Eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform

Erstelle zunächst die Ebenengleichung $L$ in Parameterform:

$L=E_{DEF}:\vec X=\vec{D}+r\cdot\overrightarrow{DE}+s\cdot\overrightarrow{DF}$

Berechne die Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{DE}=\vec E-\vec D=\begin{pmatrix}0\\6\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{DF}=\vec F-\vec D=\begin{pmatrix}3\\0\\12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\6\end{pmatrix}$

Berechne den Normalenvektor der Ebene $L$ über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von $L$.

$\vec n=\overrightarrow{DE}\times \overrightarrow{DF}$

$\vec n=\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -3 \\-3 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18 \\36 \\ 27\end{pmatrix}=9\cdot \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 3 \end{pmatrix}$

Benutze den verkürzten Normalenvektor $\vec n_L=\begin{pmatrix}2 \\4\\ 3 \end{pmatrix}$.

Für die Normalenform gilt: $L: \;\left(\vec X-\vec D\right)\circ\vec n_L =0$

Die Gleichung der Ebene $L$ lautet: $x_1\cdot2+x_2\cdot4+x_3\cdot3-42=0$

Berechnung der Größe $\varphi$ des Winkels, den $L$ mit der $x_1x_2$-Ebene einschließt

Der Normalenvektor der Ebene $L$ ist der Vektor $\vec n_L=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}$.

Sein Betrag ist $|\vec n_L|=\sqrt{2^2+4^2+3^2}=\sqrt{29}$.

Der Normalenvektor der $x_1x_2$-Ebene ist $\vec n_{x_1x_2}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$.

Sein Betrag ist $|\vec n_{x_1x_2}|=1$.

Der Winkel zwischen den beiden Ebenen berechnet sich mit:

Der Winkel $\varphi$ erhält man durch Anwendung der trigonometrischen Umkehrfunktion:

$\varphi=\cos^{-1}\left(\dfrac{3}{\sqrt{29}}\right)\approx56{,}15^\circ$

Der Winkel, den $L$ mit der $x_1x_2$-Ebene einschließt, beträgt rund $56{,}15^\circ$.

Veranschaulichung des Terms $6\cdot 6-\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 -2\cdot \dfrac{1}{2}\ 3\cdot 6$

In der folgenden Abbildung sind mehrere Flächen farbig markiert.

Innerhalb eines Quadrates liegen vier Dreiecke.

Warum ist es ein Quadrat?

Die Punkte A und B liegen auf diesem Quadrat. Der Punkt $A$ hat die $x_1$-Koordinate $6$ und der Punkt $B$ hat die $x_2$-Koordinate $6$.

$\Rightarrow\;A_\square=\textcolor{009999}{ 6\cdot 6 }$

Das ist der erste Term von $\textcolor{009999}{ 6\cdot 6 }-\textcolor{006400}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 3 } -2\cdot \textcolor{cc0000}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 6 }$.

Der Punkt $A$ hat die $x_2$-Koordinate $3$ und der Punkt $C$ hat die $x_1$-Koordinate $3$.

Die Fläche des $\textcolor{006400}{ \text{ grün} }$ gefärbten Dreiecks ist dann $A_\triangle=\textcolor{006400}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 3 }$.

Das ist der zweite Term von $\textcolor{009999}{ 6\cdot 6 }-\textcolor{006400}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 3 } -2\cdot \textcolor{cc0000}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 6 }$.

Die beiden $\textcolor{cc0000}{ \text{rot} }$ gefärbten Dreiecke haben die Seitenlängen $3$ und $6$ und ihre Fläche ist jeweils $A_\triangle=\textcolor{cc0000}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 6 }$.

Diese beiden Dreiecksflächen ergeben zusammen den dritten Term in dem gegebenen Term.

Da vom Flächeninhalt der Quadratfläche insgesamt drei Flächeninhalte der Dreiecke subtrahiert werden, bleibt als Ergebnis der Flächeninhalt des $\textcolor{993300}{ \text{braunen} }$ Dreiecks $ABC$ übrig.

Der gegebene Term stellt also den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ dar.

