Aufgaben zur Flächenberechnung an ebenen Vielecken

Hier findest du Aufgaben zum Berechnen von Flächeninhalten. Lerne, die Fläche von ebenen Vielecken zu bestimmen!

1
Verbinde die Punkte B(1|2), L(2,5|2), A(1,5|1), U(12|1), E(11,5|2), R(12|3,5), F(9|3,5), I(9|2), S(2,5|4), B(1|2) der Reihe nach zu einem geschlossenen Streckenzug und berechne den Inhalt der eingeschlossenen Fläche.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
Berechnungen im Dreieck und Trapez
Es gilt: $A_\text{Gesamtfigur=}A_{\bigtriangleup \text{BLS}}+A_\text{Trapez\;\text{IERF}}+A_{\bigtriangleup \text{LIS}}+A_{\square \text{IEJF}}$
$A_{\triangle \text{BLS}}=\frac{1}{2}\left(x_L-x_B\right)\left(y_S-y_L\right)=$
Artikel zum Thema
$=\frac12\left(2{,}5-1\right)\left(4-2\right)=$
$=\frac12\cdot3=$
$=1{,}5\;\text{LE}^{2}$
$A_{\text{Trapez}\;\text{IERF}}=\frac12\left(x_U-x_A+x_E-x_L\right)\left(y_E-y_U\right)=$
Artikel zum Thema
$=\frac12\cdot\left(12-1{,}5+11{,}5-2{,}5\right)\left(2-1\right)=$
$=9{,}75\;\text{LE}^2$
$A_{\bigtriangleup \text{LIS}}=\frac12\cdot\left(x_I-x_L\right)\left(y_S-y_L\right)=$
$=\frac12\cdot\left(9-2{,}5\right)\left(4-2\right)=$
$=6{,}5\;\text{LE}^2$
$A_\text{Trapez\;\text{IERF}}=\frac12\left(x_E-x_I+x_R-x_F\right)\left(y_R-y_E\right)=$
$=\frac12\cdot\left(11{,}5-9+12-9\right)\left(3{,}5-2\right)=$
$=2{,}75\;\text{LE}^2$
$A_\text{Gesamtfigur}=\;1{,}5\;\text{LE}^2+9{,}75\;\text{LE}^2+6{,}5\;\text{LE}^2+2{,}75\;\text{LE}^2=$
$=20{,}5\;\text{LE}^2$
2
Berechne den Flächeninhalt des grünen Achtecks ABCDEFGH.
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, um diese Aufgabe zu lösen.
Die vermutlich üblichste Möglichkeit ist es, das Achteck in Figuren zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leichter berechnen kannst.
Die Berechnung über eine Zerlegung in Drei- und Rechtecke ist hier näher ausgeführt.
Der Flächeninhalt $A_{Achteck}$ ergibt sich dann aus der Summe der Flächeninhalte der Drei- und Rechtecke der Zerlegung, also:
$\displaystyle A_{Achteck}=A_{\Delta_1}\;+\;A_{\Delta_2}\;+\;A_{\Delta_3}\;+\;A_{\Delta_4}\;+\;A_{\square_1}\;+\;A_{\square_2}\;+\;A_{\square_3}$
Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und Rechtecke berechnen.
Flächeninhalt der Dreiecke
Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Dreiecke $A_{\Delta_1}$ , $A_{\Delta_2}$ , $A_{\Delta_3}$ und $A_{\Delta_4}$ benötigst du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke.
$A_{\Delta_1}= \frac{1}{2} \cdot 2\,\mathrm{cm} \cdot1\,\mathrm{cm} =1\,\mathrm{cm}^2$
$A_{\Delta_2}=\frac12\,\cdot1\,\mathrm{cm}\cdot1\,\mathrm{cm}=\frac{1}{2}\,\mathrm{cm}^2$
$A_{\Delta_3}=\frac{1}{2} \cdot 2\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 2\,\mathrm{cm}^2$
$A_{\Delta_4}=\frac{1}{2} \cdot 1\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} = 1\,\mathrm{cm}^2$
Flächeninhalt der Rechtecke
Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Rechtecke $A_{\square_1}$ , $A_{\square_2}$ und $A_{\square_3}$ brauchst du die Flächeninhaltsformel für Rechtecke.
$A_{\square_1}= 3\,\mathrm{cm} \cdot 1\,\mathrm{cm} =3\,\mathrm{cm}^2$
$A_{\square_2}= 6\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} =12\,\mathrm{cm}^2$
$A_{\square_3}= 3\,\mathrm{cm} \cdot 2\,\mathrm{cm} =6\,\mathrm{cm}^2$
Berechnung des Flächeninhalts des Achtecks
Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und Rechtecke addieren, um $A_{Achteck}$ zu bestimmen.
$\displaystyle A_{Achteck}=A_{\Delta_1}\;+\;A_{\Delta_2}\;+\;A_{\Delta_3}\;+\;A_{\Delta_4}\;+\;A_{\square_1}\;+\;A_{\square_2}\;+\;A_{\square_3} = 1\,\mathrm{cm}^2 + \frac{1}{2}\,\mathrm{cm}^2 + 2\,\mathrm{cm}^2 + 1\,\mathrm{cm}^2 + 3\,\mathrm{cm}^2 + 12\,\mathrm{cm}^2 + 6\,\mathrm{cm}^2 = 25{,}5\,\mathrm{cm}^2$
Der gesuchte Flächeninhalt ist also $A_{Achteck}=25{,}5\; \mathrm{cm}^2$
Versuche das Vieleck in Formen zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst.
3
Berechne den Flächeninhalt des rechts abgebildeten Schmetterlings.
$\displaystyle 1 Kästchen = 1cm^2$
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt einer zusammengesetzten Figur
Die Figur ist achsensymetrisch, das heißt man kann sie spiegeln (=> Flächeninhalt ist bei jeder Hälfte gleich groß)Berechnung einer Hälfte mal 2.
Zerteilung
Rechnung
$\displaystyle A_{Schmetterling\;}=2\cdot(A_{Dreiecke}+A_{Vierecke})$
$1. D r e i e c k e$
$\displaystyle A_{ABI}=\;\frac12\cdot\;3\;cm\cdot2\;cm\;=\;3\;cm^2$
$\displaystyle A_{BIC}=\;\frac12\cdot\; 4\,cm \cdot2\;cm\,=4\,cm^2$
$A_{MCD}=\;\frac12\cdot\;3\,cm \cdot \,3\,cm\, =4{,}5\,cm^2$
$\displaystyle A_{DEQ}=\;\frac12\cdot1\;cm\cdot2\;cm\equiv1\;cm^2$
$\displaystyle A_{PEF}=\frac12\cdot3\;cm\cdot3cm\;=\;4{,}5\;cm^2$
$\displaystyle A_{GRF}=\;\frac12\cdot3cm\cdot2cm\equiv3cm^2$
$\displaystyle A_{Dreiecke}=\;3cm^2+4cm^2+4{,}5cm^2+1cm^2+4{,}5cm^2+3cm^2\;=\;20cm^2$
$2. V i e r e c k e$
$\displaystyle A_{AMQS\;}=\;4cm\cdot4cm\;=16\;cm^2$
$\displaystyle A_{SPRG}=\;1cm\cdot3cm=\;3cm^2$
$\displaystyle A_{Vierecke}=\;16cm^2+3cm^2=\;19cm^2$
3.Schmetterling
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl} A_{Schmetterling\;}&=&2\cdot(A_{Dreiecke}+A_{Vierecke}) \\ &=& 2\cdot(20cm^2 +19cm^2)\\ &=& 2\cdot 39cm^2 \\ &=&78 cm^2 \end{array}$
Über das Rechteck
Rechnung
$\displaystyle A_{Schmetterling}=2\cdot\left(A_{Rechteck}-A_{Summe\;der\;Dreiecke+Rechteck}\right)$
$\displaystyle A_{RSTU}=7cm\cdot9cm=63cm^2$
2. $A_{Summe\;der\;Dreiecke}$
$\displaystyle A_{Summe\;der\;Dreiecke}=3cm^2+4cm^2+4.5cm^2+1cm^2+4.5cm^2+3cm^2 = 20cm^2$
$\displaystyle A_{Kleines Rechteck}=A_{VWZP}=1cm\cdot4cm=4cm^2$
$\displaystyle A_{Summe\;der\;Dreiecke+Rechteck}= 20cm^2 +4cm^2 = 24cm^2$
3. $A_{Schmetterling}$
4
Berechne den Flächeninhalt des rechts abgebildeten Baums.
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
Die Berechnung über eine Zerlegung in Drei- und Rechtecke ist hier näher ausgeführt.
Der Flächeninhalt $\mathrm{A_{Baum}}$ ergibt sich dann aus der Summe der Flächeninhalte der Drei- und Rechtecke der Zerlegung, also:
$\displaystyle \mathrm{A_{Baum}=A_{\Delta_1}+A_{\Delta_2}+A'_{\Delta_2}+A_{\Delta_3}+A'_{\Delta_3}+A_{\square}}$
Da der Baum symmetrisch ist, gelten folgende Beziehungen:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl} \textcolor{009999}{\mathrm{A_{\Delta_2}}} &=& \textcolor{009999}{\mathrm{A'_{\Delta_2}}}\\ \textcolor{cc0000}{\mathrm{A_{\Delta_3}}} &=& \textcolor{cc0000}{\mathrm{A'_{\Delta_3}}} \end{array}$
Also gilt : $\mathrm{A_{Baum}= A_{\Delta_1}+2\cdot A_{\Delta_2}+2\cdot A_{\Delta_3}+A_{\square}}$
Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und des Rechtecks berechnen.
