Bitte, falls jdn. mal Zeit und Lust hat:
Es sollte die Aufgabenlösungen zu allen Teilaufgaben, bis auf d), nach den neuesten Richtlinien überarbeitet werden! Teilaufgabe d) habe ich eben selber korrigiert. DIe aktuellen RIchtlinien zu den Inhalten findet man unter http://de.serlo.org/90253 ;)
Danach bildest du den Arkuskosinus und kommst auf:
φ=cos−1(−1)=180∘
Anschaulich bedeutet das, dass die beiden Vektoren genau entgegengesetzt gerichtet sind bzw. dass sich v als v=k⋅w schreiben lässt, wobei k eine reelle Zahl.
Die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren verwendet die Länge der jeweiligen Vektoren und das Skalarprodukt zwischen den beiden. Ein Spezialfall liegt vor, wenn das Skalarprodukt 0 ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Berechne das Skalarprodukt zwischen a und b!
a⊙b=(13)⊙(−93)=1⋅(−9)+3⋅3=−9+9=0
Das Skalarprodukt von a und b ist also 0. Daher stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und der eingeschlossene Winkel beträgt also φ=90∘.
Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von a und b. Berechne nun zunächst diese Größen!
Länge der Vektoren berechnen
Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.
Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von a mit sich selbst und b mit sich selbst:
a⊙a=(−27)⊙(−27)=(−2)⋅(−2)+7⋅7=53
b⊙b=(53)⊙(53)=5⋅5+3⋅3=34
Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:
∣a∣=a⊙a=53 und ∣b∣=b⊙b=34
Skalarprodukt berechnen
Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch a⊙b=(a1a2)⊙(b1b2)=a1⋅b1+a2⋅b2.
Hier also:
a⊙b=(−27)⊙(53)=(−2)⋅5+7⋅3=−10+21=11
Das Skalarprodukt von a und b ist somit 11.
Winkel berechnen
Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:
φ=cos−1(∣a∣⋅∣b∣a⊙b)
Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!
φ=cos−1(∣a∣⋅∣b∣a⊙b)=cos−1(53⋅3411)=74,98∘
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt φ=74,98∘.
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v0 ist.
Es lässt sich v1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v0 ist.
Es lässt sich v1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v0 ist.
Es lässt sich v1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v0 ist.
Es lässt sich v1=0 annehmen. Dann erhältst du die Gleichung:
In dieser Aufgabe möchtest du zu einem gegebenen Vektor u einen orthogonalen Vektor finden. Also suchst du einen Vektor v, sodass das Skalarprodukt zwischen u und v0 ist.
Es lässt sich v3=0 annehmen, wegen u3=0. Dann erhältst du die Gleichung: