Teil 2, Analysis II

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Die Aufgabenstellungen zum Ausdrucken findest du hier als PDF.

Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto - \frac{1}{100} x (x - 10)^{2} (x - 24)$ mit der Definitionsmenge $D_{f} = ℝ$ . Der Graph der Funktion f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{f}$ bezeichnet.

Geben Sie die Nullstellen der Funktion f mit ihrer jeweiligen Vielfachheit an. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktordarstellung einer Polynomfunktion beliebigen Grades
Nach dem Satz vom Nullprodukt kannst du bei diesem Term jedem Faktor einzeln betrachten und so die Nullstellen ermitteln:
$x_{1} = 0$ mit Vielfachheit 1
$x_{2 / 3} = 10$ mit Vielfachheit 2
$x_{4} = 24$ mit Vielfachheit 1
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Achte auf den Operator "Geben Sie ... an" und die Punktzahl! Hier ist keine komplette Nullstellenberechnung gefordert, sondern du kannst die Nullstellen und ihre Vielfachheiten direkt aus dem Term herauslesen, da dieser in Produktform ist.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich der Funktionsterm f(x) auch in der Form $f (x) = - \frac{1}{100} (x^{4} - 44 x^{3} + 580 x^{2} - 2400 x)$ darstellen lässt. (3 BE)

Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von $G_{f}$ . Geben Sie die Wertemenge $W_{f}$ an.
(Mögliches Teilergebnis: $f^{'} (x) = - 1 / 25 (x - 3) (x - 10) (x - 20)$ ) (11 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Extremstellen bestimmen
Ableitung von f
Verwende $f (x) = - \frac{1}{100} (x^{4} - 44 x^{3} + 580 x^{2} - 2400 x)$ um die Ableitung zu bestimmen.
$f^{'} (x) = - \frac{1}{100} (4 x^{3} - 132 x^{2} + 1160 x - 2400)$
Nullstellen von f'
Bestimme die Lösungen von $f^{'} (x) = 0$ , indem du eine Polynomdivision ausführst. Verwende als Anfangsnullstelle eine Nullstelle aus dem Taschenrechner oder aus dem möglichen Teilergebnis.
Hier wird $x_{1} = 3$ verwendet:
$\begin{array}{lll} \end{array}$ $\begin{array}{l} (4 x^{3} - 132 x^{2} + 1160 x - 2400) : (x - 3) = 4 x^{2} - 120 x + 800 \\ - (4 x^{3} - 12 x^{2}) \\ - 120 x^{2} + 1160 x \\ - (- 120 x^{2} + 360 x) \\ 800 x - 2400 \\ - (800 x - 2400) \\ 0 \end{array}$
Setze den entstandenen quadratischen Term erneut 0 und verwende die Mitternachtsformel zum lösen.
$0 = 4 x^{2} - 120 x + 800$
$x_{2 / 3} = \frac{- (- 120) \pm \sqrt{(- 120)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 800}}{2 \cdot 4}$
$x_{2} = 10, x_{3} = 20$
Art der Extremstellen mit 2. Ableitung
Setze die gefundenen Nullstellen in die 2. Ableitung ein, um die Art der Extremstellen zu erhalten.
$f^{''} (x) = - \frac{1}{100} (12 x^{2} - 264 x + 1160)$
$f^{''} (3) = - 4,76$ , also $f^{''} (3) < 0$ und somit $H O P$ bei $x = 3$
$f^{''} (10) = 2,8$ , also $f^{''} (10) > 0$ und somit $T I P$ bei $x = 10$
$f^{''} (20) = - 6,8$ , also $f^{''} (20) < 0$ und somit $H O P$ bei $x = 20$
Lage der Extremstellen
Berechne die Funktionswerte von f:
$f (3) = 30,87$ , also $HOP (3 | 30,87)$
$f (10) = 0$ , also $TIP (10 | 0)$
$f (20) = 80$ , also $HOP (20 | 80)$
Wertemenge
Da der Leitkoeffizient $a = - \frac{1}{100}$ negativ ist und der Grad $n = 4$ gerade, kommt der Graph aus dem III. Quadranten und endet im IV. Quadranten (also $\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = - \infty$ ). Es gibt also keinen kleinsten Funktionswert.
Der größte Funktionswert ist beim Hochpunkt $HOP (20 | 80)$ , dieser ist aufgrund des gerade beschriebenen Globalverlaufs ein absoluter Hochpunkt.
Die Wertemenge ist also $W =] - \infty; 80]$ .
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Für die Extrempunkte:
Bestimme die 1. Ableitung. Verwende dafür den Term aus der letzten Teilaufgabe, dieser lässt sich leichter ableiten.
Bestimme die Nullstellen der 1. Ableitung. Du musst hier eine Polynomdivision ausführen und anschließend die Mitternachtsformel verwenden.
Bestimme die Art der Extremstellen zum Beispiel mithilfe der 2. Ableitung (Alternativ: Monotonietabelle oder Skizze der Ableitung)
Bestimme die Lage der Extremstellen durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion
Wertemenge:
Kombiniere dein Wissen über die Extremstellen, den Grad und den Leitkoeffizienten der Funktion und gib damit die Wertemenge an.
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen $G_{f}$ für $0 \leq x \leq 24$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Wählen Sie dazu für beide Achsen einen geeigneten Maßstab. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Da die Grenzen für die Zeichnung die beiden Nullstellen $x = 0$ und $x = 24$ sind und der tiefste Punkt $TIP (10 | 0)$ auch nicht unter der $x$ -Achse verläuft, brauchst du nur den I. Quadranten.
Eine sinnvolle Skalierung könnte sein: $x$ -Achse: $1 cm = 2 LE$ , $y$ -Achse: $1 cm = 10 LE$
Im Taschenrechner musst du dann als Schrittweite $1$ einstellen.
(Alternativ geht auch die etwas gröbere Skalierung $1 cm = 4 LE$ auf der $x$ -Achse mit Schrittweite $2$ ).
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Untersuche mithilfe deiner bisherigen Rechnung, was ein guter Maßstab ist. Anhaltspunkte können sein:
Gibt es negative Funktionswerte?
Was ist der höchste Punkt, der eingezeichnet werden muss?
Beachte, dass der Maßstab auf $x$ - und $y$ -Achse nicht gleich groß sein muss.
Passe bei der Wertetabelle deine Schrittweite so an, dass du nach wie vor bei jedem Kästchen einen Punkt einzeichnen kannst.

