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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zu Ausdrucken als PDF,

  1. 1

    Gegeben ist die in [0;10][0;10] definierte Funktion f:x210xx2f: x\mapsto 2\cdot \sqrt{10x-x^2}. Der Graph von f f wird mit GfG_f bezeichnet.

    1. Bestimmen Sie die Nullstellen von ff. (2P) (zur Kontrolle: 00 und 1010)

    2. Der Graph GfG_f besitzt in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente. Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punkts und begründen Sie, dass es sich um einen Hochpunkt handelt. (5P)

      (zur Kontrolle: f(x)=102x10xx2f'(x)=\dfrac{10-2x}{\sqrt{10x-x^2}}; y-Koordinate des Hochpunkts: 1010)

    3. Der Graph GfG_f ist rechtsgekrümmt. Einer der folgenden Terme ist ein Term der zweiten Ableitungsfunktion f f'' von ff. Beurteilen Sie, ob dies Term I\mathrm{I} oder Term II\mathrm{II} ist, ohne einen Term von ff'' zu berechnen. (3P)

              I        f(x)=50(x210x)10xx2                    II        f(x)=50(10xx2)10xx2\;\;\;\;\mathrm{I}\;\;\;\;f''(x)=\dfrac{50}{(x^2-10x)\cdot \sqrt{10x-x^2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{II}\;\;\;\;f''(x)=\dfrac{50}{(10x-x^2)\cdot \sqrt{10x-x^2}}

    4. Weisen Sie nach, dass für 0x5 0\leq x\leq5 die Gleichung f(5x)=f(5+x)f(5-x)=f(5+x) erfüllt ist, indem Sie die Terme f(5x)f(5-x) und f(5+x)f(5+x) geeignet umformen.

      Begründen Sie damit, dass der Graph GfG_f symmetrisch bezüglich der Geraden mit der Gleichung x=5x=5 ist. (5P)

    5. Geben Sie den maximalen Definitionsbereich des Terms f(x)=102x10xx2f'(x)=\dfrac{10-2x}{\sqrt{10x-x^2}} an. Bestimmen Sie limx0f(x)\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} f'(x) und deuten Sie das Ergebnis geometrisch. (4P)

    6. Geben Sie f(8)f(8) an und zeichnen Sie GfG_f unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein. (4P)

    7. Betrachtet wird die Tangente an GfG_f im Punkt (2f(2))(2|f(2)). Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die xx-Achse schneidet. (2P)

      °
    8. Von den Eckpunkten des Rechtecks ABCDABCD liegen der Punkt A(s0)A(s|0) mit s]0;5[s\in ]0;5[ sowie der Punkt B auf der xx-Achse, die Punkte CC und DD liegen auf GfG_f. Das Rechteck besitzt somit die Gerade mit der Gleichung x=5x=5 als Symmetrieachse. Zeigen Sie, dass die Diagonalen dieses Rechtecks jeweils die Länge 1010 besitzen. (5P)

    9. Wasserbehälter

      Ein Wasserspeicher hat die Form eines geraden Zylinders und ist bis zu einem Füllstand von 10  m10\;\mathrm{m} über dem Speicherboden mit Wasser gefüllt. Bohrt man unterhalb des Füllstands ein Loch in die Wand des Wasserspeichers, so tritt unmittelbar nach Fertigstellung der Bohrung Wasser aus, das in einer bestimmten Entfernung zur Speicherwand auf den Boden trifft. Diese Entfernung wird im Folgenden Spritzweite genannt (vgl. Abbildung). Die Abhängigkeit der Spritzweite von der Höhe des Bohrlochs wird durch die in den bisherigen Teilaufgaben betrachtete Funktion ff modellhaft beschrieben. Dabei ist xx die Höhe des Bohrlochs über dem Speicherboden in Metern und f(x)f(x) die Spritzweite in Metern.

      Der Graph GfG_f verläuft durch den Punkt (3,69,6)(3{,}6|9{,}6). Geben Sie die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang an. (1P)

    10. Berechne Sie die Höhen, in denen das Loch gebohrt werden kann, damit die Spritzweite 6  m6\;\mathrm{m} beträgt. Geben Sie zudem die Höhe an, in der das Loch gebohrt werden muss, damit die Spritzweite maximal ist. (5P)

    11. Es wird nun ein bestimmtes Bohrloch im Wasserspeicher betrachtet. Durch das Abfließen verringert sich das Volumen des Wassers im Speicher in Abhängigkeit von der Zeit. Die Funktion g:x0,25t25g: x\mapsto 0{,}25t-25 mit 0t100 0\leq t\leq 100 beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung dieser Volumenänderung. Dabei ist tt die seit der Fertigstellung des Bohrlochs vergangene Zeit in Sekunden und g(t) die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Speicher in Litern pro Sekunde.

      Berechnen Sie das Volumen des Wassers in Litern, das innerhalb der ersten Minute nach Fertigstellung des Bohrlochs aus dem Behälter abfließt. (4P)

      Liter

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