Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren

Du hast zwei Vektoren gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel

In unserem Fall haben wir die beiden Vektoren $\vec v =\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}$ und $\vec w =\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$.

Diese setzst du ein und erhätst:

$\cos(\varphi) = \frac{\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\right|}$

Löse die Formel nach $\varphi$ um:

$\ \varphi = \cos^{-1}\left( \frac{\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\right|}\right)$

Schließlich bestimmst du das Skalarprodukt für den Zähler sowie die beiden Längen für den Nenner.

$\vec v \circ \vec w = \begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} = 3 \cdot 2 + 9 \cdot 1 = 15$

$|\vec v| \cdot |\vec w| = (\sqrt{3^2 + 9^2}) \cdot (\sqrt{2^2 + 1^2})$

$= \sqrt{90} \cdot \sqrt{5}$

$= 15\sqrt{2}$

Aus der Division der beiden Ergebisse bekommst du nun den Faktor, den du in den Arkuskosinus einsetzt.

Also beträgt der Schnittwinkel $\ \varphi = 45^\circ$.

In unserem Fall hast du die beiden Vektoren $\vec v =\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}$ und $\vec w =\begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}$. Diese setzst du ein und erhältst:

Also beträgt der Schnittwinkel $\varphi = 108{,}4^\circ$.

In dieser Aufgabe geht es darum, den Winkel zw. zwei Vektoren zu berechnen.

Du hast zwei Vektoren $\vec v =\begin{pmatrix}-5\\-22{,}5\end{pmatrix}$ und $\vec w =\begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix}$ gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel

$\cos(\varphi) = \frac{\vec v \circ \vec w}{|\vec v| \cdot |\vec w|}= \frac{\begin{pmatrix}-5\\-22{,}5\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}-5\\-22{,}5\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}2\\9\end{pmatrix}\right|} = \frac{(-5) \cdot 2 + (-22{,}5) \cdot 9}{\sqrt{(-5)^2 + (-22{,}5)^2} \cdot \sqrt{2^2 + 9^2}}$

Danach bildest du den Arkuskosinus und kommst auf:

Anschaulich bedeutet das, dass die beiden Vektoren genau entgegengesetzt gerichtet sind bzw. dass sich $\vec v$ als $\vec v = k \cdot \vec w$ schreiben lässt, wobei $k$ eine reelle Zahl.

In dieser Aufgabe geht es darum, den Winkel zw. zwei Vektoren zu berechnen.

Du hast zwei Vektoren $\vec v =\begin{pmatrix}1{,}3\\-2{,}4\end{pmatrix}$ und $\vec w =\begin{pmatrix}-4{,}5\\3\end{pmatrix}$ gegeben, deren gemeinsamen Winkel du berechnen sollst. Dies geht mit der Formel

$\cos(\varphi) = \frac{\vec v \circ \vec w}{|\vec v| \cdot |\vec w|}= \frac{\begin{pmatrix}1{,}3\\-2{,}4\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-4{,}5\\3\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1{,}3\\-2{,}4\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}-4{,}5\\3\end{pmatrix}\right|} = \frac{1{,}3 \cdot (-4{,}5) + (-2{,}4) \cdot 3}{\sqrt{1{,}3^2 + (-2{,}4)^2} \cdot \sqrt{(-4{,}5)^2 + 3^2}}$

Danach bildest du den Arkuskosinus und kommst auf:

also beträgt der Winkel $\varphi = 152{,}13^\circ$.

Die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren verwendet die Länge der jeweiligen Vektoren und das Skalarprodukt zwischen den beiden. Ein Spezialfall liegt vor, wenn das Skalarprodukt $0$ ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Berechne das Skalarprodukt zwischen $\vec a$ und $\vec b$!

$\,\vec a\odot\vec b = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}-9\\3\end{pmatrix} = 1 \cdot (-9)+ 3 \cdot 3 = -9+9 = 0$

Das Skalarprodukt von $\vec a$ und $\vec b$ ist also $0$. Daher stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und der eingeschlossene Winkel beträgt also $\varphi=90^\circ$.

Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von $\vec a$ und $\vec b$. Berechne nun zunächst diese Größen!

Länge der Vektoren berechnen

Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von $\vec a$ mit sich selbst und $\vec b$ mit sich selbst:

$\vec a \circ \vec a =\begin{pmatrix} -2\\7\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -2\\7\end{pmatrix}= (-2)\cdot (-2) + 7\cdot 7 = 53$

$\vec b \circ \vec b =\begin{pmatrix} 5\\3\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5\\3\end{pmatrix}= 5\cdot 5 + 3\cdot 3 = 34$

Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:

$\left|\vec{a}\right|=\sqrt{\vec{a}\circ\vec{a}}=\sqrt{53}$ und $| \vec b | = \sqrt{\vec b \circ \vec b} = \sqrt{34}$

Skalarprodukt berechnen

Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch $\,\vec a\circ\vec b = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$.

Hier also:

$\,\vec a\circ\vec b = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix} = (-2) \cdot 5 + 7 \cdot 3 = -10 + 21 = 11$

Das Skalarprodukt von $\vec a$ und $\vec b$ ist somit $11$.

Winkel berechnen

Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:

$\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\circ\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)$

Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!

$\displaystyle \varphi=\cos^{-1}\left(\frac{\vec a\circ\vec b}{\left|\vec a\right|\cdot|\vec b|}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{11}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{34}}\right)=74{,}98^\circ$

Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt $\varphi =74{,}98^\circ$.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\vec a\circ\vec b =\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix} =(-2)\cdot\left(-1\right)+2\cdot\left(-1\right)=2-2=0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ ist $0$. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow a\odot\overrightarrow b =\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}0{,}5\\-1\end{pmatrix} =6\cdot0{,}5+4\cdot\left(-1\right)=3-4=-1$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ ist $-1$.Die beiden Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow a\odot\overrightarrow b$ $=\begin{pmatrix}2\pi\\7\end{pmatrix} \odot$ $\begin{pmatrix}-3.5\\\pi\end{pmatrix}$ =$2\pi\cdot\left(-3.5\right)+7\cdot \pi$$=7\pi-7\pi=0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ ist $0$.Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt.

$\overrightarrow a\odot\overrightarrow b =\begin{pmatrix}\sqrt{6}\\-\sqrt{3}\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix}\sqrt2\\2\end{pmatrix} =\sqrt{6}\cdot\sqrt2+(-\sqrt3)\cdot2=\sqrt{12 }-2\sqrt3$

Falls du einen Taschenrechner benutzt, ist die Rechnung natürlich kein Problem. Mit einer kleinen Nebenrechnung kommst du aber auch ohne Nebenrechnung weiter.

Nebenrechnung: $2\sqrt3= \sqrt4 \cdot \sqrt3= \sqrt{4\cdot3}= \sqrt{12}$

Damit ergibt sich insgesamt: $\sqrt{12}-2\sqrt3= \sqrt{12} -\sqrt{12}= 0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ ist $0$. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ Null ist.

Es lässt sich (zur Vereinfachung) $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \circ \vec v= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 2\cdot 0+ (-1)\cdot v_2 + 5\cdot v_3=-v_2 + 5v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2= 5v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=5$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec{v}\circ\vec{u}=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot2+5\cdot(-1)+1\cdot5=0+(-5)+5=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 12\\ 3\\4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 12\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 4\cdot v_3=3v_2 + 4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2= -4v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=4$ und $v_3=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 12+ 4\cdot3 + (-3)\cdot 4 =0+12-12=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} -2\\ 3\\1 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= (-2)\cdot 0+ 3\cdot v_2 + 1\cdot v_3=3v_2 + v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_2= -v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=1$ und $v_3=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot (-2)+ 1\cdot3 + 1\cdot (-3) =0+3+(-3)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ -2\\-4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 1\cdot 0+ (-2)\cdot v_2 + (-4)\cdot v_3=-2v_2 -4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$2v_2= -4v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-4$ und $v_3=2$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 1+ (-4)\cdot(-2) + 2\cdot (-4) =0+8+(-8)=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_3=0$ annehmen, wegen $u_3=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 3\\ -4\\0 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \\ 0 \end{pmatrix}= 3\cdot v_1+ (-4)\cdot v_2 + 0\cdot 0=3v_1 + (-4)v_2$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1= 4v_2$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=-4$ und $v_2=-3$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=(-4)\cdot 3+ (-3)\cdot(-4) + 0\cdot 0 =(-12)+12+0=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen, wegen $u_2=0$. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\-1 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}= 1\cdot v_1+ 0\cdot 0 + (-1)\cdot v_3=v_1 - v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$3v_1= v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=1$ und $v_2=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 1+ 0\cdot 0 + 1\cdot (-1) =1-1=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_1=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 5\\ 1\\9\end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= 5\cdot 0+ 1\cdot v_2 + 9\cdot v_3=v_2 + 9v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_2= -9v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_2=-9$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ -9 \\ 1\end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=0\cdot 5+ (-9)\cdot 1 + 1\cdot 9 =0+(-9)+9=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} -1\\ 3\\9 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 0\\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}= (-1)\cdot v_1+ 3\cdot 0 + 9\cdot v_3=-v_1 + 9v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_1= 9v_3$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=9$ und $v_3=1$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=9\cdot (-1)+ 3\cdot0 + 1\cdot 9 =(-9)+0+9=0$

In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor $\vec{u}$ einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor $\vec v$, sodass das Skalarprodukt zwischen $\vec u$ und $\vec v$ $0$ ist.

Es lässt sich $v_2=0$ annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:

$0=\vec u \odot \vec v= \begin{pmatrix} 4\\ -\frac56\\0{,}4 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} v_1\\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}= 4\cdot v_1+ (-\frac56 )\cdot 0 + 0{,}4\cdot v_3=4v_1 + 0{,}4v_3$

Durch Umformen siehst du, dass gelten muss:

$v_3= -10v_1$

Eine geeignete Wahl ist z.B gegeben durch $v_1=1$ und $v_3=-10$. Du erhältst also:

$\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}$

Du kannst jetzt die Probe machen, um nachzurechnen, dass die Vektoren tatsächlich senkrecht aufeinander stehen:

$\vec v\odot\vec u=v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2+v_3\cdot u_3=1\cdot 4+ (-\frac 56 )\cdot0 + (-10)\cdot 0{,}4 =4+0-4=0$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $\varphi$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow \varphi=\cos^{-1}\left(\dfrac{15}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{89}}\right)\approx73{,}1^\circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels φ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow\varphi=\cos^{-1}\left(\frac4{13}\right)\approx72{,}1^\circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $φ$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow\varphi=\cos^{-1}\left(\frac3{\sqrt{84}}\right)\approx70{,}9^\circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $φ$ zwischen zwei Vektoren.

$\Rightarrow\varphi=\cos^{-1}\left(\frac{-5}{\sqrt{399}}\right)\approx104{,}5^\circ$

Benutze die Formel zum Berechnen des Winkels $φ$ zwischen zwei Vektoren.