Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren

Aufgaben
Bestimme den Winkel, den die beiden Vektoren einschließen.
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Zu text-exercise-group 44362:
Nish 2018-11-13 01:16:07+0100
Bitte, falls jdn. mal Zeit und Lust hat:
Es sollte die Aufgabenlösungen zu allen Teilaufgaben, bis auf d), nach den neuesten Richtlinien überarbeitet werden! Teilaufgabe d) habe ich eben selber korrigiert. DIe aktuellen RIchtlinien zu den Inhalten findet man unter http://de.serlo.org/90253 ;)

LG und danke schonmal im Voraus,
Nish
Jonathan 2018-11-14 12:26:06+0100
Danke für den Hinweis, wurde überarbeitet.
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v⃗=(39)\vec v = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} und  w⃗=(21)\ \vec w = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren

Du hast zwei Vektoren gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel
In unserem Fall haben wir die beiden Vektoren v⃗=(39)\vec v =\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} und w⃗=(21)\vec w =\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}.
Diese setzst du ein und erhätst:
cos⁡(φ)=(39)∘(21)∣(39)∣⋅∣(21)∣\cos(\varphi) = \frac{\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\right|}
Skizze der Vektoren
Skizze
Löse die Formel nach φ\varphi um:
 φ=cos⁡−1((39)∘(21)∣(39)∣⋅∣(21)∣)\ \varphi = \cos^{-1}\left( \frac{\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\right|}\right)
Schließlich bestimmst du das Skalarprodukt für den Zähler sowie die beiden Längen für den Nenner.
v⃗∘w⃗=(39)∘(21)=3⋅2+9⋅1=15\vec v \circ \vec w = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} = 3 \cdot 2 + 9 \cdot 1 = 15
∣v⃗∣⋅∣w⃗∣=(32+92)⋅(22+12)|\vec v| \cdot |\vec w| = (\sqrt{3^2 + 9^2}) \cdot (\sqrt{2^2 + 1^2})
=90⋅5= \sqrt{90} \cdot \sqrt{5}
=152= 15\sqrt{2}
Aus der Division der beiden Ergebisse bekommst du nun den Faktor, den du in den Arkuskosinus einsetzt.
 φ=cos⁡−1(15152)\displaystyle \ \varphi = \cos^{-1} \left( \frac{15}{15\sqrt{2}} \right)
Also beträgt der Schnittwinkel  φ=45∘\ \varphi = 45^\circ.
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v⃗=(60)\vec v = \begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix} und  w⃗=(−1−3)\ \vec w = \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen

Du hast zwei Vektoren gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel
cos⁡(φ)=v⃗∘w⃗∣v⃗∣⋅∣w⃗∣\displaystyle \cos(\varphi) = \frac{\vec v \circ \vec w}{|\vec v| \cdot |\vec w|}
Skizze der Vektoren
Skizze
In unserem Fall hast du die beiden Vektoren v⃗=(60)\vec v =\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix} und w⃗=(−1−3)\vec w =\begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}. Diese setzst du ein und erhältst:
cos⁡(φ)=(60)∘(−1−3)∣(60)∣⋅∣(−1−3)∣\cos(\varphi) = \frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}\right|}
 \,
Löse die Formel nach φ\varphi auf:
 φ=cos⁡−1((60)∘(−1−3)∣(60)∣⋅∣(−1−3)∣)\ \varphi = \cos^{-1}\left( \frac{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}\right|}\right)
Schließlich bestimmst du das Skalarprodukt für den Zähler sowie die beiden Längen für den Nenner.
v⃗∘w⃗=(60)∘(−1−3)=−6\vec v \circ \vec w = \begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix} = -6
∣v⃗∣⋅∣w⃗∣|\vec v| \cdot |\vec w|
=(62+02)⋅((−1)2+(−3)2)= (\sqrt{6^2 + 0^2}) \cdot (\sqrt{(-1)^2 + (-3)^2})
=6⋅10= 6 \cdot \sqrt{10}
Aus der Division der beiden Ergebisse bekommst du nun den Faktor, den du in den Arkuskosinus einsetzt.
 φ=cos⁡−1(−6610)=cos⁡−1(−110)=108,4∘\ \varphi = \cos^{-1} \left( \frac{-6}{6\sqrt{10}} \right)=\cos^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{10}}\right)=108,4^{\circ}
Schließlich kommst du auf den gesuchten Winkel.
Also beträgt der Schnittwinkel φ=108,4∘\varphi = 108,4^\circ.
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v⃗=(−5−22,5)\vec v = \begin{pmatrix}-5\\-22,5\end{pmatrix} und  w⃗=(29)\ \vec w = \begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren

In dieser Aufgabe geht es darum, den Winkel zw. zwei Vektoren zu berechnen.
Du hast zwei Vektoren v⃗=(−5−22,5)\vec v =\begin{pmatrix}-5\\-22,5\end{pmatrix} und w⃗=(29)\vec w =\begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix} gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel
cos⁡(φ)=v⃗∘w⃗∣v⃗∣⋅∣w⃗∣=(−5−22,5)∘(29)∣(−5−22,5)∣⋅∣(29)∣=(−5)⋅2+(−22,5)⋅9(−5)2+(−22,5)2⋅22+92\cos(\varphi) = \frac{\vec v \circ \vec w}{|\vec v| \cdot |\vec w|}= \frac{\begin{pmatrix}-5\\-22,5\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}-5\\-22,5\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix}\right|} = \frac{(-5) \cdot 2 + (-22,5) \cdot 9}{\sqrt{(-5)^2 + (-22,5)^2} \cdot \sqrt{2^2 + 9^2}}
           =−212,52,5⋅85⋅85=−1\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{-212,5}{2,5 \cdot \sqrt{85} \cdot \sqrt{85}} = -1
Danach bildest du den Arkuskosinus und kommst auf:
φ=cos⁡−1(−1)=180∘\displaystyle \varphi = \cos^{-1}(-1) = 180^\circ
Anschaulich bedeutet das, dass die beiden Vektoren genau entgegengesetzt gerichtet sind bzw. dass sich v⃗\vec v als v⃗=k⋅w⃗\vec v = k \cdot \vec w schreiben lässt, wobei kk eine reelle Zahl.
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v⃗=(1,3−2,4)\vec v = \begin{pmatrix}1,3\\-2,4\end{pmatrix} und  w⃗=(−4,53)\ \vec w = \begin{pmatrix}-4,5\\3\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren

In dieser Aufgabe geht es darum, den Winkel zw. zwei Vektoren zu berechnen.
Du hast zwei Vektoren v⃗=(1,3−2,4)\vec v =\begin{pmatrix}1,3\\-2,4\end{pmatrix} und w⃗=(−4,53)\vec w =\begin{pmatrix}-4,5\\3\end{pmatrix} gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel
cos⁡(φ)=v⃗∘w⃗∣v⃗∣⋅∣w⃗∣=(1,3−2,4)∘(−4,53)∣(1,3−2,4)∣⋅∣(−4,53)∣=1,3⋅(−4,5)+(−2,4)⋅31,32+(−2,4)2⋅(−4,5)2+32\cos(\varphi) = \frac{\vec v \circ \vec w}{|\vec v| \cdot |\vec w|}= \frac{\begin{pmatrix}1,3\\-2,4\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-4,5\\3\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1,3\\-2,4\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}-4,5\\3\end{pmatrix}\right|} = \frac{1,3 \cdot (-4,5) + (-2,4) \cdot 3}{\sqrt{1,3^2 + (-2,4)^2} \cdot \sqrt{(-4,5)^2 + 3^2}}
           =−13,050,1⋅745⋅1,5⋅13≈−0,884\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{-13,05}{0,1 \cdot \sqrt{745} \cdot 1,5 \cdot \sqrt{13}} \approx -0,884
Danach bildest du den Arkuskosinus und kommst auf:
φ=cos⁡−1(−0,884)=152,13∘\displaystyle \varphi = \cos^{-1}(-0,884) = 152,13^\circ
also beträgt der Winkel φ=152,13∘\varphi = 152,13^\circ.
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a=(13)a=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} und b=(−93)b=\begin{pmatrix}-9\\3\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren

Die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren verwendet die Länge der jeweiligen Vektoren und das Skalarprodukt zwischen den beiden. Ein Spezialfall liegt vor, wenn das Skalarprodukt 00 ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Berechne das Skalarprodukt zwischen a⃗\vec a und b⃗\vec b!
 a⃗⊙b⃗=(13)⊙(−93)=1⋅(−9)+3⋅3=−9+9=0\,\vec a\odot\vec b = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-9\\3\end{pmatrix} = 1 \cdot (-9)+ 3 \cdot 3 = -9+9 = 0
Das Skalarprodukt von a⃗\vec a und b⃗\vec b ist also 00. Daher stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und der eingeschlossene Winkel beträgt also φ=90∘\varphi=90^\circ.
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a=(−27)a = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix} und  b=(53)\ b = \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren

Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von a⃗\vec a und b⃗\vec b. Berechne nun zunächst diese Größen!

Länge der Vektoren berechnen

Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.
Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von a⃗\vec a mit sich selbst und b⃗\vec b mit sich selbst:
a⃗⊙a⃗=(−27)⊙(−27)=(−2)⋅(−2)+7⋅7=53\vec a \odot \vec a =\begin{pmatrix} -2\\7\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} -2\\7\end{pmatrix}= (-2)\cdot (-2) + 7\cdot 7 = 53
b⃗⊙b⃗=(53)⊙(53)=5⋅5+3⋅3=34\vec b \odot \vec b =\begin{pmatrix} 5\\3\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 5\\3\end{pmatrix}= 5\cdot 5 + 3\cdot 3 = 34
Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:
∣a⃗∣=a⃗⊙a⃗=53\left | \vec a \right | = \sqrt{\vec a \odot \vec a} = \sqrt{53} und ∣b⃗∣=b⃗⊙b⃗=34| \vec b | = \sqrt{\vec b \odot \vec b} = \sqrt{34}

Skalarprodukt berechnen

Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch  a⃗⊙b⃗=(a1a2)⊙(b1b2)=a1⋅b1+a2⋅b2\,\vec a\odot\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2.
Hier also:
 a⃗⊙b⃗=(−27)⊙(53)=(−2)⋅5+7⋅3=−10+21=11\,\vec a\odot\vec b = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix} = (-2) \cdot 5 + 7 \cdot 3 = -10 + 21 = 11
Das Skalarprodukt von a⃗\vec a und b⃗\vec b ist somit 1111.

Winkel berechnen

Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:
φ=cos⁡−1(a⃗⊙b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\odot\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)
Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!
φ=cos⁡−1(a⃗⊙b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)=cos⁡−1(1153⋅34)=74,98∘\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\odot\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{11}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{34}}\right)=74,98^\circ
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt φ=74,98∘\varphi =74,98^\circ.
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Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
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a→=(−22)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}   und   b→=(−1−1)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 00 ergibt.
a→⊙b→=(−22)⊙(−1−1)=(−2)⋅(−1)+2⋅(−1)=2−2=0\overrightarrow a\odot\overrightarrow b =\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix} =(-2)\cdot\left(-1\right)+2\cdot\left(-1\right)=2-2=0
Das Skalarprodukt von a→\overrightarrow a und b→\overrightarrow b ist 00.Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 00 ergibt.
a→⊙b→=(64)⊙(0,5−1)=6⋅0,5+4⋅(−1)=3−4=−1\overrightarrow a\odot\overrightarrow b =\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}0,5\\-1\end{pmatrix} =6\cdot0,5+4\cdot\left(-1\right)=3-4=-1
Das Skalarprodukt von a→\overrightarrow a und b→\overrightarrow b ist −1-1.Die beiden Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 00 ergibt.
a→⊙b→\overrightarrow a\odot\overrightarrow b =(2π7)⊙=\begin{pmatrix}2\pi\\7\end{pmatrix} \odot (−3.5π)\begin{pmatrix}-3.5\\\pi\end{pmatrix} =2π⋅(−3.5)+7⋅π2\pi\cdot\left(-3.5\right)+7\cdot \pi=7π−7π=0=7\pi-7\pi=0
Das Skalarprodukt von a→\overrightarrow a und b→\overrightarrow b ist 00.Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.
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a→=(6−3)\overrightarrow{\mathrm a}=\begin{pmatrix}\sqrt6\\-\sqrt3\end{pmatrix} und b→=(22)\overrightarrow{\mathrm b}=\begin{pmatrix}\sqrt2\\2\end{pmatrix}
Bestimme einen Vektor so, dass er orthogonal zu dem gegebenen Vektor und nicht der Nullvektor ist.
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u⃗=(2−15)\vec u=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u⃗\vec{u} einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v⃗\vec v, sodass das Skalarprodukt zwischen u⃗\vec u und v⃗\vec v 00 ist.
Es lässt sich v1=0v_1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⃗⊙v⃗=(2−15)⊙(0v2v3)=2⋅0+(−1)⋅v2+5⋅v3=−v2+5v30=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\5 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 2\cdot 0+ (-1)\cdot v_2 + 5\cdot v_3=-v_2 + 5v_3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
v2=5v3v_2= 5v_3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=5v_2=5 und v3=1v_3=1. Du erhältst also:
v⃗=(051)\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⃗⊙u⃗=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=0⋅2+5⋅(−1)+1⋅5=0+(−5)+5=0\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 2+ 5\cdot(-1) + 1\cdot 5 =0+(-5)+5=0
Anmerkung
Es gibt unendlich viele Vektoren v⃗\vec v, die v⃗⊙u⃗  =  0\vec v \odot\vec u\;=\;0 erfüllen. Geometrisch bildet die Menge aller dieser Vektoren eine zu u⃗\vec u orthogonale Ebene.
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u⃗=(1234)\vec u=\begin{pmatrix}12\\3\\4\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u⃗\vec{u} einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v⃗\vec v, sodass das Skalarprodukt zwischen u⃗\vec u und v⃗\vec v 00 ist.
Es lässt sich v1=0v_1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⃗⊙v⃗=(1234)⊙(0v2v3)=12⋅0+3⋅v2+4⋅v3=3v2+4v30=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 12\\ 3\\4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 12\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 4\cdot v_3=3v_2 + 4v_3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
3v2=−4v33v_2= -4v_3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=4v_2=4 und v3=−3v_3=-3. Du erhältst also:
v⃗=(04−3)\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⃗⊙u⃗=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=0⋅12+4⋅3+(−3)⋅4=0+12−12=0\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 12+ 4\cdot3 + (-3)\cdot 4 =0+12-12=0
Anmerkung
Es gibt unendlich viele Vektoren v⃗\vec v, die v⃗⊙u⃗  =  0\vec v \odot\vec u\;=\;0 erfüllen. Geometrisch bildet die Menge aller dieser Vektoren eine zu u⃗\vec u orthogonale Ebene.
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u⃗=(−231)\vec u=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u⃗\vec{u} einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v⃗\vec v, sodass das Skalarprodukt zwischen u⃗\vec u und v⃗\vec v 00 ist.
Es lässt sich v1=0v_1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⃗⊙v⃗=(−231)⊙(0v2v3)=(−2)⋅0+3⋅v2+1⋅v3=3v2+v30=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} -2\\ 3\\1 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= (-2)\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 1\cdot v_3=3v_2 + v_3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
3v2=−v33v_2= -v_3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=1v_2=1 und v3=−3v_3=-3. Du erhältst also:
v⃗=(01−3)\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⃗⊙u⃗=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=0⋅(−2)+1⋅3+1⋅(−3)=0+3+(−3)=0\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot (-2)+ 1\cdot3 + 1\cdot (-3) =0+3+(-3)=0
Anmerkung
Es gibt unendlich viele Vektoren v⃗\vec v, die v⃗⊙u⃗  =  0\vec v \odot\vec u\;=\;0 erfüllen. Geometrisch bildet die Menge aller dieser Vektoren eine zu u⃗\vec u orthogonale Ebene.
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u⃗=(1−2−4)\vec u=\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u⃗\vec{u} einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v⃗\vec v, sodass das Skalarprodukt zwischen u⃗\vec u und v⃗\vec v 00 ist.
Es lässt sich v1=0v_1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⃗⊙v⃗=(1−2−4)⊙(0v2v3)=1⋅0+(−2)⋅v2+(−4)⋅v3=−2v2−4v30=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ -2\\-4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 1\cdot 0+ (-2)\cdot v_2 + (-4)\cdot v_3=-2v_2 -4v_3
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
2v2=−4v32v_2= -4v_3
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v2=−4v_2=-4 und v3=2v_3=2. Du erhältst also:
v⃗=(0−42)\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⃗⊙u⃗=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=0⋅1+(−4)⋅(−2)+2⋅(−4)=0+8+(−8)=0\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 1+ (-4)\cdot(-2) + 2\cdot (-4) =0+8+(-8)=0
Anmerkung
Es gibt unendlich viele Vektoren v⃗\vec v, die v⃗⊙u⃗  =  0\vec v \odot\vec u\;=\;0 erfüllen. Geometrisch bildet die Menge aller dieser Vektoren eine zu u⃗\vec u orthogonale Ebene.
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u⃗=(3−40)\vec u=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: orthogonale Vektoren

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u⃗\vec{u} einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v⃗\vec v, sodass das Skalarprodukt zwischen u⃗\vec u und v⃗\vec v 00 ist.
Es lässt sich v3=0v_3=0 annehmen, wegen u3=0u_3=0. Dann erhältst du die Gleichung:
0=u⃗⊙v⃗=(3−40)⊙(v1v20)=3⋅v1+(−4)⋅v2+0⋅0=3v1+(−4)v20=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 3\\ -4\\0 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \\ 0 \end{pmatrix}= 3\cdot v_1+ (-4)\cdot v_2 + 0\cdot 0=3v_1 + (-4)v_2
Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:
3v1=4v23v_1= 4v_2
Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch v1=−4v_1=-4 und v2=−3v_2=-3. Du erhältst also:
v⃗=(−4−30)\vec{v}=\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}
Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:
v⃗⊙u⃗=v1⋅u1+v2⋅u2+v3⋅u3=(−4)⋅3+(−3)⋅(−4)+0⋅0=(−12)+12+0=0\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=(-4)\cdot 3+ (-3)\cdot(-4) + 0\cdot 0 =(-12)+12+0=0
Anmerkung
Es gibt unendlich viele Vektoren v⃗\vec v, die v⃗⊙u⃗  =  0\vec v \odot\vec u\;=\;0 erfüllen. Geometrisch bildet die Menge aller dieser Vektoren eine zu u⃗\vec u