Pflichtteil - Stochastik - lernen mit Serlo!

Aufgabe P1

Eine Funktion $f$ ist gegeben durch $f (x) = x^{2} - 6 x, x \in ℝ$ .

Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes an. (2BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung
Scheitelform bestimmen
Führe eine quadratische Ergänzung durch:
$f (x)$ $=$ $x^{2} - 6 x$
$=$ $x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x$
↓
Quadratische Ergänzung mit $3$
$=$ $x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^{2} - 3^{2}$
↓
Schreibe den vorderen Teil als Binom
$=$ $(x - 3)^{2} - 3^{2}$
↓
Berechne die Potenz
$=$ $(x - 3)^{2} - 9$
Aus der Scheitelform ergibt sich der Scheitelpunkt: $S (3 | - 9)$
Hinweis: Einen anderen Lösungsweg findest du hier
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Bestimme die Scheitelform der quadratischen Funktion durch eine quadratische Ergänzung.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im
Punkt $P (- 2 | f (- 2))$ . (3BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Steigung und Funktionswert berechnen
Die Funktion $f$ wird mit den Regeln für die Potenzfunktion abgeleitet:
$f (x)$ $=$ $x^{2} - 6 x$
↓
Ableitung berechnen
$f^{'} (x)$ $=$ $2 x - 6$
↓
Einsetzen der Stelle $x = - 2$
$f^{'} (- 2)$ $=$ $- 10$
Der Funktionswert an der Stelle $x = - 2$ beträgt:
$f (- 2) = (- 2)^{2} - 6 \cdot (- 2) = 16$
Tangente bestimmen
Setze die Werte in die Tangentenformel ein:
$g (x)$ $=$ $f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0} )$
↓
Einsetzen
$=$ $- 10 \cdot (x - (- 2)) + 16$
↓
Löse die Klammer auf
$=$ $- 10 x - 20 + 16$
$=$ $- 10 x - 4$
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Bestimme die Steigung $f^{'} (- 2)$ und den Funktionswert $f (- 2)$ .
Setze die Werte in die Tangenformel ein:
$g (x) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0} )$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 6 x$
	$=$	$x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x$
	↓	Quadratische Ergänzung mit $3$
	$=$	$x^{2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^{2} - 3^{2}$
	↓	Schreibe den vorderen Teil als Binom
	$=$	$(x - 3)^{2} - 3^{2}$
	↓	Berechne die Potenz
	$=$	$(x - 3)^{2} - 9$

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 6 x$
	↓	Ableitung berechnen
$f^{'} (x)$	$=$	$2 x - 6$
	↓	Einsetzen der Stelle $x = - 2$
$f^{'} (- 2)$	$=$	$- 10$

$g (x)$	$=$	$f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0} )$
	↓	Einsetzen
	$=$	$- 10 \cdot (x - (- 2)) + 16$
	↓	Löse die Klammer auf
	$=$	$- 10 x - 20 + 16$
	$=$	$- 10 x - 4$

Aufgabe P1

Scheitelform bestimmen

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Steigung und Funktionswert berechnen

Tangente bestimmen

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