Das Volumen des Körpers $ABCDEF$

Der Körper setzt sich aus zwei Teilen zusammen, ein dreiseitiges Prisma und eine dreiseitige Pyramide.

Volumen des dreiseitigen Prismas

$V_{\text{Prisma}}=G\cdot h$

Die Grundseite $G$ ist das Dreieck $ABC$ aus der Aufgabe c).

Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist:

$G=A_\triangle=6\cdot 6 -\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 3 -2\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 6 =36-4{,}5-18=13{,}5\;\text{FE}$

Das Prisma hat die Höhe $h=6\;\text{LE}$, da die $x_3$-Koordinate des Punktes $D$ gleich $6$ ist.

Setze die Werte für $G$ und $h$ in die Volumenformel ein:

$\Rightarrow\;V_{\text{Prisma}}=13{,}5\cdot 6=81\;\text{VE}$

Volumen der dreiseitigen Pyramide

$V_{\text{Pyramide}}=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$

Die dreiseitige Pyramide hat die gleiche Grundfläche wie das Prisma ($G=13{,}5\;\text{FE}$).

Die Höhe der Pyramide ist $h=12-6=6 \;\text{LE}$, da die Differenz der $x_3$-Koordinaten der Punkte $F$ und $D$ gleich $6$ ist.

Setze die Werte für $G$ und $h$ in die Volumenformel ein:

$\Rightarrow\;V_{\text{Pyramide}}=\dfrac{1}{3}\cdot 13{,}5\cdot 6=27\;\text{VE}$

Das Gesamtvolumen des Körpers $ABCDEF$ ist dann:

$V_{\text{gesamt}}=V_{\text{Prisma}}+V_{\text{Pyramide}}=(81+27)\;\text{VE}=108\;\text{VE}$

Die Ebene $N_k$ enthält die $x_3$-Achse und den Punkt $P(1-k|k|0)$ mit $k\in]0;1[$.

Es werden zunächst die Ebenen an den Rändern des Intervalls, in dem $k$ liegt, also die Ebenen für $k=0$ und $k=1$ betrachtet.

Für $k=0$ liegt der Punkt $P_0(1|0|0)$ in der Ebene $N_0$. Diese Ebene ist die $x_1x_3$-Ebene, die in der folgenden Abbildung eingezeichnet ist.

Für $k=1$ liegt der Punkt $P_1(0|1|0)$ in der Ebene $N_1$. Diese Ebene ist die $x_2x_3$-Ebene, die in der folgenden Abbildung eingezeichnet ist.

Interessant ist nun eine Ebene, die zwischen den Ebenen $N_0$ und $N_1$ liegt, z.B. die Ebene, die durch den Punkt $A$ verläuft.

Für welches $k$ enthält die Ebene $N_k$ den Punkt $A(6|3|0)$?

Man erstellt eine Geradengleichung $g_{OA}$, die durch den Ursprung verläuft und den Punkt A enthält.

$g_{OA}:\:\vec X=r\cdot \begin{pmatrix}6\\3\\0\end{pmatrix}$

Der Punkt $P_k$ soll auf der Geraden $g_{OA}$ liegen:

$P_k\cap g_{OA}$

Es ergeben sich zwei Gleichungen:

$\mathrm{(I)}:\; 1-k=6r\;\Rightarrow\;\mathrm{(I')}:\;r=\dfrac{1-k}{6}$

$\mathrm{(II)}:\;k=3r\;\Rightarrow\;\mathrm{(II')}:\;r=\dfrac{k}{3}$

Aus $\mathrm{(I')}=\mathrm{(II')}$ folgt:

Für $k=\dfrac{1}{3}$ verläuft die Ebene $N_{\frac{1}{3}}$ durch den Punkt $A$.

Diese Ebene ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Durchläuft nun $k$ die Werte von $0$ bis $1$, dreht sich die Ebene $N_k$ um die $x_3$-Achse.

Dabei werden zwei verschiedene Bereiche $]a;b[$ durchlaufen, sodass die Ebene $N_k$ für alle Werte von $k$ aus $]a;b[$ die gleichen Kanten des Körpers schneidet.

Der erste Bereich ist das Intervall $]0;\frac{1}{3}[$ mit einer Intervalllänge von $\dfrac{1}{3}$, der zweite Bereich ist das Intervall $]\frac{1}{3};1[$ mit einer Intervalllänge von $\dfrac{2}{3}$.

Gesucht ist der größere Bereich, also hier das Intervall $]\frac{1}{3};1[$.

In diesem Bereich werden die Kanten $[AB]$, $[DE]$, $[BC]$ und $[EF]$ geschnitten.

Die $x_3$-Koordinate von $Q$

Das Dreieck $FQR$ hat in $Q$ einen rechten Winkel. Daher gilt:

$\overrightarrow{QR}\perp \overrightarrow{QF}\;\Rightarrow\;\overrightarrow{QR}\circ\overrightarrow{QF}=0$

Der Punkt $Q$ hat dieselben $x_1$- und $x_2$-Koordinaten wie der Punkt $A$.

$\Rightarrow\;Q(6|3|q_3)$

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{QR}$ und $\overrightarrow{QF}$:

$\overrightarrow{QR}=\vec R-\vec Q=\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\3\\q_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\3\\2-q_3\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{QF}=\vec F-\vec Q=\begin{pmatrix}3\\0\\12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\3\\q_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\12-q_3\end{pmatrix}$

Die erhaltene quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel gelöst werden.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel. Die Werte für $p$ und $q$ werden abgelesen:

$p=-14$ und $q=33$

$q_3$ ist somit entweder $11$ oder $3$. Die Lösung $q_3=11$ entfällt, da $q_3$ zwischen $0$ und $6$ liegen muss ($A$ hat die $x_3$-Koordinate $0$ und $D$ hat die $x_3$-Koordinate $6$).

Die $q_3$-Koordinate von $Q$ ist also $3$ und der Punkt $Q$ hat die Koordinaten $Q(6|3|3)$.

Die folgende Abbildung ist nicht gefordert, sie dient nur der Veranschaulichung.

Geben Sie die Bedeutung von $S$ an

Der Körper wird so um die Gerade $AB$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $x_1x_2$-Ebene liegt und dabei eine positive $x_2$ Koordinate hat.

Es handelt sich also um eine $90^\circ$-Drehung.

Gegeben ist die folgende Gleichung:

$\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\circ\left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right] =0$

Es handelt sich hier um ein Skalarprodukt, das gleich null ist. Die beiden beteiligten Vektoren müssen also senkrecht aufeinander stehen.

Der erste Vektor ist der Vektor $\overrightarrow {BA}=\vec A-\vec B=\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Man betrachtet nun den Vektor in der eckigen Klammer.

$\left[\underbrace{ \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}}_{g_{AB}}-\underbrace{\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec C}\right]$

Es handelt sich um die Differenz zwischen einem beliebigen Punkt $S$ auf der Geraden $g_{AB}$ durch die Punkte $B$ und $A$ und dem Vektor $\vec C$.

Dabei ist die Gerade $g_{AB}$ gegeben durch:

$g_{BA}:\;\vec X=\vec B+\lambda \cdot \overrightarrow {BA}=\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$

Die eckige Klammer stellt somit den Vektor $\overrightarrow {CS}$ dar.

Es ist also:

$\overrightarrow {BA}\circ \overrightarrow {CS}=0 \;\Rightarrow\;\overrightarrow {BA}\perp\overrightarrow {CS}$

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung

Die Lösung der Gleichung $\overrightarrow {BA}\circ \overrightarrow {CS}=0$ liefert für $\lambda$ den Wert $\lambda =0{,}8$.

Einsetzen von $\lambda =0{,}8$ in die Geradengleichung $g_{AB}$ ergibt die Koordinaten des Lotfußpunktes $S(4{,}8|3{,}6|0)$.

Für den Punkt T gilt die Gleichung:

$\vec T=\vec S+\left|\overrightarrow {CS}\right|\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Die folgende Abbildung verdeutlicht diese Gleichung.

Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung.