Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren
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Bestimme den Winkel, den die beiden Vektoren einschließen.
v=(39) und w=(21)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Du hast zwei Vektoren gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel
In unserem Fall haben wir die beiden Vektoren v=(39) und w=(21).
Diese setzst du ein und erhätst:
cos(φ)=(39)⋅(21)(39)∘(21)
Löse die Formel nach φ um:
φ=cos−1(39)⋅(21)(39)∘(21)
Schließlich bestimmst du das Skalarprodukt für den Zähler sowie die beiden Längen für den Nenner.
v∘w=(39)∘(21)=3⋅2+9⋅1=15
∣v∣⋅∣w∣=(32+92)⋅(22+12)
=90⋅5
=152
Aus der Division der beiden Ergebisse bekommst du nun den Faktor, den du in den Arkuskosinus einsetzt.
Also beträgt der Schnittwinkel φ=45∘.
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v=(60) und w=(−1−3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen
Du hast zwei Vektoren gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel
In unserem Fall hast du die beiden Vektoren v=(60) und w=(−1−3). Diese setzst du ein und erhältst:
cos(φ)=(60)⋅(−1−3)(60)∘(−1−3)
Löse die Formel nach φ auf:
φ=cos−1(60)⋅(−1−3)(60)∘(−1−3)
Schließlich bestimmst du das Skalarprodukt für den Zähler sowie die beiden Längen für den Nenner.
v∘w=(60)∘(−1−3)=−6
∣v∣⋅∣w∣
=(62+02)⋅((−1)2+(−3)2)
=6⋅10
Aus der Division der beiden Ergebisse bekommst du nun den Faktor, den du in den Arkuskosinus einsetzt.
φ=cos−1(610−6)=cos−1(10−1)=108,4∘
Schließlich kommst du auf den gesuchten Winkel.
Also beträgt der Schnittwinkel φ=108,4∘.
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v=(−5−22,5) und w=(29)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
In dieser Aufgabe geht es darum, den Winkel zw. zwei Vektoren zu berechnen.
Du hast zwei Vektoren v=(−5−22,5) und w=(29) gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel
cos(φ)=∣v∣⋅∣w∣v∘w=(−5−22,5)⋅(29)(−5−22,5)∘(29)=(−5)2+(−22,5)2⋅22+92(−5)⋅2+(−22,5)⋅9
Danach bildest du den Arkuskosinus und kommst auf:
Anschaulich bedeutet das, dass die beiden Vektoren genau entgegengesetzt gerichtet sind bzw. dass sich v als v=k⋅w schreiben lässt, wobei k eine reelle Zahl.
Hast du eine Frage oder Feedback?
v=(1,3−2,4) und w=(−4,53)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
In dieser Aufgabe geht es darum, den Winkel zw. zwei Vektoren zu berechnen.
Du hast zwei Vektoren v=(1,3−2,4) und w=(−4,53) gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel
cos(φ)=∣v∣⋅∣w∣v∘w=(1,3−2,4)⋅(−4,53)(1,3−2,4)∘(−4,53)=1,32+(−2,4)2⋅(−4,5)2+321,3⋅(−4,5)+(−2,4)⋅3
Danach bildest du den Arkuskosinus und kommst auf:
also beträgt der Winkel φ=152,13∘.
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a=(13) und b=(−93)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren verwendet die Länge der jeweiligen Vektoren und das Skalarprodukt zwischen den beiden. Ein Spezialfall liegt vor, wenn das Skalarprodukt 0 ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Berechne das Skalarprodukt zwischen a und b!
a⊙b=(13)⊙(−93)=1⋅(−9)+3⋅3=−9+9=0
Das Skalarprodukt von a und b ist also 0. Daher stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und der eingeschlossene Winkel beträgt also φ=90∘.
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a=(−27) und b=(53)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von a und b. Berechne nun zunächst diese Größen!
Länge der Vektoren berechnen
Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.
Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von a mit sich selbst und b mit sich selbst:
a∘a=(−27)∘(−27)=(−2)⋅(−2)+7⋅7=53
b∘b=(53)∘(53)=5⋅5+3⋅3=34
Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:
∣a∣=a∘a=53 und ∣b∣=b∘b=34
Skalarprodukt berechnen
Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch a∘b=(a1a2)∘(b1b2)=a1⋅b1+a2⋅b2.
Hier also:
a∘b=(−27)∘(53)=(−2)⋅5+7⋅3=−10+21=11
Das Skalarprodukt von a und b ist somit 11.
Winkel berechnen
Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:
φ=cos−1(∣a∣⋅∣b∣a∘b)
Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!
φ=cos−1(∣a∣⋅∣b∣a∘b)=cos−1(53⋅3411)=74,98∘
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt φ=74,98∘.
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- 2
Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
a=(−22) und b=(−1−1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
a∘b=(−22)∘(−1−1)=(−2)⋅(−1)+2⋅(−1)=2−2=0
Das Skalarprodukt von a und b ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.
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a=(64) und b=(0.5−1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
a⊙b=(64)⊙(0,5−1)=6⋅0,5+4⋅(−1)=3−4=−1
Das Skalarprodukt von a und b ist −1.Die beiden Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander.
Hast du eine Frage oder Feedback?
a=(2π7) und b=(−3.5π)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
a⊙b =(2π7)⊙ (−3.5π) =2π⋅(−3.5)+7⋅π=7π−7π=0
Das Skalarprodukt von a und b ist 0.Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.
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a=(6−3) und b=(22)
Orthogonalität von Vektoren
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
a⊙b=(6−3)⊙(22)=6⋅2+(−3)⋅2=12−23
Falls du einen Taschenrechner benutzt, ist die Rechnung natürlich kein Problem. Mit einer kleinen Nebenrechnung kommst du aber auch ohne Nebenrechnung weiter.
Nebenrechnung: 23=4⋅3=4⋅3=12
Damit ergibt sich insgesamt: 12−23=12−12=0
Das Skalarprodukt von a und b ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.
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- 3
Bestimme einen Vektor so, dass er orthogonal zu dem gegebenen Vektor und nicht der Nullvektor ist.
u=2−15
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v Null ist.
Es lässt sich (zur Vereinfachung) v1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u∘v=2−15∘0v2v3=2⋅0+(−1)⋅v2+5⋅v3=−v2+5v3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
v2=5v3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=5 und v3=1. Du erhältst also:
v=051
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v∘u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=0⋅2+5⋅(−1)+1⋅5=0+(−5)+5=0
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u=1234
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v 0 ist.
Es lässt sich v1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⊙v=1234⊙0v2v3=12⋅0+3⋅v2+4⋅v3=3v2+4v3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
3v2=−4v3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=4 und v3=−3. Du erhältst also:
v=04−3
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⊙u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=0⋅12+4⋅3+(−3)⋅4=0+12−12=0
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u=−231
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v 0 ist.
Es lässt sich v1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⊙v=−231⊙0v2v3=(−2)⋅0+3⋅v2+1⋅v3=3v2+v3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
3v2=−v3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=1 und v3=−3. Du erhältst also:
v=01−3
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⊙u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=0⋅(−2)+1⋅3+1⋅(−3)=0+3+(−3)=0
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u=1−2−4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v 0 ist.
Es lässt sich v1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⊙v=1−2−4⊙0v2v3=1⋅0+(−2)⋅v2+(−4)⋅v3=−2v2−4v3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
2v2=−4v3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=−4 und v3=2. Du erhältst also:
v=0−42
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⊙u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=0⋅1+(−4)⋅(−2)+2⋅(−4)=0+8+(−8)=0
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u=3−40
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v 0 ist.
Es lässt sich v3=0 annehmen, wegen u3=0. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⊙v=3−40⊙v1v20=3⋅v1+(−4)⋅v2+0⋅0=3v1+(−4)v2
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
3v1=4v2
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v1=−4 und v2=−3. Du erhältst also:
v=−4−30
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⊙u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=(−4)⋅3+(−3)⋅(−4)+0⋅0=(−12)+12+0=0
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u=10−1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v 0 ist.
Es lässt sich v2=0 annehmen, wegen u2=0. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⊙v=10−1⊙v10v3=1⋅v1+0⋅0+(−1)⋅v3=v1−v3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
3v1=v3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v1=1 und v2=1. Du erhältst also:
v=101
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⊙u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=1⋅1+0⋅0+1⋅(−1)=1−1=0
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u=519
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v 0 ist.
Es lässt sich v1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⊙v=519⊙0v2v3=5⋅0+1⋅v2+9⋅v3=v2+9v3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
v2=−9v3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=−9 und v3=1. Du erhältst also:
v=0−91
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⊙u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=0⋅5+(−9)⋅1+1⋅9=0+(−9)+9=0
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u=−139
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v 0 ist.
Es lässt sich v2=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⊙v=−139⊙0v2v3=(−1)⋅v1+3⋅0+9⋅v3=−v1+9v3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
v1=9v3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v1=9 und v3=1. Du erhältst also:
v=901
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⊙u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=9⋅(−1)+3⋅0+1⋅9=(−9)+0+9=0
Hast du eine Frage oder Feedback?
u=4−650.4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v 0 ist.
Es lässt sich v2=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⊙v=4−650,4⊙v10v3=4⋅v1+(−65)⋅0+0,4⋅v3=4v1+0,4v3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
v3=−10v1
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v1=1 und v3=−10. Du erhältst also:
v=10−10
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⊙u=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=1⋅4+(−65)⋅0+(−10)⋅0,4=4+0−4=0
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Berechne den Winkel zwischen zwei Vektoren.
u=2−15 und v=672
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels φ zwischen zwei Vektoren.
cos(φ) = u⋅vu∘v ↓ Setz die Werte ein.
= 2−15⋅6722−15∘