Aufgaben zur Kurvendiskussion bei gebrochen rationalen Funktionen

Gegeben ist die Funktion: $f(x)=\frac{x^2}{(x-0{,}5)^3}$

Berechne die Nullstellen.

Berechne die Extrema.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen rationalen Funktionen

$f(x)=\frac{x^2}{(x-0{,}5)^3}$

Berechne die Ableitungen von Zähler ( $u$ ) und Nenner ( $v$ ). Für $v$ wird die Kettenregel verwendet.

$u'=2x,\;v'=3\cdot\left(x-0{,}5\right)^2$

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{2x\cdot \left(x-0{,}5\right)^3-x^2\cdot 3\cdot \left(x-0{,}5\right)^2}{\left(x-0{,}5\right)^6}$
	↓	Mit $\left(x-0{,}5\right)^2$ kürzen .
	$=$	$\displaystyle \frac{2x\cdot \left(x-0{,}5\right)-x^2\cdot 3}{\left(x-0{,}5\right)^4}$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{2x^2-x-3x^2}{\left(x-0{,}5\right)^4}$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle \frac{-x-x^2}{\left(x-0{,}5\right)^4}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{x^2+x}{\left(x-0{,}5\right)^4}$

$f'\left(x\right)=-\frac{x^2+x}{\left(x-0{,}5\right)^4}$

Berechne die Ableitungen von Zähler ( $u$ ) und Nenner ( $v$ ). Für $v$ wird die Kettenregel verwendet.

$u'=2x+1,\;v'=4\cdot\left(x-0{,}5\right)^3$

$\displaystyle f''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{\left(2x+1\right)\cdot \left(x-0{,}5\right)^4-\left(x^2+x\right)\cdot 4\cdot \left(x-0{,}5\right)^3}{\left(x-0{,}5\right)^8}$
	↓	Mit $\left(x-0{,}5\right)^3$ kürzen .
	$=$	$\displaystyle -\frac{\left(2x+1\right)\cdot \left(x-0{,}5\right)-\left(x^2+x\right)\cdot 4}{\left(x-0{,}5\right)^5}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{2x^2-x+x-0{,}5-4x^2-4x}{\left(x-0{,}5\right)^5}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2x^2+4x+0{,}5}{\left(x-0{,}5\right)^5}$

$f'\left(x\right)=-\frac{x^2+x}{\left(x-0{,}5\right)^4}$

Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.

$\displaystyle x^2+x$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x\cdot \left(x+1\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle f''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2x^2+4x+0{,}5}{\left(x-0{,}5\right)^5}$
	↓	Gefundenes $x_{1} = - 1$ einsetzen.
$\displaystyle f''\left(-1\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot \left(-1\right)^2+4\cdot \left(-1\right)+0{,}5}{\left(\left(-1\right)-0{,}5\right)^5}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle \frac{2-4+0{,}5}{\left(-1{,}5\right)^5}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-1{,}5}{-7{,}59375}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}1975$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Da $f''\left(-1\right)>0:$ Tiefpunkt

$\displaystyle f''\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2x^2+4x+0{,}5}{\left(x-0{,}5\right)^5}$
	↓	Gefundenes $x_{2} = 0$ einsetzen.
$\displaystyle f''\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot 0^2+4\cdot 0+0{,}5}{\left(0-0{,}5\right)^5}$
	$=$	$\displaystyle \frac{0{,}5}{\left(-0{,}5\right)^5}$
	$=$	$\displaystyle -16$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Da $f''\left(0\right)<0;$ Hochpunkt

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{x^2}{(x-0{,}5)^3}$
	↓	Gefundenes $x_{1} = - 1$ einsetzen.
$\displaystyle f(-1)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(-1\right)^2}{(-1-0{,}5)^3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{(-1{,}5)^3}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{8}{27}$

Die y-Koordinate des zweiten Extremums ist bereits bekannt, da dieses zusätzlich auch eine Nullstelle ist.

$\;\;\Rightarrow\;\;TP\left(-1\;\left|\;-\frac8{27}\right.\right),\;HP\left(0\;\left|\;0\right.\right)$

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$\displaystyle \left(x-0{,}5\right)^3$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;D_f$	$=$	$\displaystyle \mathbb{R}\backslash\left\{0{,}5\right\}$

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{x^2}{(x-0{,}5)^3}$
	↓	Setze den Zähler der Funktion gleich 0.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Wurzel ziehen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$