1B_2<B_1

negatives Wachstum (Abnahme oder Zerfall)

Für die oben angegebenen vier Wachstumsarten gilt immer:

  • B(t)B\left(t\right): ist der Bestand zur Zeit tt,

  • B0B_0​ : ist der Anfangsbestand zur Zeit t=0t=0, also der Startwert.

Lineares Wachstum

Steckbrief

Gleichung

B(t)=kt+B0B(t)=k\cdot t+B_0

Erkennungsmerkmal

Zunahme pro Zeitschritt ist immer gleich, d.h.

B(t+1)=B(t)+kB(t+1)=B(t)+k

Graph

Gerade

Dabei ist k die (absolute) Änderungsrate und kk ist konstant.

Funktionsgraphen für lineares Wachstum

lineares Wachstum

Weitere Informationen findest du in dem Artikel Lineares Wachstum.

Exponentielles Wachstum

Steckbrief

Gleichung

B(t)=B0at\displaystyle B\left(t\right)=B_0\cdot a^t

Erkennungsmerkmal

Der Bestand ändert sich in gleichen (zeitlichen)

Abständen immer um denselben Faktor, d.h. die Zunahme

oder die Abnahme pro Zeitschritt ist immer gleich:

B(t+1)=B(t)aB(t + 1) = B(t) · a

Der Faktor aa heißt Wachstumsfaktor.

Graph

Exponentialfunktion

T1/2=ln(12)ln(a)T_{1/2}=\dfrac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}

T2=ln(2)ln(a)T_{2}=\dfrac{\ln(2)}{\ln(a)}

Funktionsgraphen für exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme

exponentielles Wachstum und Zerfall

Weitere Informationen findest du in dem Artikel Exponentielles Wachstum.

Beschränktes Wachstum

Steckbrief

Gleichung

beschränkte Zunahme:

B(t)=S(SB0)at  fu¨r  (S>B0)B(t)=S-(S-B_0)\cdot a^{ t}\;\text{für}\;(S>B_0)

S nennt man obere Schranke.

beschränkte Abnahme:

B(t)=S+(B0S)at  fu¨r  (S<B0)B(t)=S+(B_0-S)\cdot a^{ t}\;\text{für}\;(S<B_0)

S nennt man untere Schranke

Es gilt immer: limtB(t)=S\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}B(t)=S

Erkennungsmerkmal: Funktionsgraph

Das Wachstum (Zu- oder Abnahme) ist am Anfang

am stärksten und schwächt sich im Laufe der Zeit

immer mehr ab, sodass sich der Funktionsgraph asymptotisch der Schranke SS annähert.

Funktionsgraph für beschränktes exponentielles Wachstum (Zunahme)

beschränkte Zunahme

Funktionsgraph für beschränktes exponentielles Wachstum (Abnahme)

beschränkte Abnahme

Weitere Informationen findest du in dem Artikel Beschränktes exponentielles Wachstum.

Logistisches Wachstum

Steckbrief

Gleichung

B(t)=B0SB0+(SB0)eSktB(t)=\dfrac{B_0\cdot S}{B_0+(S-B_0)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}

oder nach kürzen mit B0B_0:

B(t)=S1+(SB01)eSktB(t)=\dfrac{S}{1+\left(\dfrac{S}{B_0}-1\right)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}

Die Potenz im Nenner ist die e-Funktion.

Erkennungsmerkmal: Funktionsgraph

Typische SS-Kurve mit einem Wendepunkt.

Anfangs liegt angenähert exponentielles Wachstum vor, dann schließt sich ein beschränktes Wachstum mit einer Schranke SS an.

Funktionsgraph für logistisches Wachstum

logistisches Wachstum

Weitere Informationen findest du in dem Artikel Logistisches Wachstum.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen


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