Aufgaben zu beliebigen n-ten Wurzeln

Vereinfache folgende Wurzelterme so weit wie möglich.

${(\sqrt[6]{8} \cdot 8^{\frac{1}{2}})}^{4}$

$\sqrt{x^{\frac{1}{6}} x^{- \frac{1}{2}}} (x > 0)$

$\sqrt[3]{a^{- 2}} - 3 \sqrt[6]{a^{- 4}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\sqrt[3]{a^{- 2}} - 3 \sqrt[6]{a^{- 4}}$ $=$
↓
Potenzgesetze anwenden.
$=$ $a^{- \frac{2}{3}} - 3 a^{- \frac{4}{6}}$
↓
Die Potenz von $3 a$ mit $2$ kürzen
$=$ $a^{- \frac{2}{3}} - 3 a^{- \frac{2}{3}}$
↓
Basen zusammenfassen
$=$ $- 2 a^{- \frac{2}{3}}$
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$\sqrt[4]{a^{3} \cdot \sqrt[3]{a^{2} \cdot \sqrt{a}}}$

$\sqrt[3]{80 x^{4}} - 2 x \sqrt[6]{100 x^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\sqrt[3]{80 x^{4}} - 2 x \sqrt[6]{100 x^{2}}$ $=$
↓
Zerlege in Faktoren und radiziere teilweise.
$=$ $\sqrt[3]{8 \cdot 10 x^{3} \cdot x} - 2 x \sqrt[3]{\sqrt[2]{100 x^{2}}}$
$=$ $2 x \sqrt[3]{10 x} - 2 x \sqrt[3]{10 x}$
$=$ $0$
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$\sqrt[3]{a^{2}} : {(\sqrt{a})}^{3}$

$\sqrt{t \sqrt{t \sqrt{t}}}$

$(\sqrt{u + v} + \sqrt{u - v}) \cdot (\sqrt{u + v} - \sqrt{u - v})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$(\sqrt{u + v} + \sqrt{u - v}) \cdot (\sqrt{u + v} - \sqrt{u - v})$ $=$
↓
Def.: $u + v$ und $u - v \geq 0$
$(\sqrt{u + v} + \sqrt{u - v}) \cdot (\sqrt{u + v} - \sqrt{u - v})$ $=$
↓
Binomische Formel anwenden.
$=$ $(u + v) - (u - v)$
↓
Klammer auflösen
$=$ $u + v - u + v$
$=$ $2 v$
↓
Def.: $u + v$ und $u - v \geq 0$
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$\sqrt{(x^{2} - 1) (x - 1)} : \sqrt{x + 1}$

$\sqrt{m \cdot \sqrt[3]{m}} \cdot \sqrt[3]{m \cdot \sqrt{m}} \cdot \sqrt[6]{m}$

$\frac{{(x - 1)}^{2 n + 1}}{{(\sqrt{1 - x})}^{2 n + 2}}$

$\sqrt{\frac{a}{2 - a}} \cdot \sqrt{2 a - a^{2}}$ mit $[a \in [0; 2]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\sqrt{\frac{a}{2 - a}} \cdot \sqrt{2 a - a^{2}}$ $=$
↓
Im 2. Faktor $a$ ausklammern
$=$ $\sqrt{\frac{a}{2 - a}} \cdot \sqrt{\frac{a (2 - a)}{1}}$
↓
Multiplikation.
$=$ $\sqrt{\frac{a^{2} \cdot (2 - a)}{(2 - a) \cdot 1}}$
↓
Kürze $2 - a$
$=$ $\sqrt{a^{2}} = a$
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$\sqrt{\frac{a}{3 b}} : \sqrt{\frac{b^{3}}{27 a}}$ ( $a$ und $b$ sind jeweils positiv)

$\sqrt{{xy}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{y^{2}}} - \sqrt{2 x}$ ( $x$ und $y$ sind jeweils positiv)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\sqrt{{xy}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{y^{2}}} - \sqrt{2 x}$ $=$
↓
Multiplikation
$=$ $\sqrt{\frac{x y^{2} \cdot 8}{y^{2}}} - \sqrt{2 x}$
↓
Mit $y^{2}$ kürzen
$=$ $\sqrt{8 x} - \sqrt{2 x}$
↓
Teilweise radizieren
$=$ $2 \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x}$
$=$ $\sqrt{2 x}$
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$\sqrt{{xy}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{y^{2}}} - 2 \sqrt{x}$ (dabei sind $x$ und $y$ jeweils positiv)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\sqrt{{xy}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{y^{2}}} - 2 \sqrt{x}$ $=$ $\sqrt{\frac{x y^{2} \cdot 8}{y^{2}}} - 2 \sqrt{x}$
↓
Mit $y^{2}$ kürzen.
$=$ $\sqrt{8 x} - 2 \sqrt{x}$
↓
Teilweise radizieren.
$=$ $2 \sqrt{2 x} - 2 \sqrt{x}$
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$\sqrt{{xy}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{y^{2}}} - x \sqrt{2}$ ( $x$ und $y$ sind jeweils positiv)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\sqrt{{xy}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{y^{2}}} - x \sqrt{2}$ $=$
$=$ $\sqrt{\frac{x y^{2} \cdot 8}{y^{2}}} - x \sqrt{2}$
↓
Mit $y^{2}$ kürzen
$=$ $\sqrt{8 x} - x \sqrt{2}$
↓
Teilweise radizieren
$=$ $2 \sqrt{8 x} - x \sqrt{2}$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

${(\sqrt[6]{8} \cdot 8^{\frac{1}{2}})}^{4}$	$=$
	↓	Forme $\sqrt[6]{8}$ mit Hilfe der Potenzgesetze in $8^{\frac{1}{6}}$ um
	$=$	${(8^{\frac{1}{6}} \cdot 8^{\frac{1}{2}})}^{4}$
	↓	Fasse $8^{\frac{1}{6}}$ und $8^{\frac{1}{2}}$ zusammen.
	$=$	${(8^{\frac{1}{6} + \frac{1}{2}})}^{4} = {(8^{\frac{2}{3}})}^{4}$
	↓	Ziehe die $2$ von $\frac{2}{3}$ mit Hilfe der Potenzgesetze aus der Klammer heraus.
	$=$	${(\sqrt[3]{8})}^{8}$
	$=$	$2^{8} = 256$
	$=$	${(8^{\frac{1}{3}})}^{8}$
	↓	Forme mit Hilfe der Potenzgesetze $8^{\frac{1}{3}}$ in $\sqrt[3]{8}$ um

$\sqrt{x^{\frac{1}{6}} x^{- \frac{1}{2}}}$	$=$
	↓	Fasse mit Hilfe der Potenzgesetze $x^{\frac{1}{6}}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ zusammen
	$=$	$\sqrt{x^{\frac{1}{6} - \frac{1}{2}}} = \sqrt{x^{- \frac{1}{3}}}$
	↓	Forme mit Hilfe der Potenzgesetze $\sqrt{}$ in $^{\frac{1}{2}}$ um
	$=$	${(x^{- \frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$
	↓	Fasse $^{\frac{1}{2}}$ und $^{- \frac{1}{3}}$ zusammen.
	$=$	$x^{- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = x^{- \frac{1}{6}}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$\frac{1}{\sqrt[6]{x}}$

$\sqrt[3]{a^{- 2}} - 3 \sqrt[6]{a^{- 4}}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$a^{- \frac{2}{3}} - 3 a^{- \frac{4}{6}}$
	↓	Die Potenz von $3 a$ mit $2$ kürzen
	$=$	$a^{- \frac{2}{3}} - 3 a^{- \frac{2}{3}}$
	↓	Basen zusammenfassen
	$=$	$- 2 a^{- \frac{2}{3}}$

$\sqrt[4]{a^{3} \cdot \sqrt[3]{a^{2} \cdot \sqrt{a}}}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} .$
	$=$	$\sqrt[4]{a^{3} \cdot \sqrt[3]{a^{2} \cdot a^{\frac{1}{2}}}}$
	↓	Bilde den Hauptnenner
	$=$	$\sqrt[4]{a^{3} \cdot \sqrt[3]{a^{\frac{4}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}}$
	$=$	$\sqrt[4]{a^{3} \cdot \sqrt[3]{a^{\frac{5}{2}}}}$
	↓	Die Wurzel in einen Exponent umschreiben wie im 1. Schritt
	$=$	$\sqrt[4]{a^{3} \cdot {(a^{\frac{2}{5}})}^{\frac{1}{3}}}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\sqrt[4]{a^{3} \cdot a^{\frac{5}{6}}}$
	↓	Hauptnenner bilden
	$=$	$\sqrt[4]{a^{\frac{18}{6}} \cdot a^{\frac{5}{6}}}$
	$=$	$\sqrt[4]{a^{\frac{23}{6}}}$
	↓	Die Wurzel in einen Exponent umschreiben wie im 1. Schritt
	$=$	${(a^{\frac{23}{6}})}^{\frac{1}{4}}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$a^{\frac{23}{24}}$
	$=$	$\sqrt[24]{a^{23}}$

