10. Analysis

Stetigkeit von Funktionen

Anschaulich: Die Funktion macht keine Sprünge!

Differentialrechnung

Ableitung von $f(x)f(x)$ an der Stelle $aa$:

Ableitung an allen Stellen $aa$ ergibt wieder eine neue Funktion $f^{\mathrm{\prime }}(a)f\text{'}(a)$

Beispiel: Ableitung von $f(x)=x^{n}f(x)\; =\; x^n$:

Herleitung der Exponentialfunktion. Gegeben $f(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k}f(x)\; =\; \backslash displaystyle\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_kx^k$ mit beliebigen $a_k,k\ge 0a\_k,\backslash \; k\backslash geq\; 0$.

Gesucht sind die Koeffizienten $a_{k}a\_k$, so dass $f^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)f\text{'}(x)=f(x)$:

Koeffizientenvergleich ergibt:

mit der Lösung

• Weitere Ableitungen:

• $\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}\backslash frac\{d\}\{dx\}x^n=nx^\{n-1\}$

• $\frac{d}{dx}{e}^x=e^x\backslash frac\{d\}\{dx\}e^x\; =\; e^x$

• $\frac{d}{dx}\ln (x)=\frac{1}{x}\backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash ln(x)=\backslash frac\{1\}\{x\}$

• $\frac{d}{dx}\sin (x)=\cos (x)\backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash sin(x)\; =\; \backslash cos(x)$

• $\frac{d}{dx}\cos (x)=-\sin (x)\backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash cos(x)\; =\; -\backslash sin(x)$

• Monotonie: Ist die Ableitung an einer Stelle $aa$ größer $00$, so weist die Tangente nach oben und die Funktion selbst ist bei $aa$ monoton wachsend.

  Ist die Ableitung an einer Stelle $aa$ gleich $00$, so hat die Funktion bei $aa$ eine waagrechte Tangente:

• lokales Maximum oder Minimum

• Sattelpunkt

  Ist die zweite Ableitung an einer Stelle $aa$ größer $00$, so weist die Tangente der Ableitung nach oben und die Ableitung selbst ist monoton wachsend.Die Funktion selbst ist dann bei $aa$ konvex gekrümmt:

• Ableitungsregeln

• Produktregel: ${\displaystyle \frac{d}{dx}}g(x)f(x)=g(x)f^{\mathrm{\prime }}(x)+g^{\mathrm{\prime }}(x)f(x)\backslash dfrac\{d\}\{dx\}g(x)f(x)\; =\; g(x)f\text{'}(x)\; +\; g\text{'}(x)f(x)$

• Kettenregel (gilt $y=g(x)y\; =\; g(x)$ und $z=f(y)z\; =\; f(y)$, so gilt auch $z=f(g(x))z\; =\; f(g(x))$): ${\displaystyle \frac{d}{dx}}f(g(x))=f^{\mathrm{\prime }}(g(x))g^{\mathrm{\prime }}(x)\backslash dfrac\{d\}\{dx\}f(g(x))=f\text{'}(g(x))g\text{'}(x)$

• Kurvendiskussion der Funktion

  mit den Ableitungen

  Nullstellen von $f(x)f(x)$ sind $x_0=1x\_0\; =\; 1$. Somit gilt für $x>1\to f(x)>0x\; >\; 1\backslash rightarrow\; f(x)\; >\; 0$ und

  Polstellen von $f(x)f(x)$ sind $x_1=0x\_1\; =\; 0$. Für ist $f(x)f(x)$ monotonfallend. Für ist $f(x)f(x)$ monoton wachsend. Für ist $f(x)f(x)$ monoton fallend.

  Nullstelle von $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$: $x_2=2x\_2\; =\; 2$ wobei $f(2)=\frac{1}{4}f(2)\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\}$.

  Für $x>3x\; >\; 3$ ist $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0f\text{'}\text{'}(x)\; >\; 0$ und damit $f(x)f(x)$ konvex.

  Für ist und damit $f(x)f(x)$ konkav.

  Grenzwertbetrachtung:

Aufgaben