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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zu Ausdrucken als PDF,

  1. 1

    Gegeben ist die in [0;10] definierte Funktion f:x210xx2. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.

    1. Bestimmen Sie die Nullstellen von f. (2P) (zur Kontrolle: 0 und 10)

    2. Der Graph Gf besitzt in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente. Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punkts und begründen Sie, dass es sich um einen Hochpunkt handelt. (5P)

      (zur Kontrolle: f(x)=102x10xx2; y-Koordinate des Hochpunkts: 10)

    3. Der Graph Gf ist rechtsgekrümmt. Einer der folgenden Terme ist ein Term der zweiten Ableitungsfunktion f von f. Beurteilen Sie, ob dies Term I oder Term II ist, ohne einen Term von f zu berechnen. (3P)

      If(x)=50(x210x)10xx2IIf(x)=50(10xx2)10xx2

    4. Weisen Sie nach, dass für 0x5 die Gleichung f(5x)=f(5+x) erfüllt ist, indem Sie die Terme f(5x) und f(5+x) geeignet umformen.

      Begründen Sie damit, dass der Graph Gf symmetrisch bezüglich der Geraden mit der Gleichung x=5 ist. (5P)

    5. Geben Sie den maximalen Definitionsbereich des Terms f(x)=102x10xx2 an. Bestimmen Sie limx0f(x) und deuten Sie das Ergebnis geometrisch. (4P)

    6. Geben Sie f(8) an und zeichnen Sie Gf unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein. (4P)

    7. Betrachtet wird die Tangente an Gf im Punkt (2|f(2)). Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die x-Achse schneidet. (2P)

      °
    8. Von den Eckpunkten des Rechtecks ABCD liegen der Punkt A(s|0) mit s]0;5[ sowie der Punkt B auf der x-Achse, die Punkte C und D liegen auf Gf. Das Rechteck besitzt somit die Gerade mit der Gleichung x=5 als Symmetrieachse. Zeigen Sie, dass die Diagonalen dieses Rechtecks jeweils die Länge 10 besitzen. (5P)

    9. Ein Wasserspeicher hat die Form eines geraden Zylinders und ist bis zu einem Füllstand von 10m über dem Speicherboden mit Wasser gefüllt. Bohrt man unterhalb des Füllstands ein Loch in die Wand des Wasserspeichers, so tritt unmittelbar nach Fertigstellung der Bohrung Wasser aus, das in einer bestimmten Entfernung zur Speicherwand auf den Boden trifft. Diese Entfernung wird im Folgenden Spritzweite genannt (vgl. Abbildung). Die Abhängigkeit der Spritzweite von der Höhe des Bohrlochs wird durch die in den bisherigen Teilaufgaben betrachtete Funktion f modellhaft beschrieben. Dabei ist x die Höhe des Bohrlochs über dem Speicherboden in Metern und f(x) die Spritzweite in Metern.

      Wasserbehälter

      Der Graph Gf verläuft durch den Punkt (3,6|9,6). Geben Sie die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang an. (1P)

    10. Berechne Sie die Höhen, in denen das Loch gebohrt werden kann, damit die Spritzweite 6m beträgt. Geben Sie zudem die Höhe an, in der das Loch gebohrt werden muss, damit die Spritzweite maximal ist. (5P)

    11. Es wird nun ein bestimmtes Bohrloch im Wasserspeicher betrachtet. Durch das Abfließen verringert sich das Volumen des Wassers im Speicher in Abhängigkeit von der Zeit. Die Funktion g:x0,25t25 mit 0t100 beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung dieser Volumenänderung. Dabei ist t die seit der Fertigstellung des Bohrlochs vergangene Zeit in Sekunden und g(t) die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Speicher in Litern pro Sekunde.

      Berechnen Sie das Volumen des Wassers in Litern, das innerhalb der ersten Minute nach Fertigstellung des Bohrlochs aus dem Behälter abfließt. (4P)

      Liter

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