$\sqrt[3]{80 x^{4}} - 2 x \sqrt[6]{100 x^{2}}$	$=$
	↓	Zerlege in Faktoren und radiziere teilweise.
	$=$	$\sqrt[3]{8 \cdot 10 x^{3} \cdot x} - 2 x \sqrt[3]{\sqrt[2]{100 x^{2}}}$
	$=$	$2 x \sqrt[3]{10 x} - 2 x \sqrt[3]{10 x}$
	$=$	$0$

$\sqrt[3]{a^{2}} : {(\sqrt[]{a^{}})}^{3}$	$=$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$a^{\frac{2}{3}} : {(\sqrt[]{a})}^{3}$
	↓	Umformen von $a$ zu ${(\sqrt[]{a})}^{2}$
	$=$	${({(\sqrt[]{a})}^{2})}^{\frac{2}{3}} : {(\sqrt[]{a})}^{3}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	${(\sqrt[]{a})}^{\frac{4}{3}} : {(\sqrt[]{a})}^{3}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	${(\sqrt[]{a})}^{\frac{4}{3} - 3}$
	↓	Im Exponenten den Hauptnenner $(3)$ bilden und mit diesem erweitern.
	$=$	${(\sqrt[]{a})}^{\frac{4}{3} - \frac{9}{3}}$
	$=$	$(\sqrt[]{a}) - \frac{5}{3}$
	↓	$\sqrt[]{a}$ umschreiben in $a^{\frac{1}{2}}$
	$=$	${(a^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{5}{3}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$a^{- \frac{5}{6}}$

$\sqrt{t \sqrt{t \sqrt{t}}}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\sqrt{t \sqrt{t \cdot t^{\frac{1}{2}}}}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an
	$=$	$\sqrt{t \sqrt{t^{1 + \frac{1}{2}}}}$
	↓	Im Exponenten Hauptnenner $(2)$ bilden
	$=$	$\sqrt{t \sqrt{t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}}$
	$=$	$\sqrt{t \sqrt{t^{\frac{3}{2}}}}$
	↓	Verwende $\sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\sqrt{t \cdot {(t^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze.
	$=$	$\sqrt{t \cdot t^{\frac{3}{4}}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze.
	$=$	$\sqrt{t^{1 + \frac{3}{4}}}$
	↓	Im Exponenten Hauptnenner bilden
	$=$	$\sqrt{t^{\frac{4}{4} + \frac{3}{4}}}$
	$=$	$\sqrt{t^{\frac{7}{4}}}$
	↓	Verwende $\sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	${(t^{\frac{7}{4}})}^{\frac{1}{2}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze
	$=$	$t^{\frac{7}{8}}$

$(\sqrt{u + v} + \sqrt{u - v}) \cdot (\sqrt{u + v} - \sqrt{u - v})$	$=$
	↓	Def.: $u + v$ und $u - v \geq 0$
$(\sqrt{u + v} + \sqrt{u - v}) \cdot (\sqrt{u + v} - \sqrt{u - v})$	$=$
	↓	Binomische Formel anwenden.
	$=$	$(u + v) - (u - v)$
	↓	Klammer auflösen
	$=$	$u + v - u + v$
	$=$	$2 v$
	↓	Def.: $u + v$ und $u - v \geq 0$

$\sqrt{(x^{2} - 1) (x - 1)} : \sqrt{x + 1}$	$=$
	↓	Unter eine Wurzel schreiben
	$=$	$\sqrt{(x^{2} - 1) (x - 1) : (x + 1)}$
	↓	Binomische Formel auflösen
	$=$	$\sqrt{(x - 1) (x + 1) (x - 1) : (x + 1)}$
	↓	$(x + 1)$ kürzen
	$=$	$\sqrt{(x - 1) (x - 1)}$
	↓	Umschreiben
	$=$	$\sqrt{{(x - 1)}^{2}}$
	↓	Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Durch das Quadrieren, wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können. Wurzel ziehen. Wurzel und Quadrat heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen
	$=$	$\| x - 1 \|$

$\sqrt{m \cdot \sqrt[3]{m}} \cdot \sqrt[3]{m \cdot m} \cdot \sqrt[6]{m}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt[]{m} = m^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\sqrt{m \cdot m^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[3]{m \cdot m^{\frac{1}{2}}} \cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\sqrt{m^{1 + \frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[3]{m^{1 + \frac{1}{2}}} \cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Im Exponent jeweils Hauptnenner bilden
	$=$	$\sqrt{m^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[3]{m^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} \cdot m^{\frac{1}{6}}$
	$=$	$\sqrt{m^{\frac{4}{3}}} \cdot \sqrt[3]{m^{\frac{3}{2}}} \cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Verwende $\sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}}$
	$=$	${(m^{\frac{4}{3}})}^{\frac{1}{2}} \cdot (m^{\frac{1}{2}}) \cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$m^{\frac{2}{3}} \cdot m^{\frac{1}{2}} m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$m^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}}$
	↓	Im Exponent Hauptnenner bilden.
	$=$	$m^{\frac{4}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6}}$
	$=$	$m^{\frac{8}{6}}$
	↓	Kürzen mit 2
	$=$	$m^{\frac{4}{3}}$
	↓	Verwende $m^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{m^{4}}$ $\to$ Potenzgesetz
	$=$	$\sqrt[3]{m^{4}}$

$\frac{{(x - 1)}^{2 n + 1}}{{(\sqrt{1 - x})}^{2 n + 2}}$	$=$
	↓	Anwendung der Formel $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ .
	$=$	$\frac{{(x - 1)}^{2 n + 1}}{{({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2 n + 2}}$
	↓	Anwendung des Potenzgesetzes: $(a^{b})^{c} = a^{b c}$
	$=$	$\frac{{(x - 1)}^{2 n + 1}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 n + 2)}}$
	$=$	$\frac{{(x - 1)}^{2 n + 1}}{{(1 - x)}^{n + 1}}$
	$=$	$\frac{{((- 1) \cdot (1 - x))}^{2 n + 1}}{{(1 - x)}^{n + 1}}$
	↓	Anwendung des Potenzgesetzes: $(a b)^{c} = a^{c} b^{c}$
	$=$	$\frac{(- 1)^{2 n + 1} \cdot (1 - x)^{2 n + 1}}{(1 - x)^{n + 1}}$
	↓	$(- 1)^{2 n + 1} = - 1$ , da $2 n + 1$ ungerade ist
	$=$	$\frac{(- 1) \cdot (1 - x)^{2 n + 1}}{(1 - x)^{n + 1}}$
	↓	Kürze
	$=$	$(- 1) \cdot {(1 - x)}^{n}$

$\sqrt{\frac{a}{2 - a}} \cdot \sqrt{2 a - a^{2}}$	$=$
	↓	Im 2. Faktor $a$ ausklammern
	$=$	$\sqrt{\frac{a}{2 - a}} \cdot \sqrt{\frac{a (2 - a)}{1}}$
	↓	Multiplikation.
	$=$	$\sqrt{\frac{a^{2} \cdot (2 - a)}{(2 - a) \cdot 1}}$
	↓	Kürze $2 - a$
	$=$	$\sqrt{a^{2}} = a$

$\sqrt{{xy}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{y^{2}}} - \sqrt{2 x}$	$=$
	↓	Multiplikation
	$=$	$\sqrt{\frac{x y^{2} \cdot 8}{y^{2}}} - \sqrt{2 x}$
	↓	Mit $y^{2}$ kürzen
	$=$	$\sqrt{8 x} - \sqrt{2 x}$
	↓	Teilweise radizieren
	$=$	$2 \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x}$
	$=$	$\sqrt{2 x}$

$\sqrt{{xy}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{8}{y^{2}}} - 2 \sqrt{x}$	$=$	$\sqrt{\frac{x y^{2} \cdot 8}{y^{2}}} - 2 \sqrt{x}$
	↓	Mit $y^{2}$ kürzen.
	$=$	$\sqrt{8 x} - 2 \sqrt{x}$
	↓	Teilweise radizieren.
	$=$	$2 \sqrt{2 x} - 2 \sqrt{x}$

$\sqrt{\frac{a}{3 b}} : \sqrt{\frac{b^{3}}{27 a}}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden
	$=$	$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3 b}} : \frac{\sqrt{b^{3}}}{\sqrt{27 a}}$
	↓	Wegen Division mit Kehrbruch multiplizieren
	$=$	$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3 b}} \cdot \frac{\sqrt{27 a}}{\sqrt{b^{3}}}$
	↓	Brüche multiplizieren
	$=$	$\frac{\sqrt{27 a \cdot a}}{\sqrt{3 b \cdot b^{3}}}$
	↓	Teilweise radizieren
	$=$	$\frac{a \cdot \sqrt{27}}{b^{2} \cdot \sqrt{3}}$
	↓	In zwei Brüchen darstellen
	$=$	$\frac{a}{b^{2}} \cdot \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$
	↓	Potenzgesetze anwenden
	$=$	$\frac{a}{b^{2}} \cdot \sqrt{\frac{27}{3}}$
	↓	Radizieren
	$=$	$\frac{a}{b^{2}} \cdot 3$
	$=$	$\frac{3 a}{b^{2}}$

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