Flächeninhalt der Dreiecke
Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Dreiecke $A_{\Delta_2}$ und $A_{\Delta_3}$ benötigst du die Flächeninhaltsformel für rechtwinklige Dreiecke.
Flächeninhalt $\mathrm{A_{\Delta_2}}$ :
$\mathrm{A_{\Delta_2}=\dfrac{1}{2}\cdot 1\text{ cm} \cdot 2\text{ cm}= 1 \text{\cm}^2}$
Flächeninhalt $\mathrm{A_{\Delta_3}}$ :
$\mathrm{A_{\Delta_3}=\dfrac{1}{2}\cdot 2\text{ cm} \cdot 2\text{ cm}= 2 \text{\cm}^2}$
Zur Bestimmung des Flächeninhalts der Dreiecke $A_{\Delta_1}$ benötigst du die Flächeninhaltsformel für Dreiecke.
Flächeninhalt $\mathrm{A_{\Delta_1}}$ :
$\mathrm{A_{\Delta_1}=\dfrac{1}{2}\cdot 2\text{ cm} \cdot 2\text{ cm}= 2 \text{\cm}^2}$
Flächeninhalt der Rechtecke
Zur Bestimmung des Flächeninhalts des Rechtecks $\mathrm{A_{\square}}$ brauchst du die Flächeninhaltsformel für Rechtecke.
$\mathrm{A_{\square}= 2 {\cm} \cdot 6{\cm}= 12{\cm}^2}$
Berechnung des Flächeninhalts des Baums
Nun kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke und des Rechtecks addieren, um $\mathrm{A_{Baum}}$ zu bestimmen.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl} \mathrm{A_{Baum}}&=& \mathrm{A_{\Delta_1}}+2\cdot \mathrm{A_{\Delta_2}}+2\cdot \mathrm{A_{\Delta_3}}+\mathrm{A_{\square}}\\ &=& 2\text{ cm}^2+2 \cdot 1\text{ cm}^2+2 \cdot 2\text{ cm}^2+12\text{ cm}^2\\ &=& 20\text{ cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Baums beträgt somit $20 \text{ cm}^2$ .
Versuche den Baum in Formen zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst.
Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, um diese Aufgabe zu lösen.
Die vermutlich üblichste Möglichkeit ist es, den Baum in Figuren zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leichter berechnen kannst.
5
Berechne den Flächeninhalt der Treppe.
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
Eine Möglichkeit ist es, die Treppe zu einem Rechteck zu ergänzen. Von diesem können wir leicht den Flächeninhalt $A_{\square}$ ermitteln.
Nun muss man die überschüssige Fläche von der Fläche des Rechtecks abziehen, also in diesem Fall den Flächeninhalt der drei Rechtecke, vom Flächeninhalt des Rechtecks subtrahieren. Also berechnest du:
$\displaystyle A_{\text{Treppe}}=A_\square-A_{\square_1}-A_{\square_2}-A_{\square_3}$
Berechne zuerst den Flächeninhalt des großen Rechtecks $A_{\square}:$
$\displaystyle \textcolor{009999}{A_{\square}}= 4\text{ cm}\cdot 8\text{ cm}=32 \text{ cm}^2$
Nun kannst du noch die Flächeninhalte der drei Rechtecke $A_{\square_1}$ , $A_{\square_2}$ und $A_{\square_3}$ bestimmen.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl} \textcolor{660099}{A_{\square_1}} &=& 1\text{ cm} \cdot 2\text{ cm} =2 \text{ cm}^2\\ \textcolor{cc0000}{A_{\square_2}} &=& 2\text{ cm} \cdot 2\text{ cm} =4 \text{ cm}^2\\ \textcolor{ff6600}{A_{\square_3}} &=& 3\text{ cm} \cdot 2\text{ cm} =6 \text{ cm}^2 \end{array}$
Jetzt lässt sich der Flächeninhalt der Treppe bestimmen.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl} A_{\text{Treppe}}&=&A_\square-A_{\square_1}-A_{\square_2}-A_{\square_3}\\ &=& 32 \text{ cm}^2- 2 \text{ cm}^2-4 \text{ cm}^2-6 \text{ cm}^2 \\ &=& 20 \text{ cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der Treppe beträgt somit $20 \text{ cm}^2.$
Versuche das Vieleck zu einer Form zu ergänzen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst und ziehe anschließend die Formen ab, die nicht zu der Figur gehören.
6
Aus der unten dargestellten Figur wurden zwei Kreise mit Durchmesser $d$ ausgeschnitten. Die Figur hat folgende Maße: $h$ = 30 cm, $d$ = 20 cm, $l$ = 45 cm, $b$ = 55 cm. Berechne den Flächeninhalt der Figur. Runde das Ergebnis auf ganze Zahlen.
cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zusammengesetzte Figuren
Der erste Schritt besteht darin, die allgemeine Formel zum Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur aufzustellen. Diese Figur besteht aus einem Dreieck und einem Rechteck aus dem zwei gleich große Kreise ausgeschnitten wurden. Das bedeutet, dass die Kreise vom Flächeninhalt des Rechtecks abgezogen werden müssen.
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} A_{\mathrm{gesamt}} &=& (\textcolor{009999}{A_{\mathrm{Rechteck}}} &-& 2 \cdot \textcolor{660099}{A_{\mathrm{Kreis}}} ) &+& \textcolor{cc0000}{A_{\mathrm{Dreieck}}} \\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& (\textcolor{009999}{b \cdot l} &-& 2 \cdot \textcolor{660099}{\pi r^2}) &+& \textcolor{cc0000}{\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h} \end{array}$
Am einfachsten ist es, die Flächeninhalte der einzelnen Teile zu berechnen und dann in die allgemeine Formel einzusetzen.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \textcolor{009999}{A_{\mathrm{Rechteck}}} &=& \textcolor{009999}{b \cdot l} \\ \textcolor{009999}{A_{\mathrm{Rechteck}}} &=& 55 \,\mathrm{cm} \cdot 45 \,\mathrm{cm} = 2475 \,\mathrm{cm^2} \end{array}$
Im nächsten Schritt musst du den Flächeninhalt des Kreises ausrechnen:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \textcolor{660099}{A_{\mathrm{Kreis}}} &=& \textcolor{660099}{\pi r^2} \end{array}$
Da der Durchmesser gegeben ist, musst du den Radius $r$ ersetzen mit:
$\displaystyle d = 2r \Rightarrow r = \dfrac{d}{2}$
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} \textcolor{660099}{A_{\mathrm{Kreis}}} &=& \textcolor{660099}{\pi r^2} \\\\ \textcolor{660099}{A_{\mathrm{Kreis}}} &=& \textcolor{660099}{\pi\cdot \Big(\dfrac{d}{^2}\Big)^2} \\\\ \textcolor{660099}{A_{\mathrm{Kreis}}} &=& \pi \cdot \Big(\dfrac{20 \,\mathrm{cm}}{2}\Big)^2 &=& \pi \cdot (10 \,\mathrm{cm})^2 \\\\ \textcolor{660099}{A_{\mathrm{Kreis}}} &=& \pi \cdot 100 \,\mathrm{cm^2} \end{array}$
Abschließend ist es notwendig den Flächeninhalt des Dreiecks zu ermitteln.
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} \textcolor{cc0000}{A_{\mathrm{Dreieck}}} &=& \textcolor{cc0000}{\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h} \\\\ \textcolor{cc0000}{A_{\mathrm{Dreieck}}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot 55 \,\mathrm{cm} \cdot 30 \,\mathrm{cm} = 825 \,\mathrm{cm^2} \end{array}$
Nun kannst du diese Werte in die allgemeine Formel einsetzen:
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} A_{\mathrm{gesamt}} &=& (\textcolor{009999}{A_{\mathrm{Rechteck}}} &-& 2 \cdot \textcolor{660099}{A_{\mathrm{Kreis}}} ) &+& \textcolor{cc0000}{A_{\mathrm{Dreieck}}} \\\\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& (\textcolor{009999}{b \cdot l} &-& 2 \cdot \textcolor{660099}{\pi r^2}) &+& \textcolor{cc0000}{\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h} \\\\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& (2475 \,\mathrm{cm^2} &-& 2\cdot \pi\cdot 100 \,\mathrm{cm^2}) &+& 825 \,\mathrm{cm^2} \\\\ A_{\mathrm{gesamt}} &=& 2672 \,\mathrm{cm^2} \end{array}$
7
Ordne die Formeln richtig zu

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenformeln
Die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge $a$ berechnet sich mit der Formel:
$A = a^{2}$
Die Fläche eines Rechteckes, mit den Seitenlängen $a$ und $b$ berechnet sich mit der Formel:
$A=a\cdot b$
Die Fläche eines Dreiecks mit der Grundseite $g$ und der Höhe $h$ berechnet sich mit der Formel: $A=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$
Die Fläche eines Trapezes mit der Grundseite $a$ und der dazu parallelen Seite $c$ berechnet sich mit der Formel: $A=\dfrac{a+c}{2}\cdot h$
Die Fläche eines Drachens (Drachenviereck) mit den Diagonalen $e$ und $f$ berechnet sich mit der Formel: $A=\dfrac{1}{2}\cdot e\cdot f$
Die Fläche eines Kreises mit dem Radius $r$ berechnet sich mit der Formel:
$A=\pi\cdot r^2$