Ermitteln Sie eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $2x_1+4x_2+3x_3-42=0)$

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den $L$ mit der $x_1x_2$-Ebene einschließt.

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ kann mit dem Term

$6\cdot 6-\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 -2\cdot \dfrac{1}{2}\ 3\cdot 6$

berechnet werden. Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.

Berechnen Sie das Volumen des Körpers $ABCDEF$.

Die Ebene $N_k$ enthält die $x_3$-Achse und den Punkt $P_k(1-k|k|0)$ mit $k\in]0;1[$

Welche Kanten des Körpers von $N_k$ geschnitten werden, ist abhängig von $k$. Durchläuft $k$ alle Werte zwischen $0$ und $1$, so gibt es Bereiche $]a;b[$, für die jeweils gilt, dass $N_k$ für alle Werte von $k\in ]a;b[$ die gleichen Kanten des Körpers schneidet. Bestimmen Sie den größten dieser Bereiche und geben Sie die zugehörigen Kanten an.

Auf der Kante $[AD]$ liegt der Punkt $Q$, auf der Kante $[BE]$ der Punkt $R(0|6|2)$. Das Dreieck $FQR$ hat in $Q$ einen rechten Winkel. Bestimmen Sie die $x_3$ Koordinate von $Q$.

Der Körper wird so um die Gerade $AB$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $x_1x_2$-Ebene liegt und dabei eine positive $x_2$ Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:

$\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\circ \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right] =0 \iff \lambda=0{,}8$

d.h. $S(4{,}8|3{,}6|0$). $\vec T=\vec S+\left|\overrightarrow {CS}\right|\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und geben Sie die Bedeutung von $S$ an.