Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Kurs

1 Übersicht

Inhalt des Kurses

In diesem Kurs wird die Abbildungsgleichung einer Spiegelung von Punkten und Geraden an einer Ursprungsgeraden hergeleitet und anhand von Beispielen erklärt.

Vorkenntnisse

Du solltest Vektoren im Zweidimensionalen verstanden haben.
Du solltest außerdem Vektoren zwischen zwei Punkten aufstellen und Vektoren addieren und subtrahieren können. Hier helfen dir auch diese beiden Kurse weiter: Vektoren in der Ebene I und Vektoren in der Ebene II.
Außerdem solltest du eine 2x2-Matrix mit einem Vektor multiplizieren können.

Kursdauer

1,5 Stunden

2 Motivation

Gegeben:

Ein Punkt $P$ und eine Gerade $h$ .

Aufgabenstellung:

Wie kann man den Bildpunkt einer Spiegelung von $P$ an $h$ berechnen? Gibt es eine allgemeine Formel für beliebige Punkte $P_{n}$ ?

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3 Herleitung der Abbildungsgleichung (1/2)

Der Punkt $P$ soll an der Ursprungsgeraden $h$ gespiegelt werden.

Auf den nächsten Kursseiten wird eine Abbildungsgleichung zum Berechnen des Bildpunktes $P^{'}$ hergeleitet:

Die Länge des Ortsvektores $\vec{O P}$ und die seiner Abbildung $\vec{O P^{'}}$ ist gleich. Wir bezeichnen diese Länge mit $a$ :

$| \vec{O P} | = | \vec{O P^{'}} | = a$

Man kann nun die Koordinaten des Punktes $P$ mithilfe von Kosinus und Sinus darstellen (rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $O P$ ):

$x_{P} = a \cos φ_{}$

$y_{P} = a \sin φ_{}^{}$

$\vec{O P} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{c} a \cos φ \\ a \sin φ \end{array})$

Man kann nun auch die Koordinaten des Punktes $P^{'}$ mit Hilfe von Kosinus und Sinus darstellen (rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse $O P^{'}$ ):

$x_{P}^{'} = a \cos (2 α - φ)^{}$

$y_{P}^{'} = a \sin (2 α - φ)_{}$

$\vec{O P^{'}} = (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} a \cos (2 α - φ) \\ a \sin (2 α - φ) \end{array})$

4 Herleitung der Abbildungsgleichung (2/2)

Zur Erinnerung:

$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} a \cos (2 α - φ) \\ a \sin (2 α - φ) \end{array})$

Jetzt wendet man die Additionstheoreme an, um dies zu vereinfachen.

$\cos (2 α - φ) = \cos 2 α \cdot \cos φ + \sin 2 α \cdot \sin φ$

$\sin (2 α - φ) = \sin 2 α \cdot \cos φ - \cos 2 α \cdot \sin φ$

$\begin{array}{llll} \Rightarrow & (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{c} a \cos 2 α \cdot \cos φ + a \sin 2 α \cdot \sin φ \\ a \sin 2 α \cdot \cos φ - a \cos 2 α \cdot \sin φ \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} a \cos φ \cdot \cos 2 α + a \sin φ \cdot \sin 2 α \\ a \cos φ \cdot \sin 2 α - a \sin φ \cos 2 α \end{array}) \end{array}$

Zur Erinnerung:

$x_{P} = a \cos φ_{}$

$y_{P} = a \sin φ$

Setzt man dies ein, erhält man:

$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \cdot \cos 2 α + y \cdot \sin 2 α \\ x \cdot \sin 2 α - y \cos 2 α \end{array})$

Nun schreibt man das noch in der Matrixschreibweise, um sowohl den ursprünglichen Vektor $\vec{O P} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ als auch den Bildvektor $\vec{O P^{'}} = (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$ hervorzuheben:

$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 2 α & + \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$

Im Spoiler findet man eine alternative Herleitung:

5 Abbildungsgleichung

Zusammenfassung

Hier noch einmal eine Zusammenfassung der hergeleiteten Abbildungsgleichung zum Spiegeln an einer Ursprungsgeraden.

In Koordinatenform:

$x^{'} = x \cdot \cos 2 α + y \cdot \sin 2 α_{}$

$y^{'} = x \cdot \sin 2 α - y \cdot \cos 2 α$

In Matrixform:

$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$

Wobei hier $α = \tan^{- 1} (m_{h})$ der Schnittwinkel der Spiegelachse $h$ und der x-Achse ist. $m_{h}$ ist die Steigung von $h$ .

6 Beispiel: Punkt an Ursprungsgerade spiegeln

Beispiel

Spiegle den Punkt $P (2 | 3)$ an der Ursprungsgeraden $h : y = \frac{1}{4} x$ !

1. Berechnung von $α$

Um den Punkt $P$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $α$ , den die Gerade $h$ mit der x-Achse einschließt.

$\begin{array}{lrcl} \tan α & = & m_{h} \\ \Leftrightarrow & α & = & \tan^{- 1} (m_{h}) \\ \Leftrightarrow & α & = & \tan^{- 1} (\frac{1}{4}) \\ \Leftrightarrow & α & \approx & 14 ° \end{array}$

2. Abbildungsgleichung aufstellen

Somit ergibt sich folgende Gleichung:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} \cos 28 ° & \sin 28 ° \\ \sin 28 ° & - \cos 28 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} 0,88 & 0,47 \\ 0,47 & - 0,88 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}) \\ (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{c} 3,17 \\ - 1,7 \end{array}) \end{array}$

Der gespiegelte Punkt hat die Koordinaten $P^{'} (3,17 | - 1,7)$ .

7 Aufgaben: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

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8 Spiegelung an besonderen Geraden

Da man sehr häufig an der x-Achse, y-Achse und an der Winkelhalbierenden spiegelt, bietet es sich an, dass man sich für diese besonderen Spiegelungen eine Übersicht erstellt:

Achsenspiegelung an der x-Achse

$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 1 0 \\ 0 - 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} x \\ y \end{array})$

$\begin{array}{rrcc} x^{'} = & x \\ y^{'} = & - y \end{array}$

Achsenspiegelung an der y-Achse

$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} x \\ y \end{array})$

$\begin{array}{rrcc} x^{'} = & - x \\ y^{'} = & y \end{array}$

Achsenspiegelung an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten

$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 1 \\ 1 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} x \\ y \end{array})$

$\begin{array}{rrcc} x^{'} = & y \\ y^{'} = & x \end{array}$

Achsenspiegelung an der Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten

$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 - 1 \\ - 1 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} x \\ y \end{array})$

$\begin{array}{rrcc} x^{'} = & - y \\ y^{'} = & - x \end{array}$

9 Beispiel: Gerade an Ursprungsgeraden spiegeln

Die Gerade $g : y = - \frac{1}{2} x$ soll an der Geraden $h : y = \frac{2}{3} x$ gespiegelt werden.

g \overset{h}{\mapsto} g^{'}

Man wählt also einen beliebigen Punkt $P_{n} (x | - \frac{1}{2} x)$ auf der Geraden $g$ und bildet diesen durch Achsenspiegelung an der Geraden $h$ auf den Bildpunkt $P_{n}^{'}$ ab.

$P_{n}^{'}$ ist somit ein beliebiger Punkt auf der Bildgeraden $g^{'}$ .

1. Berechnung von $α$

Um den Punkt $P_{n}$ an der Geraden $h$ zu spiegeln, benötigt man als erstes den Winkel $α$ , den die Gerade $h$ mit der $x$ -Achse einschließt.

$\begin{array}{rcl} \tan α & = & m_{h} \\ \Leftrightarrow α & = & \tan^{- 1} (m_{h}) \\ \Leftrightarrow α & = & \tan^{- 1} (\frac{2}{3}) \\ \Leftrightarrow α & \approx & 33,69 ° \end{array}$

2. Abbildungsgleichung aufstellen

Somit ergibt sich folgende Gleichung:

\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{1}{2} x \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} \cos 67,38 ° & \sin 67,38 ° \\ \sin 67,38 ° & - \cos 67,38 ° \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{1}{2} x \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} 0,38 & 0,92 \\ 0,92 & - 0,38 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{1}{2} x \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} 0,38 x - 0,46 x \\ 0,92 x + 0,19 x \end{array}) \\ (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = & (\begin{array}{c} - 0,08 x \\ 1,11 x \end{array}) \end{array}

Die gespiegelten Punkte $P_{n}^{'}$ haben also die Koordinaten $P_{n}^{'} (- 0.08 x | 1,11 x)$ .

3. Trägergraph bestimmen

Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ der Punkte $P^{'}$ bestimmt werden.

