Gegeben ist die Funktion: f(x)=(xâ0,5)3x2â
Berechne die Nullstellen.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen rationalen Funktionen
Definitionsbereich bestimmen
Wir bestimmen zunĂ€chst den Definitionsbereich: Der Funktionsterm f(x)=(xâ0,5)3x2â ist ein Bruch. Bei einem Bruch darf der Nenner
N(x)=(xâ0,5)3=(xâ0,5)(xâ0,5)2nicht null werden.
Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn wenigstens einer der Faktoren gleich null wird. Setze daher den Nenner der Funktion gleich 0, um die DefinitionslĂŒcke zu bestimmen.
(xâ0,5)3 = 0 âDfâ = R\{0,5} Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse.
f(x) = (xâ0,5)3x2â â x2 = 0 â â x = 0 âNST=(0âŁ0)
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Berechne die Extrema.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen rationalen Funktionen
Ableitungen bilden
1. Ableitung
f(x)=(xâ0,5)3x2â
Berechne die Ableitungen von ZĂ€hler (u) und Nenner (v). FĂŒr v wird die Kettenregel verwendet.
uâČ=2x,vâČ=3â (xâ0,5)2
Quotientenregel anwenden:
fâČ(x) = (xâ0,5)62xâ (xâ0,5)3âx2â 3â (xâ0,5)2â â Mit (xâ0,5)2 kĂŒrzen .
= (xâ0,5)42xâ (xâ0,5)âx2â 3â â = (xâ0,5)42x2âxâ3x2â â Zusammenfassen
= (xâ0,5)4âxâx2â = â(xâ0,5)4x2+xâ 2. Ableitung
fâČ(x)=â(xâ0,5)4x2+xâ
Berechne die Ableitungen von ZĂ€hler (u) und Nenner (v). FĂŒr v wird die Kettenregel verwendet.
uâČ=2x+1,vâČ=4â (xâ0,5)3
Quotientenregel anwenden:
fâČâČ(x) = â(xâ0,5)8(2x+1)â (xâ0,5)4â(x2+x)â 4â (xâ0,5)3â â Mit (xâ0,5)3 kĂŒrzen .
= â(xâ0,5)5(2x+1)â (xâ0,5)â(x2+x)â 4â = â(xâ0,5)52x2âx+xâ0,5â4x2â4xâ = (xâ0,5)52x2+4x+0,5â Extrema bestimmen
FĂŒr die Extrema werden mithilfe der 1. Ableitung die x-Werte bestimmt:
fâČ(x)=â(xâ0,5)4x2+xâ
Es wird nur der ZÀhler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfÀllt.
x2+x = 0 xâ (x+1) = 0 x1â = â1 x2â = 0 Art der Extrema bestimmen
fâČâČ(x) = (xâ0,5)52x2+4x+0,5â â Gefundenes x1â=â1 einsetzen.
fâČâČ(â1) = ((â1)â0,5)52â (â1)2+4â (â1)+0,5â â (â1,5)52â4+0,5â = â7,59375â1,5â â 0,1975 â Da fâČâČ(â1)>0: Tiefpunkt
fâČâČ(x) = (xâ0,5)52x2+4x+0,5â â Gefundenes x2â=0 einsetzen.
fâČâČ(0) = (0â0,5)52â 02+4â 0+0,5â = (â0,5)50,5â = â16 â Da fâČâČ(0)<0; Hochpunkt
y-Wert bestimmen
f(x) = (xâ0,5)3x2â â Gefundenes x1â=â1 einsetzen.
f(â1) = (â1â0,5)3(â1)2â = (â1,5)31â = â278â Die y-Koordinate des zweiten Extremums ist bereits bekannt, da dieses zusĂ€tzlich auch eine Nullstelle ist.
âTP(â1ââ278â),HP(0âŁ0)
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