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Gegeben ist die in [0;10][0;10] definierte Funktion f:x↩2⋅10x−x2f: x\mapsto 2\cdot \sqrt{10x-x^2}. Der Graph von f f wird mit GfG_f bezeichnet.

  1. Bestimmen Sie die Nullstellen von ff. (2P) (zur Kontrolle: 00 und 1010)

  2. Der Graph GfG_f besitzt in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente. Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punkts und begrĂŒnden Sie, dass es sich um einen Hochpunkt handelt. (5P)

    (zur Kontrolle: fâ€Č(x)=10−2x10x−x2f'(x)=\dfrac{10-2x}{\sqrt{10x-x^2}}; y-Koordinate des Hochpunkts: 1010)

  3. Der Graph GfG_f ist rechtsgekrĂŒmmt. Einer der folgenden Terme ist ein Term der zweiten Ableitungsfunktion fâ€Čâ€Č f'' von ff. Beurteilen Sie, ob dies Term I\mathrm{I} oder Term II\mathrm{II} ist, ohne einen Term von fâ€Čâ€Čf'' zu berechnen. (3P)

            I        fâ€Čâ€Č(x)=50(x2−10x)⋅10x−x2                    II        fâ€Čâ€Č(x)=50(10x−x2)⋅10x−x2\;\;\;\;\mathrm{I}\;\;\;\;f''(x)=\dfrac{50}{(x^2-10x)\cdot \sqrt{10x-x^2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{II}\;\;\;\;f''(x)=\dfrac{50}{(10x-x^2)\cdot \sqrt{10x-x^2}}

  4. Weisen Sie nach, dass fĂŒr 0≀x≀5 0\leq x\leq5 die Gleichung f(5−x)=f(5+x)f(5-x)=f(5+x) erfĂŒllt ist, indem Sie die Terme f(5−x)f(5-x) und f(5+x)f(5+x) geeignet umformen.

    BegrĂŒnden Sie damit, dass der Graph GfG_f symmetrisch bezĂŒglich der Geraden mit der Gleichung x=5x=5 ist. (5P)

  5. Geben Sie den maximalen Definitionsbereich des Terms fâ€Č(x)=10−2x10x−x2f'(x)=\dfrac{10-2x}{\sqrt{10x-x^2}} an. Bestimmen Sie lim⁥x→0fâ€Č(x)\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} f'(x) und deuten Sie das Ergebnis geometrisch. (4P)

  6. Geben Sie f(8)f(8) an und zeichnen Sie GfG_f unter BerĂŒcksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein. (4P)

  7. Betrachtet wird die Tangente an GfG_f im Punkt (2∣f(2))(2|f(2)). Berechnen Sie die GrĂ¶ĂŸe des Winkels, unter dem diese Tangente die xx-Achse schneidet. (2P)

    °
  8. Von den Eckpunkten des Rechtecks ABCDABCD liegen der Punkt A(s∣0)A(s|0) mit s∈]0;5[s\in ]0;5[ sowie der Punkt B auf der xx-Achse, die Punkte CC und DD liegen auf GfG_f. Das Rechteck besitzt somit die Gerade mit der Gleichung x=5x=5 als Symmetrieachse. Zeigen Sie, dass die Diagonalen dieses Rechtecks jeweils die LÀnge 1010 besitzen. (5P)

  9. WasserbehÀlter

    Ein Wasserspeicher hat die Form eines geraden Zylinders und ist bis zu einem FĂŒllstand von 10  m10\;\mathrm{m} ĂŒber dem Speicherboden mit Wasser gefĂŒllt. Bohrt man unterhalb des FĂŒllstands ein Loch in die Wand des Wasserspeichers, so tritt unmittelbar nach Fertigstellung der Bohrung Wasser aus, das in einer bestimmten Entfernung zur Speicherwand auf den Boden trifft. Diese Entfernung wird im Folgenden Spritzweite genannt (vgl. Abbildung). Die AbhĂ€ngigkeit der Spritzweite von der Höhe des Bohrlochs wird durch die in den bisherigen Teilaufgaben betrachtete Funktion ff modellhaft beschrieben. Dabei ist xx die Höhe des Bohrlochs ĂŒber dem Speicherboden in Metern und f(x)f(x) die Spritzweite in Metern.

    Der Graph GfG_f verlÀuft durch den Punkt (3,6∣9,6)(3{,}6|9{,}6). Geben Sie die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang an. (1P)

  10. Berechne Sie die Höhen, in denen das Loch gebohrt werden kann, damit die Spritzweite 6  m6\;\mathrm{m} betrĂ€gt. Geben Sie zudem die Höhe an, in der das Loch gebohrt werden muss, damit die Spritzweite maximal ist. (5P)

  11. Es wird nun ein bestimmtes Bohrloch im Wasserspeicher betrachtet. Durch das Abfließen verringert sich das Volumen des Wassers im Speicher in AbhĂ€ngigkeit von der Zeit. Die Funktion g:x↩0,25t−25g: x\mapsto 0{,}25t-25 mit 0≀t≀100 0\leq t\leq 100 beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung dieser VolumenĂ€nderung. Dabei ist tt die seit der Fertigstellung des Bohrlochs vergangene Zeit in Sekunden und g(t) die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Speicher in Litern pro Sekunde.

    Berechnen Sie das Volumen des Wassers in Litern, das innerhalb der ersten Minute nach Fertigstellung des Bohrlochs aus dem BehĂ€lter abfließt. (4P)

    Liter