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Aufgabe 1B

Gegeben ist die Funktionenschar faf_{a} mit fa(x)=x(x−a)(x−2a)=x3−3ax2+2a2xf_{a}(x)=x(x-a)(x-2 a)=x^{3}-3 a x^{2}+2 a^{2} x, wobei a≠0a \neq 0 und x∈Rx \in \mathbb{R} gilt. Es gilt: faâ€Čâ€Č(x)=6x−6af_{a}^{\prime \prime}(x)=6 x-6 a

  1. BegrĂŒnden Sie, dass jeder Graph von faf_a

    • drei verschiedene Nullstellen hat,

    • den Wendepunkt (a∣0)(a \mid 0) hat. (5 BE)

  2. BegrĂŒnden Sie, dass fĂŒr jeden Wert von aa die Graphen zu faf_{a} und f−af_{-a} im Koordinatenursprung dieselbe Steigung haben. (2 BE)

  3. Berechnen Sie die Werte von aa, fĂŒr die an der Stelle x=2x=2 der Funktionswert 5 betrĂ€gt.

    (3 BE)

  4. Die Graphen zu f−1f_{-1} und f4f_{4} haben im Intervall [0;2][0 ; 2] genau zwei gemeinsame Punkte.

    BegrĂŒnden Sie mithilfe des KrĂŒmmungsverhaltens, dass die beiden Graphen im betrachteten Intervall keine weiteren gemeinsamen Punkte haben. (4 BE)

  5. Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von faf_{a} im Wendepunkt.

    Berechnen Sie die Werte von aa, fĂŒr die diese Tangente mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck einschließt. (4 BE)

  6. Gegeben sind die Punkte P(1∣0)P(1 \mid 0) und Qa(3∣fa(3))Q_{a}\left(3 \mid f_{a}(3)\right).

    Untersuchen Sie, ob es Werte von aa gibt, sodass die Gerade durch die Punkte PP und QaQ_{a} eine Tangente an den Graphen von faf_{a} im Punkt QaQ_{a} ist.

    BegrĂŒnden Sie, dass der Punkt (0∣2)(0|2) auf keiner der Geraden durch die Punkte PP und QaQ_{a} liegt. (9 BE)

  7. Betrachtet wird jetzt zusĂ€tzlich die Funktion f3f_{3} mit f3(x)=x3−9x2+18xf_{3}(x)=x^{3}-9 x^{2}+18 x.

    Bestimmen Sie die Werte von aa, fĂŒr die der zugehörige Graph von faf_{a} im Intervall [−1;0][-1 ; 0] dieselbe durchschnittliche Steigung hat wie der Graph von f3f_{3}. (5 BE)

  8. Die Tangente an den Graphen von f3f_{3} im Tiefpunkt schließt mit dem Graphen von f3f_{3} eine FlĂ€che ein. Außerdem schließt der Graph von f3f_{3} mit der xx-Achse im Intervall [0;3][0 ; 3] eine FlĂ€che ein.

    Berechnen Sie das VerhÀltnis der Inhalte dieser beiden FlÀchen. (8 BE)