Der Graph der Funktion $f$ und die $x$ -Achse schließen zwei endliche Flächenstücke ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des kleineren der beiden Flächenstücke. (4 BE)

Landwirte beklagen zunehmend Ernteausfälle durch anhaltende Dürren in den Sommermonaten. Während der durchschnittliche Ertrag an Weizen pro Hektar Anbaufläche 2014 noch bei 86,3 Dezitonnen lag, brachte die Ernte von 2017 nur noch durchschnittlich 70,0 Dezitonnen pro Hektar Anbaufläche ein.

Basierend auf den seit dem Jahr 2014 ausgewerteten Daten kann die Ertragsentwicklung vereinfacht durch die Funktion $E : t \mapsto 56,3 \cdot e^{c \cdot t} + a$ mit $t \in ℝ_{0}^{+}, c \in ℝ^{-}$ und $a \in ℝ^{+}$ modelliert werden. Der Funktionswert von E gibt den durschnittlichen Weizenertrag in Dezitonnen pro Hektar Anbaufläche zum Zeitpunkt t an. Dabei steht t für die vergangene Zeit in Jahren ab dem Jahr 2014 ( $t_{0} = 0)$ .

Bei der Berechnung kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

Ermitteln Sie den Mittelwert der jährlichen Abnahme des durchschnittlichen Weizenertrags pro Hektar Anbaufläche über die Jahre 2014 bis 2017. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient
Aus der Angabe weißt du, dass die Messung 2014 beginnt, also $t = 0$ .
Somit wird 2017 der Wert $t = 2017 - 2014 = 3$ zugeordnet.
Zu $t = 0$ gehört der Funktionswert $E (0) = 86,3$ und zu $t = 3$ laut Aufgabenstellung $E (3) = 70.$
Berechne damit den Differenzenquotient:
$m_{S} = \frac{E (3) - E (0)}{3 - 0} = \frac{70 - 86,3}{3} = - \frac{163}{30} \approx - 5,43$
Im Durchschnitt nimmt der Ertrag in den ersten drei Jahren jährlich um $5,43$ Dezitonnen ab.
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Ein Mittelwert entspricht graphisch der Steigung der Sekanten.
Du bestimmst also die Werte von t und entnimmst der Aufgabenstellung die zugehörigen Funktionswerte für 2014 und 2017. Damit berechnest du wie bei einem Steigungsdreieck einer Geraden die mittlere Steigung.
Bestimmen Sie die Werte der Parameter $a$ und $c$ der Funktion $E$ . Runden Sie $c$ auf zwei Nachkommastellen. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einsetzungsverfahren
Bestimmung von a
Du sollst die Parameter $a$ und $c$ im Term $E (t) = 56,3 \cdot e^{c \cdot t} + a$ bestimmen.
Du weißt, dass 2014 ( $t = 0$ ) durchschnittlich $86,3$ Dezitonnen und 2017 ( $t = 3$ ) durchschnittlich $70,0$ Dezitonnen geerntet wurden.
Setze zuerst für das Jahr 2014 ein:
$I) E (0) = 86,3$
Setze in den vorgegebenen Term ein
↓
$56,3 \cdot e^{c \cdot 0} + a$ $=$ $86,3$
↓
$e^{0} = 1$
$56,3 + a$ $=$ $86,3$ $- 56,3$
$a$ $=$ $30$
Bestimmung von c
Ermittele nun $c$ mit dem Wert von 2017 und dem gefundenen $a :$
$I I) E (3) = 70$
Setze gemeinsam mit $a = 30$ in den Funktionsterm ein
↓
$56,3 \cdot e^{c \cdot 3} + 30$ $=$ $70$ $- 30$
$56,3 \cdot e^{3 c}$ $=$ $40$ $: 56,3$
$e^{3 c}$ $=$ $\frac{40}{56,3}$
↓
Verwende den ln
$3 c$ $=$ $\ln (\frac{40}{56,3})$ $: 3$
$c$ $\approx$ $- 0,11$
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Setze die beiden Wertepaare für 2014 und 2017, die du bereits in der letzten Aufgabe verwendet hast, in den vorgegebenen Term ein.
Löse dann das Gleichungssystem, zum Beispiel mit dem Einsetzungsverfahren.
Im Folgenden gilt: $E (t) = 56,3 \cdot e^{- 0,11 t} + 30$ .
Einige Landwirte sind der Meinung, dass der Weizenanbau ab einem durchschnittlichen Weizenertrag von 50 Dezitonnen pro Hektar Anbaufläche nicht mehr rentabel für sie ist. Berechnen Sie, ab welchem Jahr dies laut dem Modell der Fall wäre. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichung
Berechnung des zugehörigen Werts von t
Da 50 Dezitonnen ein Ertrag ist, setzt du den Funktionsterm mit dem Wert gleich.
$E (t)$ $=$ $50$
$56,3 \cdot e^{- 0,11 t} + 30$ $=$ $50$ $- 30$
$56,3 \cdot e^{- 0,11 t}$ $=$ $20$ $: 56,3$
$e^{- 0,11 t}$ $=$ $\frac{20}{56,3}$
↓
Verwende den ln
$- 0,11 t$ $=$ $\ln (\frac{20}{56,3})$ $: (- 0,11)$
$t$ $\approx$ $9,41$
Interpretation im Sachkontext
Rechne die vergangenen Jahre zum Jahr 2014 dazu: $2014 + 9,41 = 2023,41$ .
Es wird gefragt, ab welchem Jahr es erstmals den Wert unterschreitet, deshalb lautet die Antwort:
Bei jährlicher Messung erstmals ab dem Jahr 2024.
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Du bekommst einen Weizenertrag vorgegeben. Das ist ein Funktionswert.
Setze deinen Term mit 50 gleich und löse durch Umformen.

Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte von $E$ für $t \to \infty$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (3 BE)

Sofern Landwirte 2018 mit einem massiven Einbruch ihrer Weizenerträge konfrontiert waren, hatten sie Anspruch auf Unterstützungszahlungen des Bundes. War ihr durchschnittlicher Weizenertrag pro Hektar Anbaufläche um mehr als 30% geringer als der Mittelwert der entsprechenden Erträge in den Jahren 2015, 2016 und 2017, so konnten sie einen Antrag auf Nothilfen stellen.
Prüfen Sie rechnerisch, ob sich gemäß dem hier gewählten mathematischen Modell, eine Antragsberechtigung für Nothilfen ergibt.

Mittelwert der Erträge
Anders als bei der ersten Teilaufgabe musst du hier den Mittelwert aus drei Jahren berechnen. Das ist vergleichbar mit einem Notendurchschnitt.
Werte dazu die Funktion $E$ aus für $t = 1,2,3$ aus.
$\frac{E (1) + E (2) + E (3)}{3}$
$=$ $\frac{80,44 + 75,18 + 70,48}{3}$
$\approx$ $75,37$
Abweichung vom Mittelwert in 2018
Im Jahr 2018 wurden $E (4) = 66,26$ Dezitonnen erwirtschaftet.
Die prozentuale Abweichung vom Mittelwert ist die Frage danach, um wie viel Prozent der Ertrag von $66,26$ kleiner ist als $75,36$ . Du suchst also den Prozentsatz:
$p = \frac{75,37 - 66,26}{75,37} \approx 0,12$
Die Abweichung beträgt also nur $12 %$ und somit gibt es keine Antragsberechtigung.
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$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{100} x {(x - 10)}^{2} (x - 24)$
	↓	Benutze die 2. binomische Formel für $(x - 10)^{2}$
	$=$	$- \frac{1}{100} x (x^{2} - 20 x + 100) (x - 24)$
	↓	Multipliziere das x von vorne in die Klammer
	$=$	$- \frac{1}{100} (x^{3} - 20 x^{2} + 100 x) (x - 24)$
	↓	Verrechne nun noch die letzten beiden Klammern
	$=$	$- \frac{1}{100} (x^{4} - 20 x^{3} + 100 x^{2} - 24 x^{3} + 480 x^{2} - 2400 x)$
	$=$	$- \frac{1}{100} (x^{4} - 44 x^{3} + 580 x^{2} - 2400 x)$

$A$	$=$	$\int_{0}^{10} f (x) d x$
	↓	Erneut ist es einfacher, mit dem ausmultiplizierten Term zu rechnen, ...
	$=$	$\int_{0}^{10} (- \frac{1}{100} (x^{4} - 44 x^{3} + 580 x^{2} - 2400 x)) d x$
	↓	...denn jetzt musst du eine Stammfunktion bilden:
	$=$	${[- \frac{1}{100} (\frac{1}{5} x^{5} - 11 x^{4} + \frac{580}{3} x^{3} - 1200 x^{2})]}_{0}^{10}$
	↓	Berechne $F (10) - F (0)$
	$=$	$\frac{500}{3}$

	$\lim_{t \to + \infty} (56,3 \cdot e^{- 0,11 t} + 30)$
	↓ $t$ wird im Exponenten mit einer negativen Zahl multipliziert. Für große, positive $t$ wandert der Exponent gegen $- \infty$
$=$	$56,3 \cdot e^{" - \infty "} + 30$
	↓ Die normale e-Funktion nähert sich für negative Werte dem Wert $0$ an.
$=$	$56,3 \cdot " 0 " + 30$
	↓ Damit verschwindet für große Werte von $t$ der Faktor $56,3$
$=$	$30$

Teil 2, Analysis II

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Extremstellen bestimmen

Wertemenge

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Bestimmung von a

Bestimmung von c

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Berechnung des zugehörigen Werts von t

Interpretation im Sachkontext

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Grenzwert bestimmen

Interpretation des Wertes

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Mittelwert der Erträge

Abweichung vom Mittelwert in 2018

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Setze in den vorgegebenen Term ein
	↓
$56,3 \cdot e^{c \cdot 0} + a$	$=$	$86,3$
	↓	$e^{0} = 1$
$56,3 + a$	$=$	$86,3$	$- 56,3$
$a$	$=$	$30$

Setze gemeinsam mit $a = 30$ in den Funktionsterm ein
	↓
$56,3 \cdot e^{c \cdot 3} + 30$	$=$	$70$	$- 30$
$56,3 \cdot e^{3 c}$	$=$	$40$	$: 56,3$
$e^{3 c}$	$=$	$\frac{40}{56,3}$
	↓	Verwende den ln
$3 c$	$=$	$\ln (\frac{40}{56,3})$	$: 3$
$c$	$\approx$	$- 0,11$

$E (t)$	$=$	$50$
$56,3 \cdot e^{- 0,11 t} + 30$	$=$	$50$	$- 30$
$56,3 \cdot e^{- 0,11 t}$	$=$	$20$	$: 56,3$
$e^{- 0,11 t}$	$=$	$\frac{20}{56,3}$
	↓	Verwende den ln
$- 0,11 t$	$=$	$\ln (\frac{20}{56,3})$	$: (- 0,11)$
$t$	$\approx$	$9,41$

	$\frac{E (1) + E (2) + E (3)}{3}$
$=$	$\frac{80,44 + 75,18 + 70,48}{3}$
$\approx$	$75,37$