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Aufgabe 3A

Bild

Betrachtet werden die Pyramiden ABCDSkA B C D S_{k}

mit A(000),B(200),C(220),D(020)A(0|0| 0), B(2|0| 0), C(2|2| 0), D(0|2| 0) und Sk(11k) S_{k}(1|1| k) mit k>1k>1.

Die gemeinsame Grundfläche ABCDA B C D dieser Pyramiden ist quadratisch. Der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche ABCDA B C D wird mit TT bezeichnet.

Die Abbildung zeigt beispielhaft eine dieser Pyramiden.

  1. Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide ABCDSkA B C D S_{k}. (5 BE)

  2. Der Punkt SkS_{k} wird am Punkt CC gespiegelt. Geben Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes zu SkS_{k} an.

    Berechnen Sie den Wert von kk so, dass SkS_{k} zu seinem Spiegelpunkt den Abstand 6 hat.

    (4 BE)

  3. Die Seitenfläche ABSkA B S_{k} liegt in der Ebene LL.

    Bestimmen Sie eine Gleichung von LL in Koordinatenform. (3 BE)

    [zur Kontrolle: kyz=0]k \cdot y-z=0]

  4. Bestimmen Sie denjenigen Wert von kk, für den die Seitenfläche ABSkA B S_{k} gegenüber der Grundfläche ABCDA B C D um einen Winkel der Größe 6060^{\circ} geneigt ist. (3 BE)

  5. Untersuchen Sie, ob es einen Wert für k>1k>1 gibt, sodass das Dreieck BSkDB S_{k} D rechtwinklig ist. (3 BE)

  6. Die Ebene mit der Gleichung z=1z=1 schneidet die vier vom Punkt SkS_{k} ausgehenden Kanten der Pyramide ABCDSkA B C D S_{k} in den Punkten Ek,Fk,GkE_{k}, F_{k}, G_{k} und HkH_{k} (vgl. Abbildung).

    Bestimmen Sie die xx - und die yy-Koordinate von FkF_{k}. (3 BE)

  7. Bestimmen Sie diejenigen Werte von kk, für die das Verhältnis des Volumens der Pyramide EkFkGkHkTE_{k} F_{k} G_{k} H_{k} T zum Volumen der Pyramide ABCDSk18A B C D S_{k} \quad\frac{1}{8} beträgt. (4 BE)