Aufgaben zur Teilbarkeit natürlicher Zahlen

5 und 25

Bestimme das kgV von 5 und 25 als Produkt von 5 und 25 geteilt durch $\mathrm{ggT}(\mathrm{5,25})$.

Nutze dabei, dass der ggT von 25 und 5 gleich 5 ist. Dies gilt, da $25=5^2$ ist.

$\mathrm{kgV}(\mathrm{5,25})=\frac{5\cdot 25}{\mathrm{ggT}(\mathrm{5,25})}=\frac{5\cdot 25}{5}=25$

14, 7, 25

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung

$7$ ist eine Primzahl.

$14=2\cdot 7$

$25=5\cdot 5$

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl $2$ hat Vielfachheit 1, $5$ hat Vielfachheit 2 und $7$ hat Vielfachheit 1.

Somit gilt: $\mathrm{kgV}(\mathrm{14,7,25})=2\cdot 5^2\cdot 7=350.$

15, 22, 121

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$15=3\cdot 5$

$22=2\cdot 11$

$121={11}^2$

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl $2$ hat Vielfachheit 1, $3$ hat Vielfachheit 1, $5$ hat Vielfachheit 1 und $11$ hat Vielfachheit 2.

Somit gilt: $\mathrm{kgV}(\mathrm{15,22,121})=2\cdot 3\cdot 5\cdot {11}^2=3630.$

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl $2$ hat Vielfachheit 3, $3$ hat Vielfachheit 1, $5$ hat Vielfachheit 1, $7$ hat Vielfachheit 1, $37$ hat Vielfachheit 1 und $251$ hat Vielfachheit 1.

Somit gilt: $\mathrm{kgV}(\mathrm{444,753,280})=2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 37\cdot 251=7801080$.

21, 32, 16, 4, 7

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$21=3\cdot 7$

$32=2^5$

$16=2^4$

$4=2^2$

$7$ ist eine Primzahl.

Bestimme für das kgV die höchsten vorkommenden Potenzen aller Primfaktoren.

Primzahl $2$ hat Vielfachheit 5, $3$ hat Vielfachheit 1 und $7$ hat Vielfachheit 1.

Somit gilt: $\mathrm{kgV}(\mathrm{21,32,16,4,7})=2^5\cdot 3\cdot 7=672.$

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

Primfaktorzerlegung

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$105=3\cdot 5\cdot 7$

$\mathrm{ggT}(\mathrm{105,25})=5$

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$13$ ist eine Primzahl.

$169=13\cdot 13$

$2197=13\cdot 13\cdot 13$

$\mathrm{ggT}(\mathrm{13,169,2197})=13$

Hier hilft dir die Primfaktorzerlegung.

$984=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 41$

$1002=2\cdot 3\cdot 167$

Bestimme nun den größten Primfaktor bzw. das größte Produkt von Primfaktoren, das in allen drei Zahlen vorkommt.

Dieses ist gerade der größte gemeinsame Teiler.

$\mathrm{ggT}(\mathrm{984,1002,382})=2$

Beachte die Quersumme von 57 ist 12. 12 ist durch 3 teilbar.

Die Primzahlzerlegung von 57 ist $3\cdot 19$.

Alle Zahlen, die auf 5 enden, sind durch 5 teilbar.

Die Primzahlzerlegung von lautet $225=3\cdot 3\cdot 5\cdot 5$

Die 13 ist eine Primzahl.

Da die gegebene Zahl 96 eine gerade Zahl ist, kannst du auf jeden Fall einmal mit 2 als erstem Primfaktor beginnen:

Ein nächster passender Teiler ist die 4:

Ein nächster passender Teiler ist die 6:

So ergibt folgende Zerlegung für 96:

Allerdings ist dies noch keine Primfaktorzerlegung, da 4 und 6 keine Primzahlen sind.

Deshalb musst du die 4 und die 12 noch weiter zerlegen:

und:

Damit erhältst du als Primfaktorzerlegung für 96:

Natürlich gibt es noch mehr Möglichkeiten, die Teiler und Primfaktoren der Reihe nach zu bestimmen, aber das Endergebnis ist immer dasselbe.

Da die gegebene Zahl 126 eine gerade Zahl ist, kannst du auf jeden Fall einmal mit 2 als erstem Primfaktor beginnen:

Ein nächster passender Teiler ist die 3:

Ein nächster passender Teiler ist erneut die 3:

Die Zahl 7 ist bereits eine Primzahl, die Primfaktorzerlegung ist damit abgeschlossen.

Da die gegebene Zahl 250 ist, kannst du auf jeden Fall einmal mit 5 als erstem Primfaktor beginnen denn die Zahl endet mit einer Null. Alle Zahlen die mit der Null enden kann man durch 5 rechnen, Aber du kannst auch mit deinem gewählten Faktor anfangen.

Ein nächster passender Primfaktor ist erneut die 5:

Ein nächster passender Primfaktor ist die 2:

So ergibt sich folgende Primfaktorzerlegung für 250:

Da die gegebene Zahl 36 eine gerade Zahl ist, kannst du auf jeden Fall einmal mit 2 als erstem Primfaktor beginnen:

Ein nächster passender Primfaktor ist wieder die 2:

Ein nächster passender Primfaktor ist die 3:

So ergibt sich die folgende Primfaktorzerlegung.

Ein erster möglicher Primfaktor ist 7:

Ein nächster passender Primfaktor ist die 3:

Damit erhälst du als Primfaktorzerlegung für 42: