Teil 2, Analysis II - lernen mit Serlo!

Landwirte beklagen zunehmend Ernteausfälle durch anhaltende Dürren in den Sommermonaten. Während der durchschnittliche Ertrag an Weizen pro Hektar Anbaufläche 2014 noch bei 86,3 Dezitonnen lag, brachte die Ernte von 2017 nur noch durchschnittlich 70,0 Dezitonnen pro Hektar Anbaufläche ein.

Basierend auf den seit dem Jahr 2014 ausgewerteten Daten kann die Ertragsentwicklung vereinfacht durch die Funktion $E:t\mapsto56{,}3\cdot e^{c\cdot t}+a$ mit $t\in\R^+_0, c\in\R^-$ und $a\in \R^+$ modelliert werden. Der Funktionswert von E gibt den durschnittlichen Weizenertrag in Dezitonnen pro Hektar Anbaufläche zum Zeitpunkt t an. Dabei steht t für die vergangene Zeit in Jahren ab dem Jahr 2014 ( $t_0=0)$ .

Bei der Berechnung kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

Ermitteln Sie den Mittelwert der jährlichen Abnahme des durchschnittlichen Weizenertrags pro Hektar Anbaufläche über die Jahre 2014 bis 2017. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzenquotient
Aus der Angabe weißt du, dass die Messung 2014 beginnt, also $t=0$ .
Somit wird 2017 der Wert $t=2017-2014=3$ zugeordnet.
Zu $t=0$ gehört der Funktionswert $E(0)=86{,}3$ und zu $t=3$ laut Aufgabenstellung $E(3)=70.$
Berechne damit den Differenzenquotient:
$m_S=\dfrac{E(3)-E(0)}{3-0}=\dfrac{70-86{,}3}{3}=-\dfrac{163}{30}\approx -5{,}43$
Im Durchschnitt nimmt der Ertrag in den ersten drei Jahren jährlich um $5{,}43$ Dezitonnen ab.
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Ein Mittelwert entspricht graphisch der Steigung der Sekanten.
Du bestimmst also die Werte von t und entnimmst der Aufgabenstellung die zugehörigen Funktionswerte für 2014 und 2017. Damit berechnest du wie bei einem Steigungsdreieck einer Geraden die mittlere Steigung.

Bestimmen Sie die Werte der Parameter $a$ und $c$ der Funktion $E$ . Runden Sie $c$ auf zwei Nachkommastellen. (4 BE)

Im Folgenden gilt: $E(t)=56{,}3\cdot e^{-0{,}11t}+30$ .

Einige Landwirte sind der Meinung, dass der Weizenanbau ab einem durchschnittlichen Weizenertrag von 50 Dezitonnen pro Hektar Anbaufläche nicht mehr rentabel für sie ist. Berechnen Sie, ab welchem Jahr dies laut dem Modell der Fall wäre. (3 BE)

Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte von $E$ für $t\to\infty$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (3 BE)

Sofern Landwirte 2018 mit einem massiven Einbruch ihrer Weizenerträge konfrontiert waren, hatten sie Anspruch auf Unterstützungszahlungen des Bundes. War ihr durchschnittlicher Weizenertrag pro Hektar Anbaufläche um mehr als 30% geringer als der Mittelwert der entsprechenden Erträge in den Jahren 2015, 2016 und 2017, so konnten sie einen Antrag auf Nothilfen stellen.

Prüfen Sie rechnerisch, ob sich gemäß dem hier gewählten mathematischen Modell, eine Antragsberechtigung für Nothilfen ergibt.

Setze in den vorgegebenen Term ein
	↓
$\displaystyle 56{,}3\cdot e^{c\ \cdot0}+a$	$=$	$\displaystyle 86{,}3$
	↓	$e^0=1$
$\displaystyle 56{,}3+a$	$=$	$\displaystyle 86{,}3$	$\displaystyle -56{,}3$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 30$

Setze gemeinsam mit $a=30$ in den Funktionsterm ein
	↓
$\displaystyle 56{,}3\cdot e^{c\cdot3}+30$	$=$	$\displaystyle 70$	$\displaystyle -30$
$\displaystyle 56{,}3\cdot e^{3c}$	$=$	$\displaystyle 40$	$\displaystyle :56{,}3$
$\displaystyle e^{3c}$	$=$	$\displaystyle \frac{40}{56{,}3}$
	↓	Verwende den ln
$\displaystyle 3c$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\frac{40}{56{,}3}\right)$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle c$	$≈$	$\displaystyle -0{,}11$

$\displaystyle E\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle 50$
$\displaystyle 56{,}3\cdot e^{-0{,}11t}+30$	$=$	$\displaystyle 50$	$\displaystyle -30$
$\displaystyle 56{,}3\cdot e^{-0{,}11t}$	$=$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle :56{,}3$
$\displaystyle e^{-0{,}11t}$	$=$	$\displaystyle \frac{20}{56{,}3}$
	↓	Verwende den ln
$\displaystyle -0{,}11t$	$=$	$\displaystyle \ln\left(\frac{20}{56{,}3}\right)$	$\displaystyle :\left(-0{,}11\right)$
$\displaystyle t$	$≈$	$\displaystyle 9{,}41$

	$\displaystyle \lim_{t\to+\infty}(56{,}3\cdot e^{-0{,}11t}+30)$
	↓ $t$ wird im Exponenten mit einer negativen Zahl multipliziert. Für große, positive $t$ wandert der Exponent gegen $-\infty$
$=$	$\displaystyle 56{,}3\cdot e^{"-\infty"}+30$
	↓ Die normale e-Funktion nähert sich für negative Werte dem Wert $0$ an.
$=$	$\displaystyle 56{,}3\cdot"0"+30$
	↓ Damit verschwindet für große Werte von $t$ der Faktor $56{,}3$
$=$	$\displaystyle 30$

	$\displaystyle \frac{E\left(1\right)+E\left(2\right)+E\left(3\right)}{3}$
$=$	$\displaystyle \frac{80{,}44+75{,}18+70{,}48}{3}$
$≈$	$\displaystyle 75{,}37$

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Bestimmung von a

Bestimmung von c

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Berechnung des zugehörigen Werts von t

Interpretation im Sachkontext

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Grenzwert bestimmen

Interpretation des Wertes

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Mittelwert der Erträge

Abweichung vom Mittelwert in 2018

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