Für die Punkte $P_{n}^{'}$ gilt ja:

\begin{array}{rrcrc} x^{'} & = & - 0,08 x & (1) \\ \land & y^{'} & = & 1,11 x & (2) \end{array}

Nun löst man die Gleichung $(1)$ nach $x$ auf und setzt dann $(1^{'})$ in $(2)$ ein:

\begin{array}{rclc} x & = & \frac{x^{'}}{- 0,08} & (1^{'}) \\ y^{'} & = & 1,11 \cdot \frac{x^{'}}{- 0,08} & (2) \\ y^{'} & = & - 13,88 x^{'} \end{array}

Die gespiegelte Gerade $g^{'}$ besitzt also folgende Gleichung:

g^{'} : y = - 13,88 x

10 Aufgaben: Gerade an Ursprungsgeraden spiegeln

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11 Beispiel: Spiegelachse berechnen

Der Bildpunkt $P^{'} (1 | 2)$ entsteht durch Spiegelung des Urpunktes $P (2 | 1)$ an einer Ursprungsgeraden $h$ .

Man benutzt die Abbildungsgleichung und setzt die Punkte $P$ und $P^{'}$ ein, dann löst man nach $α$ auf.

$\begin{array}{rrclc} x^{'} & = & x \cos (2 α) + y \sin (2 α) \\ \land y^{'} & = & x \sin (2 α) - y \cos (2 α) \\ 1 & = & 2 \cdot \cos (2 α) + 1 \cdot \sin (2 α) & (1) \\ \land 2 & = & 2 \cdot \sin (2 α) - 1 \cdot \cos (2 α) & (2) \\ \Rightarrow & \sin (2 α) & = & 1 - 2 \cdot \cos (2 α) & (1^{'}) \end{array}$

Nun setzt man $(1^{'})$ in $(2)$ ein und löst nach $α$ auf.

$\begin{array}{rcl} 2 & = & 2 \cdot (1 - 2 \cdot \cos (2 α)) - 1 \cdot \cos (2 α) \\ 2 & = & 2 - 5 \cdot \cos (2 α) \\ 0 & = & - 5 \cdot \cos (2 α) \\ 0 & = & \cos (2 α) \\ 2 α & = & 90 ° \\ α & = & 45 ° \end{array}$

Man hat also den Winkel $α$ bestimmt, unter dem sich die Spiegelachse mit der x-Achse schneidet.

Damit kann man auf die Steigung $m_{h}$ der Geraden $h$ schließen und somit die Geradengleichung für $h$ aufstellen.

$\begin{array}{lrcl} m_{h} & = & \tan α \\ = & \tan (45 °) \\ = & 1 \\ \Rightarrow & h : y & = & 1 \cdot x \end{array}$

12 Zusammenfassung und Ausblicke

Hier noch einmal eine Zusammenfassung des in diesem Kurs behandelten Stoffes:

Spiegelung an einer Ursprunsgeraden

in Koordinatenform:
$x^{'} = x \cos 2 α + y \sin 2 α$
$y^{'} = x \sin 2 α - y \cos 2 α$
in Matrixform:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} \cos 2 α \sin 2 α \\ \sin 2 α - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$

Zugehörige Themen

Kurs: Drehung
Artikel: Verknüpfung von Abbildungen
weitere Aufgaben und Artikel zum Thema: Abbildungen im Koordinatensystem

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1 Übersicht

Inhalt des Kurses

Vorkenntnisse

Kursdauer

2 Motivation

Gegeben:

Aufgabenstellung:

3 Herleitung der Abbildungsgleichung (1/2)

4 Herleitung der Abbildungsgleichung (2/2)

5 Abbildungsgleichung

Zusammenfassung

6 Beispiel: Punkt an Ursprungsgerade spiegeln

Beispiel

1. Berechnung von α

2. Abbildungsgleichung aufstellen

7 Aufgaben: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

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8 Spiegelung an besonderen Geraden

Achsenspiegelung an der x-Achse

Achsenspiegelung an der y-Achse

Achsenspiegelung an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten

Achsenspiegelung an der Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten

9 Beispiel: Gerade an Ursprungsgeraden spiegeln

1. Berechnung von α

2. Abbildungsgleichung aufstellen

3. Trägergraph bestimmen

10 Aufgaben: Gerade an Ursprungsgeraden spiegeln

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11 Beispiel: Spiegelachse berechnen

12 Zusammenfassung und Ausblicke

Spiegelung an einer Ursprunsgeraden

Zugehörige Themen

1. Berechnung von $α$

1. Berechnung von $α$