Gegeben ist die Funktion f:x↦−1001x(x−10)2(x−24) mit der Definitionsmenge Df=R. Der Graph der Funktion f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit Gf bezeichnet.
Geben Sie die Nullstellen der Funktion f mit ihrer jeweiligen Vielfachheit an. (3 BE)
Achte auf den Operator "Geben Sie ... an" und die Punktzahl! Hier ist keine komplette Nullstellenberechnung gefordert, sondern du kannst die Nullstellen und ihre Vielfachheiten direkt aus dem Term herauslesen, da dieser in Produktform ist.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich der Funktionsterm f(x) auch in der Form f(x)=−1001(x4−44x3+580x2−2400x) darstellen lässt. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Extremstellen bestimmen
Ableitung von f
Verwende f(x)=−1001(x4−44x3+580x2−2400x) um die Ableitung zu bestimmen.
f′(x)=−1001(4x3−132x2+1160x−2400)
Nullstellen von f'
Bestimme die Lösungen von f′(x)=0, indem du eine Polynomdivision ausführst. Verwende als Anfangsnullstelle eine Nullstelle aus dem Taschenrechner oder aus dem möglichen Teilergebnis.
Da der Leitkoeffizienta=−1001 negativ ist und der Gradn=4 gerade, kommt der Graph aus dem III. Quadranten und endet im IV. Quadranten (also x→±∞limf(x)=−∞). Es gibt also keinen kleinsten Funktionswert.
Der größte Funktionswert ist beim Hochpunkt HOP(20∣80), dieser ist aufgrund des gerade beschriebenen Globalverlaufs ein absoluter Hochpunkt.
Bestimme die 1. Ableitung. Verwende dafür den Term aus der letzten Teilaufgabe, dieser lässt sich leichter ableiten.
Bestimme die Nullstellen der 1. Ableitung. Du musst hier eine Polynomdivision ausführen und anschließend die Mitternachtsformel verwenden.
Bestimme die Art der Extremstellen zum Beispiel mithilfe der 2. Ableitung (Alternativ: Monotonietabelle oder Skizze der Ableitung)
Bestimme die Lage der Extremstellen durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion
Wertemenge:
Kombiniere dein Wissen über die Extremstellen, den Grad und den Leitkoeffizienten der Funktion und gib damit die Wertemenge an.
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen Gf für 0≤x≤24 in ein kartesisches Koordinatensystem. Wählen Sie dazu für beide Achsen einen geeigneten Maßstab. (5 BE)
Da die Grenzen für die Zeichnung die beiden Nullstellen x=0 und x=24 sind und der tiefste Punkt TIP(10∣0) auch nicht unter der x-Achse verläuft, brauchst du nur den I. Quadranten.
Eine sinnvolle Skalierung könnte sein: x-Achse: 1 cm=2 LE, y-Achse: 1 cm=10 LE
Im Taschenrechner musst du dann als Schrittweite 1 einstellen.
(Alternativ geht auch die etwas gröbere Skalierung 1 cm =4 LE auf der x-Achse mit Schrittweite 2).
Untersuche mithilfe deiner bisherigen Rechnung, was ein guter Maßstab ist. Anhaltspunkte können sein:
Gibt es negative Funktionswerte?
Was ist der höchste Punkt, der eingezeichnet werden muss?
Beachte, dass der Maßstab auf x- und y-Achse nicht gleich groß sein muss.
Passe bei der Wertetabelle deine Schrittweite so an, dass du nach wie vor bei jedem Kästchen einen Punkt einzeichnen kannst.
Der Graph der Funktion f und die x-Achse schließen zwei endliche Flächenstücke ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des kleineren der beiden Flächenstücke. (4 BE)
